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综合测评(二)数列、极限与数学归纳法(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1方程x26x40的两根的等比中项是()A3B2C D2解析：选B.设两根为x1，x2，则x1x24.故其等比中项为2.故应选B.2. (1)()A. B.C2 D不存在解析：选B. (1).3(2010年高考浙江卷)设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则()A11 B8C5 D11解析：选A.设等比数列an的公比为q(q0)，依题意知8a1qa1q40，a10，则q38，故q2，所以11.4在数列an中，a13，且对于任意大于1的正整数n，点(an，an1)在直线xy60上，则a3a5a7的值为()A27 B6C81 D9解析：选A.由题意得anan160，即anan16，得数列an是等差数列，且首项a13，公差d6，从而a3a5a7a72da5a14d34627.5已知函数f(x)在R上连续，则ab()A2 B1C0 D1解析：选A.lif(x)li (x1)1，所以li 1，即li 1，则有a1，b1，ab2，故选A.6(2010年高考广东卷)已知数列an为等比数列，Sn是它的前n项和若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5()A35 B33C31 D29解析：选C.设数列an的公比为q，则a2a3a1q3a1a42a1a42，a42a7a42a4q324q32q，故a116，S531.7若数列an中，a1，且对任意的正整数p、q都有apqapaq，则an()A()n1 B2()nC()n D.()n1解析：选C.特殊值法处理，设q1可得ap1ap，所以an是公比为的等比数列，即有an()n.8设等差数列an的前n项和为Sn，且a110，a29，那么下列不等式中成立的是()Aa10a110CS20S210 DS40a410，a20a22S21，即S20S210，故C错由an及Sn知，S400，a410，即S40a410，且q 为常数)，某同学得出如下三个结论：an的通项是an(q1)qn1；an是等比数列；当q1时，SnSn2S.其中正确结论的个数为()A0 B1C2 D3解析：选C.anSnSn1qn1(qn11)(n2)，即an(q1)qn1(n2)，而a1S1q1，得an(q1)qn1(n1)，正确；当q1时，an不是等比数列，错误；当q1时，令tSnSn2S(qn1)(qn21)(qn11)2，则tqn(q1)2，显然t0，即SnSn2S，正确10据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是()A10秒钟 B13秒钟C15秒钟 D20秒钟解析：选C.设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，an，则数列an是首项a12，公差d2的等差数列，由求和公式有na1240，即2nn(n1)240，解得n15，故选C.11已知li a，且函数yalnxc在(1，e)上具有单调性，则b的取值范围是()A(，1e，) B(，0e，)C(，e D1，e解析：选A.由于li a，则x2是方程x2cx20的一个根，故c3，a1，y(lnx3).1xe，当b0时，y0；当b0时，1b11，则1b0或10.0b1或be.综上可知选A.12设a1，a2，a50是在1,0,1这三个整数中取值的数列，若：a1a2a509且(a11)2(a21)2(a501)2107，则a1，a2，a50当中为零的项共有()A11个 B12个C15个 D25个解析：选A.(a11)2(a21)2(a501)2aaa2(a1a2a50)50107，aaa39，a1，a2，a50中为零的项应有503911个，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13li 2，则a_.解析：li li 1a2，a1.答案：114数列an中，Sn是前n项和，若a11,3Sn4Sn1，则Sn_.解析：S1a11，又SnSn1，故数列Sn是以1为首项，为公比的等比数列，故Snn1.答案：n115在等差数列an中前n项的和为Sn，且S6S8，有下列四个命题：(1)此数列的公差dS6，即S60，同理可知a80.da8a70.又S9S6a7a8a93a80，S90，a80，0，|，则此通项公式可以为an_(写出一个即可)解析：数列an满足a12，an1，a21，a3121，a4112.若an有一个形如anAsin(n)B的通项公式，且数列an的周期为3，所以3， 将前三项代入可得：A，B，所以ansin(n).答案：2sin(n)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)等比数列an的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列(1)求an的公比q；(2)若a1a33，求Sn.解：(1)依题意有a1(a1a1q)2(a1a1qa1q2)由于a10，故2q2q0.又q0，从而q.(2)由已知可得a1a1()23，故a14.从而Sn1()n. 18(本小题满分12分)数列an满足a12，a25，an23an12an.(1)求证：数列an1an是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)求数列an的前n项和Sn.解：(1)证明：由题意知an2an12(an1an)，2，故数列an1an是等比数列(2)由(1)知数列an1an是以a2a13为首项，以2为公比的等比数列，an1an32n1.a2a1320，a3a2321，a4a3322，anan132n2，ana13(2n11)，即an32n11.(3)an32n11，Sn3n32nn3.19(本小题满分12分)已知数列an满足：Sn1an(nN*)，其中Sn为数列an的前n项和(1)试求an的通项公式；(2)若数列bn满足：bn(nN*)，试求bn的前n项和公式Tn.解：(1)Sn1an，Sn11an1.得an1an1an.an1an(nN*)又当n1时，a11a1，a1.ann1n(nN*)(2)由(1)得bnn2n(nN*)Tn12222323n2n.2Tn122223324n2n1.得Tn222232nn2n1n2n1.整理得：Tn(n1)2n12，nN*.20(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn，且(3m)Sn2manm3(nN*)，其中m为常数，m3，且m0.(1)求证：an是等比数列；(2)若数列an的公比满足qf(m)且b1a1，bnf(bn1)(nN*，n2)，求证：为等差数列，并求bn.证明：(1)由(3m)Sn2manm3，得(3m)Sn12man1m3，两式相减，得(3m)an12man(m3)，m是常数，且m3，m0，故是不为0的常数，an是等比数列(2)由b1a11，qf(m)，nN*且n2，bnf(bn1)，得bnbn13bn3bn1.是以1为首项，为公差的等差数列，1，故有bn.21(本小题满分12分)设Sn为数列an的前n项和，若(nN*)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”(1)若数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列bn是否为“和等比数列”；(2)若数列cn是首项为c1，公差为d(d0)的等差数列，且数列cn是“和等比数列”，试探究d与c1之间的等量关系解：(1)因为数列2bn是首项为2，公比为4的等比数列，所以2bn24n122n1，因此bn2n1.设数列bn的前n项和为Tn，则Tnn2，T2n4n2，所以4，因此数列bn为“和等比数列”(2)设数列cn的前n项和为Rn，且k(k为常数，且k0)因为数列cn是等差数列，所以Rnnc1d，R2n2nc1d，所以k对于nN*都成立，化简得(k4)dn(k2)(2c1d)0，则因为d0，所以k4，d2c1，因此d与c1之间的等量关系为d2c1.22(本小题满分12分)在直角坐标平面上有一点列P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)，对一切正整数n，点Pn位于函数y3x的图象上，且Pn的横坐标构成以为首项，1为公差的等差数列xn(1)求点Pn的坐标；(2)设抛物线列C1，C2，C3，Cn，中的每一条对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线Cn的顶点为Pn，且过点Dn(0，n21)，记与抛物线Cn相切于Dn的直线的斜率为kn，求：；(3)设Sx|x2xn，nN*，Ty|y4yn，nN*，等差数列an的任一项anST，其中a1是ST中的最大数，265a10125，求an的通项公式解：(1)由题意，得xn(n1)(1)n，yn3xn3n.Pn(n，3n)(nN*)(2)Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn，设Cn的方程为ya(