数值分析牛顿插值法.ppt

2 2 2Newton插值法 2 2 3等距节点插值公式 华长生制作 2 我们知道 Lagrange插值多项式的插值基函数为 形式上太复杂 计算量很大 并且重复计算也很多 由线性代数的知识可知 任何一个n次多项式都可以表示成 共n 1个多项式的线性组合 那么 是否可以将这n 1个多项式作为插值基函数呢 华长生制作 3 显然 多项式组 线性无关 因此 可以作为插值基函数 华长生制作 4 有 再继续下去待定系数的形式将更复杂 为此引入差商和差分的概念 华长生制作 5 一 差商 均差 定义1 称 依此类推 华长生制作 6 差商具有如下性质 请同学们自证 显然 华长生制作 7 2 差商具有对称性 即任意调换节点的次序 差商的值不变 如 用余项的相同证明 华长生制作 8 差商的计算方法 表格法 规定函数值为零阶差商 差商表 Chashang m 华长生制作 9 例1求f xi x3在节点x 0 2 3 5 6上的各阶差商值解 计算得如下表 华长生制作 10 二 Newton基本插值公式 设插值多项式 满足插值条件 则待定系数为 华长生制作 11 称 定义3 由插值多项式的唯一性 Newton基本插值公式的余项为 为k次多项式 华长生制作 12 因此可得 下面推导余项的另外一种形式 华长生制作 13 因此 一般 Newton插值估计误差的重要公式 另外 华长生制作 14 华长生制作 15 2 2 3等距节点插值公式 定义 华长生制作 16 依此类推 可以证明 如 华长生制作 17 差分表 华长生制作 18 在等距节点的前提下 差商与差分有如下关系 华长生制作 19 依此类推 华长生制作 20 由差商与向前差分的关系 Newton插值基本公式为 如果假设 1 Newton向前 差分 插值公式 华长生制作 21 则插值公式 化为 其余项 化为 华长生制作 22 称 为Newton向前插值公式 又称为表初公式 插值余项为 华长生制作 23 插值余项为 根据向前差分和向后差分的关系 如果假设 可得Newton向后插值公式 2 Newton向后 差分 插值公式 华长生制作 24 例4设x0 1 0 h 0 05 给出在处的函数值如表2 5的第3列 试用三次等距节点插值公式求f 1 01 和f 1 28 的近似值 01 001 000000 0247011 051 024700 02411 0 0005921 101 048810 02357 0 00054 0 0000531 151 07238 41 201 095440 02307 0 00048 0 0000351 251 118030 02259 0 0004561 301 140170 02214 表2 5 华长生制作 25 解用Newton向前插值公式来计算f 1 01 的近似值 先构造与均差表相似的差分表 见表2 5得上半部分 由t x x0 h 0 2的得 例2 5已知f x sinx的数值如表2 6的第2列 分别用Newton向前 向后插值公式求sin0 57891的近似值 华长生制作 26 解作差分表如表2 6 使用Newton向前差分公式x0 0 5 x1 0 6 x2 0 7 x 0 57891 h 0 1 则t x x0 h 0 7891 即sin0 57891 0 54714 误差为 华长生制作 27 若用Newton向后插值公式 则可取x0 0