第8专题 算法与推理(理).ppt

理数 第8专题算法与推理 回归课本与创新设计 高考命题趋势 重点知识回顾 主要题型剖析 专题训练 试题备选 一 算法 1 算法的含义 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 1 一般而言 对一类问题的机械的 统一的求解方法称为算法 2 算法是指用一系列运算规则能在有限步骤内求解某类问题 其中的每条规则是明确定义的 可行的 3 算法从初始步骤开始 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤 从而组成一个步骤序列 序列的终止表示问题得到解答或指出问题没有解答 2 流程图 也叫程序框图 算法框图 是由一些框图和带箭头 的流线组成的 其中框图表示各种操作的类型 框图中的文字和符号表示操作的内容 带箭头的流线表示操作的先后次序 流程图通常由输入 输出框 流程线 处理框 判断框 起止框等构成 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 3 算法的三种基本逻辑结构 顺序结构 如图 1 所示 条件结构 也称选择结构 条件分支结构 如图 2 和图 3 所示 循环结构 如图 4 和图 5 所示 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 1 合情推理 1 归纳推理和类比推理统称为合情推理 2 归纳推理是由部分到整体 由特殊 个别 到一般的推理 3 类比推理是由特殊到特殊的推理 2 演绎推理 演绎推理是由一般到特殊的推理 二 推理 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 1 综合法的思维特点是 由因导果 2 分析法的思维特点是 执果索因 4 间接证明法 反证法 反证法是一种间接证法 它是先提出一个与命题的结论相反的假设 然后从这个假设出发 经过正确的推理 导致矛盾 从而否定相反的假设 达到肯定原命题正确的一种方法 反证法的步骤是 反设 归谬 存真 3 直接证明法 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 1 证明当n取第一个值n0 初始值 时结论正确 2 假设当n k k N 且k n0 时结论正确 证明当n k 1时结论也正确 由 1 2 可知 命题对于从n0开始的所有正整数n都正确 5 数学归纳法的步骤 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 算法考题模式仍将保持稳定 还是以算法框图为考查要点 仍以数列 函数和统计等知识为背景 但试题将更加新颖灵活 推理与证明贯穿于整个高中数学的始终 解题过程中处处离不开分析与综合的思想方法 某些试题要靠归纳和类比得到问题的答案或者解决问题的方法 在解答题的推理论证中 大多数题目要靠演绎推理来完成 可以说推理与证明伴随在解题的整个过程中 高考试题中出现考查归纳推理和类比推理的试题 也出现过用反证法证明的题目 随着新课标高考的深入 对推理与证明的考查会更加科学合理 特别在合情推理的考查方面定会有新的试题出现在高考试卷中 算法考题基本上是1道客观题 分值为5分 常以数列 函数 统计等知识为背景 主要考查算法框图 试题难度不大 展望2012年高考 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 算法与框图是高考中经常考查的内容 常见于选择题和填空题 以容易题 中档题为主 考查的热点是算法框图 条件语句和循环语句的理解和应用 主要是利用算法解决代数式 方程 不等式 函数 数列 统计等知识交汇的小综合问题 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 例1 1 定义函数CONRND a b 是产生区间 a b 内的任何一个实数的随机数函数 如图所示的算法框图可用来估计 的值 现在N输入的值为100 结果m的输出值为21 则由此可估计 的近似值为 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 2 2011年 江西 下图是某算法的程序框图 则程序运行后输出的结果是 分析 1 读懂算法框图的循环结构和随机数函数 用几何概型求之 2 先考虑循环变量s和计数变量n的初始值 再确定循环体及循环次数并计算每次的运算结果 最后确定输出变量s的值 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 解析 1 点 A B 应在矩形区域 A B 11时 输出m 21 表示点 A B 在矩形区域内部和单位圆的外部有21个点 根据几何概率得 4 3 16 2 第一次 s1 0 1 1 1 0 n 2 第二次 s2 0 1 2 2 3 n 3 第三次 s3 3 1 3 3 5 n 4 第四次 s4 5 1 4 4 10 9 故填10 答案 1 3 16 2 10 1 算法用来解决实际问题会是高考的一个命题亮点 本题借助框图 考查了几何概型 又验证了圆周率的近似值 是一道好题 2 算法框图命题背景常常是数列 统计 函数等等 在知识的交汇处命题是高考的一大特色 本题就是用框图解决数列的一道好题 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 同类拓展1 1 2011年 山东 执行如图所示的算法框图 输入l 2 m 3 n 5 则输出的y的值是 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 2 执行如图所示的算法框图 若输出的S 88 则判断框内应填入的条件是 A k 7 B k 6 C k 5 D k 4 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 解析 1 输入l 2 m 3 n 5 l2 m2 n2 0 故y 70 2 21 3 15 5 278 因y 278 105 故y 278 105 173 又y 173 105 故y 173 105 68 2 第一次循环 k 1 1 2 S 2 0 2 2 第二次循环 k 2 1 3 S 2 2 3 7 第三次循环 k 3 1 4 S 2 7 4 18 第四次循环 k 4 1 5 S 2 18 5 41 第五次循环 k 5 1 6 S 2 41 6 88 满足条件则输出S的值 而此时k 6 故判断框内应填入的条件应是k 5 故选C 答案 1 68 2 C 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 合情推理是科学发现和创造的基础 尽管合情推理的结果不一定正确 高考常在归纳与类比中择一命题 题型较灵活 难度中等 主要是选择或填空题 考查两个推理的应用能力 例2 1 2011年 山东 设函数f x x 0 观察 f1 x f x f2 x f f1 x f3 x f f2 x f4 x f f3 x 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 当n N 且n 2时 fn x f fn 1 x 根据以上事实 由归纳推理可得 2 在平面几何中 ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比 把这个结论类比到空间 在三棱锥A BCD中 AB CD 如图所示 面DEC平分二面角A CD B且与AB相交于E 则得到的类比的结论是 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 2 类比时 面积常与线段长类比 ACD类比AC BCD类比BC 解析 1 观察给定的各个函数解析式 可知分子都为x 分母都为关于x的一次式的形式且每个式子的常数项为2 4 8 16 这样fn x 对应的函数的分母的常数为2n x的系数为2n 1 因此fn x f fn 1 x 分析 1 从给出的函数解析式中x的系数分析归纳出一般性结论 2 AB CD 过E作EF CD交CD于点F 连结AF BF 则CD 平面ABF 故 AFB为二面角A CD B的平面角 于是EF是 AFB的平分线 类比 成立 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 答案 1 2 1 本题实质是考查数列的通项归纳 这是归纳推理经常考查的方面 2 类比时要了解一些类比对象的对应关系 这便于快捷找到解决问题的思想方法 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 同类拓展2 1 观察下列恒等式 tan tan2 tan4 由此可知 tan 2tan 4tan 2 边长为a的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值 将这个结论推广到空间 棱长为a的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值 则这个定值为 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 解析 1 tan 2tan 4tan 2tan 4tan 4tan 4 8 2 在等边三角形中 设任意一点到三边的距离分别为x1 x2 x3 则ax1 ax2 ax3 a2 x1 x2 x3 a 同理 在正四面体中 可设正四面体内任一点到四个面的距离分别为h1 h2 h3 h4 因为每个面的面积为a2 a2 h1 h2 h3 h4 a2 a h1 h2 h3 h4 a 即为此正四面体的高 答案 1 8 2 a 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 综合法是 由因导果 而分析法则是 执果索因 它们是截然相反的两种证明方法 分析法便于我们去寻找思路 而综合法便于过程的叙述 两种方法各有所长 在解决具体的问题中 综合应用 效果会更好 一般直接证明中的综合法会在解答题中重点考查 而反证法一般作为客观题的判断方法 很少单独命题 但可能会在大题中用到 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 例3如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD PC AD 底面ABCD为梯形 AB DC AB BC AB BC 点E在棱PB上 且PE 2EB 1 求证 平面PAB 平面PCB 2 求证 PD 平面EAC 分析 本题以立体几何中的四棱锥为载体 重点考查平行与垂直这两大位置关系的推理论证 其中第 1 问 要证面面垂直 即要证两平面中的一个平面经过另一平面的一条垂线 从而问题的关键在于寻找平面PAB或平面PCB的垂线 根据图形的特征 可证CB与平面PAB垂直 这可由条件AB BC PA CB即得 第 2 问要使得线面平行 只需保证线线平行 即使PD 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 与平面AEC内的一条直线平行 连结BD交AC于M 从而问题转化为探究PD与EM能否平行的问题 解析 1 PA 底面ABCD PA BC 又AB BC PA AB A BC 平面PAB 又BC 平面PCB 平面PAB 平面PCB 2 PA 底面ABCD AC为PC在平面ABCD内的射影 又 PC AD AC AD 在梯形ABCD中 由AB BC AB BC 得 BAC 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 又 AB DC DCA BAC 又AC AD 故 DAC为等腰直角三角形 DC AC AB 2AB 连结BD交AC于点M 连结EM 则 2 在 BPD中 2 PD EM 又PD 平面EAC EM 平面EAC PD 平面EAC 立体几何是高中数学的重要组成部分 在高考中的试 题多以中档题形式出现 综合考查线面平行及垂直问题等基础知识 在备考复习时 要依据课本知识 构建空间思维网络 熟练掌握线面平行 垂直的性质 判定定理 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 同类拓展3 2011年 江苏 如图 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD AB AD BAD 60 E F分别是AP AD的中点 求证 1 直线EF 平面PCD 2 平面BEF 平面PAD 解析 1 在 PAD中 因为E F分别为AP AD的中点 所以EF PD 又因为EF 平面PCD PD 平面PCD 所以直线EF 平面PCD 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 2 连结BD 因为AB AD BAD 60 所以 ABD为正三角形 因为F是AD的中点 所以BF AD 因为平面PAD 平面ABCD BF 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD 所以BF 平面PAD 又因为BF 平面BEF 所以平面BEF 平面PAD 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 例4已知a 0 b 0 a b 1 求证 2 分析 若采用分析法 则易找到思路 用综合法结合基本不等式进行书写证明过程 证明 法一 要证原不等式只要证a b 2 4 即只要证明 1 也就是要证明ab a b 1 从而只要证ab 1 a b 2 ab 原不等式成立 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 法二 1 a b 2 ab a b ab 1 1 从而有2 2 4 即 a b 2 4 2 4 2 本题的关键在于找准突破口 合理选择方法 分析法中的联结词语必不可少 优点是利于思考 综合法条理清楚 但不好下手 两者结合较好 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 同类拓展4已知函数f x x2 ax b a b R 当实数p q满足p q 1时 若0 p 1 求证 pf x qf y f px qy 对任意实数x y成立 证明 欲证 pf x qf y f px qy 只要证 p x2 ax b q y2 ay b px qy 2 a px qy b p q 1 只要证 px2 qy2 px qy 2 只要证 p 1 p x2 2pqxy q 1 q y2 0 只要证 pq x y 2 0 0 p 1 p q 1 0 q 1 x y 2 0 上式成立 故原不等式成立 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 例5求证 当x2 bx c2 0有两个不相等的非零实数根时 bc 0 分析 从所证结论分析不好采用直接证法 若用反证法 则可分为3类情况讨论证明 证明 假设bc 0 则有三种情况出现 若b 0 c 0 方程变为x2 0 x1 x2 0是方程x2 bx c2 0的根 这与已知方程中有两个不相等的实根矛盾 若b 0 c 0 方程变为x2 c2 0 但当c 0时x2 c2 0与x2 c2 0矛盾 若b 0 c 0 方程变为x2 bx 0 方程的根为x1 0 x2 b 这与已知条件方程有两个非零实根矛盾 综合 可知 假设不成立 故当x2 bx c2 0有两个不相等的非零实数根时 bc 0 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 当结论的反面的情形比较多时 要对每一种情形分别推出矛盾 同类拓展5设Sn为数列 an 的前n项和 Sn 2an 3n 5 n N 1 证明 数列 an 3 是等比数列 2 证明 不存在正整数p q r p q r 使得p q r和Sp Sq Sr同时成等差数列 证明 1 因为Sn 2an 3n 5 n N 所以a1 S1 2a1 2 所以a1 2 又因为an 1 Sn 1 Sn 2an 1 3 n 1 5 2an 3n 5 2an 1 2an 3 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 所以an 1 2an 3 故an 1 3 2 an 3 又因为a1 3 1 所以数列 an 3 是首项为1 公比为2的等比数列 2 由 1 得 an 3 a1 3 2n 1 2n 1 所以an 2n 1 3 故Sn 2n 3n 1 假设满足条件的正整数p q r存在 则p r 2q Sp Sr 2Sq 由 得 2p 3p 1 2r 3r 1 2 2q 3q 1 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 即2p 2r 3 p r 2q 1 6q 将 代入得 2p 2r 2q 1 设等差数列p q r的公差为d 则q p d r p 2d d 0 代入上式有2p 2p 2d 2p d 1 两边同除以2p 得1 22d 2d 1 即 2d 1 2 0 所以2d 1 所以d 0 与d 0矛盾 故不存在满足条件的p q r 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 数学归纳法在高考中一般不单独命题 而是作为解答题的工具 且往往在与数列 函数 不等式等知识交汇处使用 例6已知数列 bn 是等差数列 b1 1 b1 b2 b10 145 1 求数列 bn 的通项公式bn 2 设数列 an 的通项an loga 1 其中a 0且a 1 记Sn是数列 an 的前n项和 试比较Sn与logabn 1的大小 并证明你的结论 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 分析 1 直接由已知求出b1和d即可 2 将Sn和logabn 1分别求出表达式后使用数学归纳法证之 解析 1 设数列 bn 的公差为d 由题意得 bn 3n 2 2 由bn 3n 2知Sn loga 1 1 loga 1 loga 1 loga 1 1 1 1 而logabn 1 loga 于是 比较Sn与logabn 1的大小 比较 1 1 1 1 与的大小 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 取n 1 有 1 1 取n 2 有 1 1 1 推测 1 1 1 1 当n 1时 已验证 式成立 假设n k k 1 时 式成立 即 1 1 1 1 则当n k 1时 1 1 1 1 1 1 3 3 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 0 3k 2 从而 1 1 1 1 1 即当n k 1时 式成立 由 知 式对任意正整数n都成立 于是 当a 1时 Sn logabn 1 当0 a 1时 Sn logabn 1 与正整数n有关的命题的证明常考虑数学归纳法 数学归纳法应注意 验证n的初始值时命题成立 假设n k时命题成立且要利用假设 二者缺一不可 此题在证n k 1命题成立时用作差比较法是很好的思想方法 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 同类拓展6在各项为正的数列中 数列的前n项和Sn满足Sn an 2 由 1 猜想数列的通项公式 并用数学归纳法证明你的猜想 解析 1 S1 a1 a1 求得a1 1 S2 a1 a2 a2 得a2 1 S3 a1 a2 a3 a3 得a3 1 求a1 a2 a3 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 2 a1 a2 a3 猜测an 下面用数学归纳法证明an n 1时 由上知成立 假设n k k N且k 1 时 ak 成立 则n k 1时 ak 1 Sk 1 Sk ak 1 ak ak 1 化简得 2ak 1 1 ak 1 2 k 1 ak 1 0 ak 1 即n k 1时 an 成立 由 知 an 成立 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 回归课本 2010年 湖南 如图是求12 22 32 1002的值的程序框图 则正整数n 解析 按照程序框图依次执行 第1次 这时s 1 i 2 第2次 这时s 12 22 i 3 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 第99次 这时s 12 22 32 992 i 100 第100次 这时s 12 22 32 1002 i 101 输出 答案 100 课本试题对比 人教A版必修3习题1 1第2题 设计一个算法求12 22 992 1002的值 并画出算法框图 本题考查了算法中的读算法框图问题 这类问题在高考中是必考题 试题难度不大 主要考查循环结构和条件结构等 通过对比发现 高考题就是设计了一个算法框图 完成求值 可以说两题完全相同 由此得到感悟 高考题虽然千变万化 但万变不离其宗 算法与推理的许多问题均可以从课本中找到原型 复习时要注意这点 不能丢掉这一核心 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 1 如图 在算法框图中 若p 则输出的n 创新设计 解析 由题意得n 1 S 0 p n 2 S p n 3 S p n 4 S p n 5 S p 输出n 6 答案 6 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 2 如图 坐标纸上的每个单元格的边长为1 由下往上的六个点 1 2 3 4 5 6的横 纵坐标分别对应数列 an n N 的前12项 如下表所示 按如此规律下去 则a2011 a2012 a2013等于 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 A 1004 B 1005 C 1006 D 1007 解析 a1 1 a2 1 a3 1 a4 2 a5 2 a6 3 a7 2 a8 4等 这个数列的规律是奇数项为1 1 2 2 3 3 偶数项为1 2 3 故a2011 a2013 1 a2012 1007 故a2011 a2012 a2013 1007 故选D 答案 D 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 1 由直线与圆相切时 圆心与切点的连线与直线垂直 想到平面与球相切时 球心与切点的连线与平面垂直 用的是 A 归纳推理 B 演绎推理 C 类比推理 D 特殊推理 解析 由类比推理的概念可知 答案 C 一 选择题 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 2 设a b R且a b 则下列命题正确的是 A a2 b2 B 1 C log2 a b 0 D 2 a 2 b 解析 a b a b 即2 a 2 b 答案 D 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 3 利用数学归纳法证明不等式1 f n n 2 n N 的过程中 当n 2时左边为 A 1 B 1 C D 1 解析 当n 2时 左边为3项相加 为1 答案 D 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 4 下面程序的输出结果为 程序 X 3Y 4X X YY X Y输出X Y A 3 4 B 7 7 C 7 8 D 7 11 解析 X 3 4 7 Y 7 4 11 答案 D 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 5 用反证法证明命题 若系数为整数的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 有有理根 那么a b c中至少有一个是偶数 那么对结论的否定正确的是 A 假设a b c都是偶数 B 假设a b c都不是偶数 C 假设a b c至多有一个是偶数 D 假设a b c至多有两个是偶数 解析 至少有一个 的否定是 一个也没有 即a b c都不是偶数 答案 B 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 6 已知正三角形内切圆的半径是其高的 把这个结论推广到空间正四面体 类似的结论是 A 正四面体的内切球的半径是其高的 B 正四面体的内切球的半径是其高的 C 正四面体的内切球的半径是其高的 D 正四面体的内切球的半径是其高的 解析 原问题的解法为等面积法 即S ah 3 ar r h 类比问题的 解法应为等体积法 V Sh 4 Sr r h 即正四面体的内切球的半径是其高的 所以应选C 答案 C 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 7 2011年 辽宁 执行右面的算法框图 如果输入的n是4 则输出的p是 A 8 B 5 C 3 D 2 解析 变量关系列表如下 答案 C 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 8 已知数列 an 的前n项和Sn n2 an n 2 而a1 1 通过计算a2 a3 a4 猜想an等于 A B C D 解析 S2 22 a2 1 a2 4a2 a2 S3 32 a3 1 a3 9a3 a3 S4 42 a4 1 a4 16a4 a4 可见a1 a2 a3 a4 由此猜想an 实际上 此题用a1 1代入选项验证最简单 答案 B 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 9 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表 每行比上一行多一个数 设aij i j N 是位于这个三角形数表中从上往下数第i行 从左往右数第j个数 如a42 8 若aij 2010 则i j的值的和为 A 75 B 76 C 77 D 78 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 解析 观察偶数行的变化规律 2010是数列 2 4 6 8 的第1005项 前31个偶数行的偶数的个数为 32 31 992 所以2010是偶数行的第32行第13个数 即三角形数表中的第64行第13个数 所以i 64 j 13 所以i j 77 故选C 答案 C 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 10 对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次 得到如下表所示的数据 在上述统计数据的分析中 一部分计算见如图所示的算法框图 其中是这8个数据的平均数 则输出的S的值是 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 A 7 B 8 C 9 D 10 解析 算法框图实质上就是求观测数据的方差 计算得S 7 答案 A 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 11 如图所示 已知D是面积为1的 ABC的边AB的中点 E是边AC上任一点 连结DE F是线段DE上一点 连结BF 设 1 2 且 1 2 记 BDF的面积为S f 1 2 则S的最大值是 A B C D 解析 连结BE 因为 ABC的面积为1 2 所以 ABE的面积为 2 因为D是AB的中点 所以 BDE的面积为 因为 1 所以 BDF的面积S f 1 2 1 2 2 上式当且仅当 1 2 时取等号 故选A 答案 A 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 12 如图1是某县参加2011年高考的学生身高条形统计图 从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1 A2 A10 如A2表示身高 单位 cm 在 150 155 内的学生人数 如图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法框图 现要统计身高在160 190cm 含160cm 不含190cm 的学生人数 那么在算法框图中的判断框内应填写的条件是 图1 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 图2 A i 10 B i 9 C i 8 D i 7 解析 依题要统计A4 A5 A6 A7 A8 A9的和 故应填写i 9 答案 B 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 13 定义 是一种运算 对于任意的x y 都满足x y axy b x y 其中a b为正实数 已知1 2 4 则ab取最大值时a的值为 解析 1 2 4 2a 3b 4 2a 3b 2 ab 当且仅当2a 3b 即a 1时等号成立 所以当a 1时 ab取最大值 答案 1 二 填空题 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 14 已知sin25 sin265 sin2125 sin210 sin270 sin2130 则一般性的结论是 解析 sin2 sin2 60 sin2 120 证明如下 左式 cos2 cos 120 2 cos 240 2 cos2 cos120 cos2 sin120 sin2 cos240 cos2 sin240 sin2 所以命题得证 答案 sin2 sin2 60 sin2 120 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 15 阅读如图所示的算法框图 则运行后输出的结果是 解析 依次执行的是S 1 i 2 S 1 i 3 S 2 i 4 S 2 i 5 S 3 i 6 S 3 i 7 此时满足i 6 故输出的结果是 3 答案 3 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 16 椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质 如对于椭圆有如下命题 AB是椭圆 1 a b 0 的不平行于对称轴且不过原点的弦 M为AB的中点 则kOM kAB 那么对于双曲线有如下命题 AB是双曲线 1 a 0 b 0 的不平行于对称轴且不过原点的弦 M为AB的中点 则kOM kAB 答案 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 17 在 ABC中 若AB AC AD BC于D 则 那么 在四面体ABCD中 类比上述结论 你能得到怎样的猜想 并说明理由 三 解答题 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 18 证明 在 ABC中 a b c成等差数列的充要条件是acos2 ccos2 b 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 19 等差数列 an 的前n项和为Sn a1 1 S3 9 3 2 设bn n N 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 1 求数列 an 的通项an与前n项和Sn 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 1 求l的方程 20 已知a 0 函数f x x 0 设0 x1 记曲线在x x1处的切线为l 2 设l与x轴的交点为 x2 0 证明 0 x2 若x1 则x1 x2 解析 1 f x 的导数为 f x 由此得l的方程为 y x x1 2 在l的方程中令y 0 得x2 x1 1 ax1 x1 x1 2 ax1 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 00 ax1 1 x2 x1 2 ax1 x1 且由 x2 故x1 x2 当且仅当x1 时 x2 故0 x2 或用比较法 00 00 x2 x1 2 ax1 a x1 2 x2 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 21 已知抛物线C y2 4x 点M m 0 在x轴的正半轴上 过M的直线l与C相交于A B两点 O为坐标原点 2 是否存在定点M 不论直线l绕点M如何转动 使得 恒为定值 解析 1 当m 1时 M 1 0 此时 点M为抛物线的焦点 直线l为y x 1 设A x1 y1 B x2 y2 联立方程得消去y得 x2 6x 1 0 x1 x2 6 y1 y2 x1 x2 2 4 因此圆心坐标为 3 2 1 若m 1 且直线l的斜率为1 求以AB为直径的圆的方程 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 又 AB x1 x2 2 8 圆的半径为4 因此圆的方程为 x 3 2 y 2 2 16 2 设直线l的方程为x ky m 则直线l的方程与抛物线C y2 4x联立 消去x得 y2 4ky 4m 0 则y1y2 4m y1 y2 4k 为定值时 m 2 此时 重点知识回顾 主要题型剖析 高考命题趋势 专题训练 回归课本与创新设计 试题备选 22 已知点Pn an bn 满足an 1 an bn 1 bn 1 n N 且点P1的坐标为 1 1 1 求过点P1 P2的直线l的方程 2 试用数学归纳法证明 对于n N 点Pn都在 1 中的直线l上 3 试求使不等式 1 a1 1 a2 1 an k 对所有n N 成立的最大实数k 解析 1 由题意得a1 1 b1 1 b2 a2 1 P2 直线l的方程为 即2x y 1 0