振动力学与结构动力学第二章21.ppt

第二章单自由度系统的振动第一节单自由度系统的无阻尼自由振动一 自由振动的解 自由振动 由初位移 初速度引起的 在振动中无动荷载作用的振动 分析自由振动的目的 确定体系的动力特性 频率 周期 其通解为 由初始条件 可得 令 其中 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后 其自由振动是以为振动频率的简谐振动 并且永无休止 初始条件的说明 初始条件是外界能量转入的一种方式 有初始位移即转入了弹性势能 有初始速度即转入了动能 二 单自由度系统的动力特性周期 园频率 工程频率 与系统是否正在振动着以及如何进行振动的方式都毫无关系 A v不是系统的固有属性的数字特征 与系统过去所受到过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关 例 图示刚架其横梁的刚度为无限大 柱子的抗弯刚度 梁的质量m 5000kg 不计柱子的轴向变形和阻尼 试计算此刚架的自振频率 思考题 刚架如何振动 关键是求侧移劲度 求图示系统的固有频率 a 弹簧串联情况 b 弹簧并联情况 a 串联情况 思考题 串联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化 b 并联情况 思考题 并联后系统频率与单个弹簧系统相比有何变化 例 简支梁AB 重量不计 在梁的中点位置放一重为W的物体M时 其静挠度为yst 现将物体M从高度h处自由释放 落到梁的中点处 求该系统振动的规律 当物体落到梁上后 梁 物体系统作简谐振动 只要定出简谐振动的三个参数 圆频率 振幅和初相角即可 2 算例 例一 求图示体系的自振频率和周期 解 例二 求图示体系的自振频率和周期 解 例三 质点重W 求体系的频率和周期 解 例三 提升机系统 重物重量 钢丝绳的弹簧刚度 重物以的速度均匀下降 求 绳的上端突然被卡住时 1 重物的振动频率 2 钢丝绳中的最大张力 解 振动频率 重物匀速下降时处于静平衡位置 若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置 则t 0时 有 振动解 静平衡位置 k x W v 振动解 绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 动张力几乎是静张力的一半 由于 为了减少振动引起的动张力 应当降低升降系统的刚度 例 圆盘转动 圆盘转动惯量I 在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置 扭振固有频率 为轴的扭转刚度 定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩 由牛顿第二定律 由上例可看出 除了选择了坐标不同之外 角振动与直线振动的数学描述完全相同 如果在弹簧质量系统中将m k称为广义质量及广义刚度 则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动 以后不加特别声明时 弹簧质量系统是广义的 从前面两种形式的振动看到 单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件 惯性元件是感受加速度的元件 它表现为系统的质量或转动惯量 而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件 它表现为具有刚度或扭转刚度的弹性体 同一个系统中 若惯性增加 则使固有频率降低 而若刚度增加 则固有频率增大 例 复摆 刚体质量m 对悬点的转动惯量 重心C 求 复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率 a 0 C 解 由牛顿定律 因为微振动 则有 固有频率 实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法 若已测出物体的固有频率 则可求出 再由移轴定理 可得物质绕质心的转动惯量 例 弹簧 质量系统沿光滑斜面做自由振动 斜面倾角300 质量m 1kg 弹簧刚度k 49N cm 开始时弹簧无伸长 且速度为零 求 系统的运动方程 重力加速度取9 8m s2 解 以静平衡位置为坐标原点建立坐标系 振动固有频率 振动初始条件 初始速度 运动方程 能量法 补充 对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统 也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程 或直接求出系统的固有频率 无阻尼系统为保守系统 其机械能守恒 即动能T和势能V之和保持不变 即 或 弹簧质量系统 动能 势能 重力势能 弹性势能 不可能恒为0 零势能点 如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位置 而是取在弹簧为自由长时的位置 动能 势能 设新坐标 零势能点 弹簧原长 如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置 那么将坐标原点取在静平衡位置上 方程中就不会出现重力项 考虑两个特殊位置上系统的能量 静平衡位置上 系统势能为零 动能达到最大 最大位移位置 系统动能为零 势能达到最大 对于转动 x是广义的 例 如图所示是一个倒置的摆 摆球质量m 刚杆质量忽略 每个弹簧的刚度 求 1 倒摆作微幅振动时的固有频率 2 摆球时 测得频率为 时 测得频率为 问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态 解法1 广义坐标 动能 势能 零势能位置1 零势能位置1 解法2 零势能位置2 动能 势能 零势能位置2 瑞利法 利用能量法求解固有频率时 对于系统的动能的计算只考虑了惯性元件的动能 而忽略不计弹性元件的质量所具有的动能 因此算出的固有频率是实际值的上限 这种简化方法在许多场合中都能满足要求 但有些工程问题中 弹性元件本身的质量因占系统总质量相当大的比例而不能忽略 否则算出的固有频率明显偏高 例如 弹簧质量系统 设弹簧的动能 系统最大动能 系统最大势能 若忽略 则增大 弹簧等效质量 因此忽略弹簧动能所算出的固有频率是实际值的上限 等效质量和等效刚度 方法1 选定广义位移坐标后 将系统得动能 势能写成如下形式 当 分别取最大值时 则可得出 Ke 简化系统的等效刚度 Me 简化系统的等效质量 等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等 动能 势能 第二节单自由度系统的有阻尼自由振动 一 有阻尼自由振动的解 特征方程的根 1 临界阻尼情况 不产生振动的最小阻尼 2 超阻尼情况 体系仍不作振动 只发生按指数规律衰减的非周期蠕动 上式也不含简谐振动因子 由于大阻尼作用 受干扰后 偏离平衡位置体系不会产生振动 初始能量全部用于克服阻尼 不足以引起振动 3 负阻尼情况 0或c 0 阻尼本来是耗散能量的 负阻尼表示在系统振动过程中不仅不消耗能量 而且不断加入能量 这种情况下系统的运动是不稳定的 其振幅将会愈来愈大 直至系统破坏 4 低阻尼或小阻尼情况 1或c 2m 考虑阻尼使得结构的自振频率略有减小 亦即使系统的自振周期稍有增大 阻尼影响使振幅按指数规律衰减 结构实际量测表明 对于一般钢筋混凝土杆系结构的阻尼比 在0 05左右 拱坝在0 03 0 05 重力坝包括大头坝在0 05 0 10 土坝 堆石坝在0 10 0 20之间 强震时 还会增加一些 但其值也是不大的 即使取0 02代入求得的频率与不考虑阻尼的频率也很接近 因此实际工程结构动力计算时不计阻尼的影响 不同阻尼比对自由振动幅值的影响 临界也是按指数规律衰减的非周期运动 但比过阻尼衰减快些 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动 没有振动发生 等效粘性阻尼 补充 阻尼在所有振动系统中是客观存在的 大多数阻尼是非粘性阻尼 其性质各不相同 非粘性阻尼的数学描述比较复杂 处理方法之一 采用能量方法将非粘性阻尼简化为等效粘性阻尼 原则 等效粘性阻尼在一个周期内消耗的能量等于要简化的非粘性阻尼在同一周期内消耗的能量 通常假设在简谐激振力作用下非粘性阻尼系统的稳态响应仍然为简谐振动 该假设只有在非粘性阻尼比较小时才是合理的 粘性阻尼在一个周期内消耗的能量可近似地利用无阻尼振动规律计算出 目的是为了采用该式计算等效粘性阻尼系数 讨论以下几种非粘性阻尼情况 干摩擦阻尼 平方阻尼 结构阻尼 1 干摩擦阻尼 库仑阻尼 摩擦力 摩擦系数 正压力 符号函数 摩擦力一个周期内所消耗的能量 等效粘性阻尼系数 2 平方阻尼 工程背景 低粘度流体中以较大速度运动的物体 阻力系数 等效粘性阻尼系数 阻尼力与相对速度的平方成正比 方向相反 摩擦力 在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量 再乘2 3 结构阻尼 由于材料为非完全弹性 在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为结构阻尼 比例系数 等效粘性阻尼系数 特征 应力 应变曲线存在滞回曲线 内摩擦所耗散的能量等于滞回环所围的面积 加载和卸载沿不同曲线 二 阻尼的量测 小阻尼解答经过三角转换可写成 可以根据自由振动衰减曲线确定阻尼比 考虑两相邻幅值 在ti时刻 yi Ae ti 在ti Td时刻 yi 1 Ae ti Td 定义自然对数递减率 y 自由振动衰减曲线 例 有关参数同前刚架 若用千斤顶使M产生侧移25mm 然后突然放开 刚架产生自由振动 振动5周后测得的侧移为7 12mm 试求 1 考虑阻尼时的自振频率 2 阻尼比和阻尼系数 3 振动10周后的振幅 解 由y0 25mm y0 5TD 7 12mm 有 3 无阻尼周期 4 重量 5 阻尼系数 6 若质量增加800kg 体系的周期和阻尼比为多少 第三节单自由度系统简谐荷载作用下的受迫振动 一 无阻尼受迫振动 1 无阻尼受迫振动方程解 运动方程的解 上式中 前三项都是频率为 的自由振动 但第一 二项是初始条件决定的自由振动 第三项与初始条件无关 是由伴随干扰力的作用而产生的 称为伴生自由振动 第四项则是按照干扰力的频率而进行的振动 称为纯受迫振动 2 动力系数 动力系数变化曲线 例 图示无重简支梁 在跨中W 20kN的电机 电机偏心所产生的离心力F t 若机器每分钟的转数n 500rad min 梁的EI 1 008X10000kN m2 在不计阻尼的情况下 试求梁的最大位移和弯矩 解 1 梁的自振频率 2 系统的动力系数 想想看还有没有其他方法求自振频率 3 梁跨中截面的最大位移和弯矩 例 图示跨中带有一质体的无重简支梁 受动力荷载作用 若外干扰力频率取不同的值 试求质体的最大动力位移 解 按叠加原理 1 惯性力前为何加负号 2 运动方程式与直接作用在质体时有什么差别 3 如果梁上还有一个动荷载 运动方程式形式有何变化 例1求图示体系振幅和动弯矩幅值图 已知 动位移 动内力幅值计算 计算步骤 1 计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移 内力 2 计算动力系数 3 将得到的位移 内力乘以动力系数即得动位移幅值 动内力幅值 解 例2求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知 解 重力引起的弯矩 重力引起的位移 振幅 动弯矩幅值 跨中最大弯矩 跨中最大位移 动荷载不作用于质点时的计算 令 仍是位移动力系数 是内力动力系数吗 运动方程 稳态解 振幅 列幅值方程求内力幅值 解 例 求图示体系振幅 动弯矩幅值图 已知 动弯矩幅值图 解 例 求图示体系右端的质点振幅 o 二 有阻尼受迫振动1 解的形式 式中 第一 二项由初始条件决定的自由振动 第三 四是荷载作用而伴生的自由振动 第五项为纯受迫振动 前四项自由振动由于阻尼的存在 很快衰减以致消失 最终只存下稳态受迫振动 2 幅频曲线和相频曲线 3 系统上各个力的平衡 由已知的荷载 以及求得的位移 有 当荷载频率远小于系统自振频率时 0 惯性力Fi t 和阻尼力Fd t 都很小 荷载主要由弹簧力平衡 想想 此时相当于什么情况 当荷载频率远大于系统自振频率时 荷载主要由惯性力平衡 当荷载频率接近系统自振频率时 1 此时阻尼力 此时荷载主要由阻尼力平衡 这种状态称为共振 共振区内 0 75 1 25 阻尼力不可以忽略 稳态响应中四个力的平衡 4 半功率法确定阻尼比 简谐荷载受迫振动的幅频曲线可以用来确定系统的阻尼比 取曲线上a b两点 令纵坐标 代入幅频曲线公式 经处理后有 例 图示为块式基础 机器与基础的质量为 地基竖向刚度为 竖向振动时的阻尼比为机器转速为N 800r min 其偏心质量引起的离心力为F 30kN 求竖向振动时的振幅 解 质量为m的物体挂在弹簧系数为K的弹簧一端 另一端B沿铅直按作简谐运动 考虑粘滞阻尼力作用 求物体运动规律 解 取 0时物体的平衡位置o为坐标原点 物体的运动微分方程为 右端等价于一个干扰力 参照标准形式 可得物体运动规律 由上式可知 当物体较重 且弹簧常数k很小 而悬挂点A振动的频率很高 导致 很大 物体的振幅A 0 物体静止 在精密仪器与其支座之间装以弹簧系数很低的柔软弹簧 当支座振动强烈时 弹簧的一端将随同支座一起振动 若支座的频率比仪器 弹簧系统的固有频率高得多 仪器将近乎静止而不致损坏 思考题 试解释一下地震仪工作原理 第四节减振与隔振简述 一 减振与隔振的常用方法 1 找出产生振动的根源 并设法使其消除或减弱 2 远离振源 3 避免共振 4 采用动力消振器 主动隔振 隔离振源 消极隔振 隔振材料 二 隔振的基本原理 隔振示意图 机器的受迫振动方程为 计算简图 隔振系数随