复变1.3--1.4.ppt

第三节复变函数 定义1设为一复数集 若对内每一复数 有唯一确定的复数与之对应 则称在上确定了一个单值函数 若对内每一复数 有几个或无穷多个与之对应 则称在上确定了一个多值函数 1 复变函数的定义 例等均为单值函数 等均为多值函数 注以后如不特别说明 所提函数均指单值函数 复变函数一般有三种表示形式 若令 则有 若令 则有 2 复变函数表示形式 例1 例2 复变函数不能用同一个平面或同一个三维空间中的几何图形来表示 一般我们取两张复平面 分别称为平面和平面 而把复变函数理解为两个复平面上的点集之间的对应 在几何上 w f z 可以看作 定义域 函数值集合 3 映射的概念 复变函数的几何意义 以下不再区分函数与映射 变换 在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u v与x y之间的对应关系 以便在研究和理解复变函数问题时 可借助于几何直观 复变函数的几何意义是一个映射 变换 例3 解 关于实轴对称的一个映射 见图1 1 1 2 旋转变换 映射 见图2 例4 解 图1 1 图1 2 图2 4 反函数或逆映射 例设z w2则称为z w2的反函数或逆映射 为多值函数 2支 定义设w f z 的定义集合为G 函数值集合为G 例1试问函数把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线 1 以原点为心 2为半径 在第一象项里的圆弧 2 倾角的直线 3 双曲线 解设则因此 1 在平面上对应的图形为 以原点为心 4为半径 在上半平面的半圆周 2 在平面上对应的图形为 射线 3 因 故在平面上对应的图形为 直线 例1图形 5 函数的极限 几何意义 当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时 它的象点f z 就落入A的一个预先给定的 邻域中 1 定义中的方式是任意的 与一元实变函数相比较要求更高 2 A是复数 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系 定理1 3 若f z 在处有极限 其极限是唯一的 运算性质 6 函数的连续性 定义 定理3 复变函数连续性与实值函数连续性的关系 注解 1 初等函数在其有定义的地方连续 2 复合运算 四则运算成立 3 关于实变连续的函数的基本性质也可以推广过来 如一致连续性 闭区域上连续函数的基本性质 一致连续性 有界性 取到极大模和极小模等 4 同样我们也可以定义非正常极限 例 设试证在原点无极限 从而在原点不连续 证令则从而故得证 第四节复球面与无穷远点 复数还有一种几何表示法 它是借用地图制图学中将地球投影到平面上的测地投影法 建立复平面与球面上的点的对应 取一个在原点与平面相切的球面 通过点作一垂直于平面的直线与球面交于点 称为北极称为南极 用直线段将与平面上一点相联 此线段交球面于一点 这就建立起球面上的点 不包括北极点 与复球面上的点间的一一对应 x y 0 x y u 0 0 1 三点共线 无穷远点 对应于球极射影为N 我们引入一个新的非正常复数称为无穷远点 称为扩充复平面 记为 N 考虑平面上一个以原点为心的圆周 在球面上对应的也是一个圆周 当圆周的半径越大时 圆周就越趋北极 因此 北极可以看成是与平面上的一个模为无穷大的假想点相对应 这个假想点称为无穷远点 并记为 复平面加上点后称为扩充复平面 与它对应的就