样本空间与概率空间.doc

一、样本空间 在概率论中，随机试验是指在一定条件下出现的结果带有随机性的试验。我们用表示随机试验。随机试验的所有可能出现的结果构成一个集合，而把每一可能出现的试验结果称为一个基本事件。随机试验的所有基本事件构成所谓样本空间。下面举几个实际例子。 例1 掷一枚分币。出现“正面”、“反面”都是基本事件。这两个基本事件构成一个样本空间。 例2 掷一颗骰子。分别出现“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”、“6点”都是基本事件。这六个基本事件构成一个样本空间。 例3 向实数轴的区间上随意地投掷一个点。在区间中的每一个点是一个基本事件，而所有点的集合（即区间）构成一个样本空间。 抽象地说，样本空间是一个点的集合，此集合中每个点都称为样本点。样本空间记为，其中表示样本点。这里小括号表示所有样本点构成的集合。 样本空间的某些子集称为事件。从数学观点看，要求事件（样本点的集合）之间有一定的联系，亦即对事件需加一些约束。 定义 设样本空间的某些子集构成的集合记为，如果满足下列性质： （1）； （2）若，则； （3）若，则那么称是一个波雷尔（Borel事件域），或事件域。波雷尔事件域中每一个样本空间的子集称为一个事件。 特别指出，样本空间称为必然事件，而空集称为不可能事件。 在上面三个样本空间的例子中，每一个样本点都是基本事件。但是，一般并不要求样本点必需是基本事件。 在例1中共有两个样本点：“正面”，“反面”。作正面或反面，正面，反面，空集，它构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素都是一个事件。需要说明，表达式中的花括号。是指事件的集合。 在例2中共有六个样本点，记为出现“点”的样本点，。作 ，它构成一个波雷尔事件域。这里每一对小括号表示它所包含的样本点的集合。中一元素（即或每一对小括号表示的样本点集合）是一个事件。 在例3中，作区间中任意子集。构成一个波雷尔事件域，其中每一个元素是一个事件。再构造另一个波雷尔事件域。若取，而，即是区间中所有的左开右闭区间有限和集构成的集类。集类是指以点集作为元素的集合。显然不具有波雷尔事件域的第三条性质，这是因为中可列无限个元素之和，也可以是无限多个左开右闭区间之和，这种和不再是中的元素（例G），因而不是波雷尔事件域。记是包含的最小的波雷尔事件域。数学上可以证明与并不重合，而中的元素比少。波雷尔事件域中的每一个元素都是事件。 需要指出，在上面的三个例子中，四个有三个取为样本空间中任意子集全体构成的波雷尔域，因而样本空间的一任意一个子集都是事件。但是，还可以选的一部分子集构成一个波雷尔事件域，如例3中的。又如在例1中取，这种也构成波雷尔事件域。此时只有两个事件，但这样取的实际意义不大。二、概率的公理化定义 在概率论中曾提及概率的统计定义和古典概率定义。概率的统计定义与大量重复试验相联系。古典概率定义要求样本空间由个等可能性的基本事件构成，具有一定的局限性。现在介绍一种概率的抽象的数学定义公理化定义。这种定义是从一些具体的概率定义（如概率的统计定义，古典概率定义等）抽象出来的，同时又保留了具体概率定义中的一些特征。事件的概率是对应于波雷尔事件域中每一个的子集的一个数，即可以看成集合函数。 概率的公理化定义 设是定义在样本空间中波雷尔事件域上的集合函数。如果满足 （1）对任一，有； （2）； （3）若两两不相交，即，且，则那么称是波雷尔事件域上的概率。 在例1中定义，其中是事件包含的样本点数，那么是概率。另外，如果定义（正面），（反面）（正面或反面）（空集），这样定义的也是概率。 在例2中定义，其中是事件包含的样本点数，那么是概率。 在例3中考虑波雷尔事件域，数学上可以证明在上存在一个集合函数，满足概率公理化定义中的三个条件，且对，有，其中两两不相交（显然是中元素），所以这个上的集合函数是概率。此概率表示区间上的均匀分布。特别指出，是由区间上任意子集构成的波雷尔事件域，数学上已经证明并不存在上的集合函数，对上述事件