暑期数学建模.doc

模糊数学方法在数学建模中的应用 于 鹏 陕西科技大学理学院模糊数学是研究和处理模糊现象的一种数学工具. 在生产实际中有着广泛的应用基础，比如家电领域的模糊洗衣机、模糊洗碗机、模糊电视机等，航空军事领域的飞行器模拟实验，导弹追踪等技术。还有环境保护当中江河湖泊的污染监测等都与模糊数学密不可分。模糊数学方法做为处理模糊现象的一种工具在数学建模当中也是有着广泛的应用。暑期培训，我们将介绍一些应用模糊数学处理问题的基本方法，内容包括模糊聚类分析，模糊模型识别，模糊综合评价，及模糊线性规划。第一部分 模糊数学的基本概念模糊集合的定义 定义1： 设U是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数. 设论域是有限论域，A是上的模糊集。则A的表示方法有：（1） 扎德表示法： （2） 序对表示法：（3） 向量表示法：一般设表示模糊向量。例1 设论域U = (单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为定义2：设U是论域，A是U上的模糊集合 称为A的截集。定义3：设是两个论域，称映射 为从到的模糊关系。特别地，当 X =Y 时，称之为 X 上各元素之间的模糊关系. 命题1：设，是从到的模糊关系，则唯一确定一个的模糊矩阵，其中。 定义4：设 是 X 到 Y 的关系, 是 Y 到 Z 的关系, 则与的合成是 X 到 Z 上的一个关系. (x, z) = | yY 当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成. 定义5：模糊关系R是X上的模糊关系，且满足： (1)自反性：R(x, x) =1； (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； (3)传递性：R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系. 命题2：R是X上的模糊等价关系当且仅当是X上的经典等价关系。 第二部分 模糊聚类分析基础模糊聚类分析就是通过构造模糊等价关系，通过模糊等价关系的截矩阵实现聚类分析。其基本步骤如下：第一步，数据标准化设论域为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其性状: i = 1, 2, , n于是,得到原始数据矩阵为 数据标准化的基本方法有： (1)平移 标准差变换 其中= (2)平移 极差变换 第二步 ，构建相似矩阵(1)夹角余弦法(2)相关系数法(3)绝对值减数法 第三步、由相似矩阵利用平方法构造模糊等价矩阵。 设是一个阶模糊矩阵，利用平方法求等价矩阵方法如下：，其中 第四步、聚类分析例1 亚洲玉米螟测报的数学模型例2 市场的划分例3 DNA序列的划分第三部分 模糊模式识别基础模糊模式识别的分类：(1)具体元素对模糊模型的识别问题。给定了标准模型库问对象x属于上述模型库的哪一类?(2)模糊元素对模糊模型的识别问题。给定了标准模型库问对象x属于上述模型库的哪一类?其中对象X本身就是模糊的。处理两类问题的基本原则(1)最大隶属度原则最大隶属原则 设论域上有m个模糊子集 (即m个模型),构成了一个标准模型库,若对任一X,有k1, 2, , m ,使得 则认为相对隶属于. 最大隶属原则 设论域X上有一个标准模A,待识别的对象有n个：如果有某个满足A()=则应优先录取.(2)择近原则设在论域上有m个模糊子集构成了一个标准模型库,B是待识别的模型.若有k1,2, m, 使得s (，B) =s ( , B) | 1im,则称B与最贴近,或者说把B归于类.这就是择近原则.其中s (，B)表示与B的格贴近程度，一般有如下贴近度(1)海明贴近度若，则 (2)欧几里得(距离)近度若，则 (3)格贴近度若，令 例 （蠓的模型识别）两种蠓Af和Apf已由生物学家克罗那和威尔斯于1981年根据它们的触角长和翼长加以区分，下图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据, 其中“”表示Apf,“”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的. 给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？ 将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80), (1.28,1.84), (1.40,2.04)三个标本. 假设Af是传粉益虫，Apf是某种疾病载体，问是否需要修改分类方法？为什么？第一步 建立模糊相似矩阵（绝对值减数法） 第二步 聚类分析 第三步 根据聚类分析图得到分类的中心向量。例如当时可分为5类1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15得到中心向量 （1.240，1.720），（1.417，1.777），（1.560，2.080），（1.140，1.780），（1.244，1.956）将它们用平移极差变换变为（0.1064，0.6170），（0.2947，0.6777），（0.4468，1.000），（0，0.6809），（0.1106，0.8681）待识别的三个蠓采用平移极差变换将它们变为（0.1064，0.7021），（0.1489，0.7447），（0.2766，0.9574）第四步 利用距离贴近度与格贴近度将三种待识别的蠓进行分类。 距离贴近度识别结果：是Af, 是Apf;格贴近度识别结果：都是Apf;注：本题目是1989年美国大学生数学建模竞赛A题。 第四部分 模糊综合评价模糊综合评价是多受多种因素影响的事物做出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法，模糊综合评价策也称为模糊综合决策或模糊多元决策。模糊综合评价的三要素（1） 因素集合（2） 评价集合 （3） 单因素评价 具体的评价过程(1) 先构造从到模糊关系，令，构造单因素评价矩阵 （2）给出各因素的权重，采用合成方法得到综合评价 （3）利用最大隶属度原则确定评语。例 生产管理评价某市某纤维板厂用气浮法处理污水，要求对下表进行评价测定次数出水质量浓度电耗（元.d）运行管理费用悬浮物COD挥发酚176711820792986850341123928231288049376293695591724029926977762331007948125339788482362488988783327921096692631110评定等级标准 VU好中上中下差悬浮物95959090808070COD80807575707060挥发酚45453535303015电耗25253030353440管理费80809090100100115先确定各因子的隶属函数 根据统计结果得单因素评价矩阵 假设有1、2月抽样化验结果 ，经模糊化后得，计算最终结论最终评价结果是一月份管理水平属于中下，并且虽然一月分前两项值较二月份小，但二月份的管理费用较高，所以评价结果是一月份优于二月份。 第五部分 模糊线性规划设普通线性规划的标准形式为 Minf= s.t. 若约束条件带有弹性，即资源限量可能取内某一值，这里的，是决策人根据实际问题选择的伸缩指标，这样的线性规划称为模糊线性规划。记，则普通规划的标准形式可记为 Minf= s.t. 模糊线性规划可记为 Minf= s.t.这里表示：当时，时表示内某一值.将约束条件模糊化，隶属函数定义为令，其中为线性规划 Minf= s.t.的最优解。目标函数模糊化后隶属函数定义为 结论1 有 结论2 有 记则模糊线性规划的最优解就是同时满足，且使取得最大值，为此转化为求如下普通规划 s.t.求解模糊线性规划的基本步骤如下:(1)目标函数转化为普通约束 设约束条件中不考虑伸缩指标时目标函数的最优值为，约束条件对伸缩指标完全放开时，目标函数的最优值为(比优),则目标函数max(min)转化为普通约束(2)模糊约束转化为普通约束(a)当第i个模糊约束为时，转化为；(b