拉格朗日中值定理.doc

拉格朗日中值定理的再认识数学学院 数学与应用数学（师范）专业 2006级 XX指导教师 XX 摘 要：拉格朗日中值定理是微分学突出的成果，在数学分析中占有非常重要的地位，且它是微分学的基础定理之一，是沟通函数与导数之间的桥梁，在理论及其应用上都有极其重要的意义。本文通过对定理的再认识，对拉格朗日中值定理的应用做了一定研究，主要探讨拉格朗日中值定理在求极限，证明不等式，证明函数单调性等方面的应用。 关键词：拉格朗日定理；洛尔定理；证明；应用Abstract: Lagrange theorem is Differential prominent achievements in the mathematical analysis plays a very important position, and it is the basis of theorem of differential calculus is one of communication between function and derivative of the bridge, in the theory and its applications all have very important meaning. Recognition by theorem of Lagranges theorem to do an analysis, on the application of Lagrange theorem to do a little research, a comprehensive understanding of the Lagrange Mean Value Theorem in Limit, to prove inequality, that function Monotonicity aspects of role to play on the theorem in-depth understanding and mastery of the role can be applied correctly.Keywords: Lagrange; Rolle theorem; Proof; Application1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理。定理5 若函数满足：（1） 在连续；（2） 在可导；则在内至少存在一点，使 (如图1-1) 。 这个定理从几何图形上看是很明显的。图1画出了上的一条曲线，连接，两点，作弦它的斜率是。如果在内可导，也就是过曲线上每一点都可以作一条切线，那么在曲线上至少有一点，使得过点的切线与弦平行，即两者的斜率相等。而切线的斜率是，故。这就是中值定理表达的内容。2 拉格朗日中值定理的证明及辅助线的构造方法引理 （洛尔(Rolle)定理） 定理5 若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）。则在内至少存在一点，使得(如图2-1)。以下是拉格朗日中值定理的证明证明 我们不妨设在上不恒为常数。因为如果恒为常数，则在上处处成立，这时定理的结论是明显的。由于在连续，由闭区间连续函数的性质，必在上达到其最大值和最小值，我们分两种情形来证明。（1）考虑特殊情形，由于不恒为常数，所以此时必有，且和中至少有一个不等于（即）。这时根据闭区间上连续函数的性质，在至少有一点，使（或使），于是对内任一点，必有，（或），于是由费尔马定理，即得而此时，这就证明了定理成立。 （2） 当。此时，由上考虑一般情况，作辅助函数。由连续函数性质及导数运算法则，可知在连续，在可导，并且。这就是说满足上面的特殊情形，因此在内至少有一点，使，即，即证。综上（1），（2）即是拉格朗日中值定理的证明。比较定理条件,罗尔定理中端点函数值=,而拉格朗日定理对两端点函数值不作限制,即不一定相等。我们要作的辅助函数, 一定要使端点函数值相等,才能归结为罗尔定理来证明。但是，如何巧妙地构造这些辅助函数，常常让初学者感到困惑。下面是通过3种途径来构造的辅助函数 。（I） 几何法设在上满足拉格朗日中值定理的条件。如图2-2所示，曲线弧与弦相交于两端点。利用函数及弦所表示的函数的纵坐标之差来构造辅助函数。对同一个，曲线弧与弦在区间的端点的纵坐标之差都是0，即（这正是洛尔定理的第三个条件）。因弦的斜率为。由点斜式得到弦的方程为 （过点）。（II）分析法令，则有。把等式的两边看作是某个函数在区间上的两个端点的函数值，可以看出，这个函数在上的两个端点的函数值相等，这正是洛尔定理所要求的条件，这就找到了要构造的函数。 即。这里还可以通过另一种方法来构造。要证明，即要证明，也就是要证明。用语言描述，就是要证明：函数在这一点的导数等于零，这正满足洛尔定理的结论。由此可知，要构造的辅助函数为 。（III）积分法要证明等式，两边积分，得到，即。现在的问题变为证明满足洛尔定理的三个条件，从而达到证明拉格朗日中值定理的目的。3 拉格朗日中值定理的应用31 利用拉格朗日中值定理求极限例1 求极限解 函数在或上运用拉格朗日中值定理，得 (介于与之间)，当x0时, 0,由介值定理可知，则。例2求解 令，则在上满足拉格朗日中值定理，得，其中，所以，。3.2 拉格朗日定理在高考题中的应用例3 已知函数，的导数函数是，对任意两个不相等的正数 ，证明：当时， 。证明 由，得，。下证 恒成立，即证恒成立。由于，当且仅当时取到最小值。又，故恒成立，即恒成立。所以由拉格朗日定理知。3.3 利用拉格朗日中值定理证明不等式例4 试证 如果在上恒有，则对于上不同的任意两点，总有。证明 对于上不同的任意两点，不失一般性，可设，从而，依题设，在上，而这是以存在为前提的。于是在上和在上都满足拉格朗日中值定理的条件，因此必存在与，使得，由可知，在上是单调递减的，从而，且因，所以，。例5 证明对一切都成立。证明 设,取闭区间。在上满足拉格朗日中值定理条件。至少存在一点，使得。即， ，即，又， 又，由上知，即。3.4 利用拉格朗日中值定理证明恒等式例6 求证。证明 由知不能是整数，因此对都存在整数。使且，令。则。令，得。3.5 利用拉格朗日中值定理证明函数的单调性例7 求证在内单调增加。证明 因，又在上满足拉格朗日中值定理的条件，故，。从而有，所以，在时单调增加。3.6 利用拉格朗日中值定理证明方程根的存在性例8 设在上可导，且，对于内的所有点，证明方程在内有唯一实根。证明 （1）存在性：令，则在上可导，又，.因,故由介值定理得在内这少有一个零点，即方程在内至少有一实根。（2）唯一性：设方程在内有两个实根，不妨设，则有，.因在上满足拉格朗日中值定理，所以至少存在一点，使得，即在内至少存在一点使得，这与题设矛盾，所以假设不成立，即方程在内有唯一实根。结束语： 以上例题充分显示了拉格朗日中值定理在求极限，证明不等式，证明函数单调性等方面的重要应用，也突出了拉格朗日中值定理的重要性。不过，要想充分理解，领悟拉格朗日中值定理，以上的研究是远远不够的。我们需要在今后的学习研究中做出更大的努力，达到更深入的理解。参考文献：1 任民.拉格朗日中值定理的应用J. 榆林学院学报，2006,（16）：16-16.2 赵珍.拉格朗日定理在证明不等式中的妙用J. 数学教学研究,2005,(02)：33-34.3 薛孝乐.拉格朗日定理在2006年高考题中的应用J.中学数学杂志（高中）,2006,(05)：56-56.4 程玲华.拉格朗日中值定理在初等代数中的应用J.合肥教育学院学报, 2003,(02)：63-65.5 陈传璋.数学分析（第二版）M.