江苏省常州市教育学会学业水平监测2012届高三数学试卷.doc

江苏省常州市教育学会学业水平监测2012届高三数学试卷参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B) = P(A) +P(B)如果事件A、B相互独立，那么 P(AB) =P(A)P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥体侧= 其中c表示底面周长，表示斜高或母线长球的体积公式= 其中R表示球的半径第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（文科学生做）已知为第四象限角，则+为 （ ）A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角（理科学生做）设复数z1=1+i，z2= -3+i，则z=在复平面内所对应的点位于（）A第四象限B第三象限C第二象限D第一象限2一个多面体的各个面都是五边形，且每个顶点出发有三条棱，这个多面体是（）A六面体B八面体C十面体D十二面体3对于一组数据(i=1，2，3，n)，如果将它们改变为-c(i=1，2，3，n)，其中c0，则下面结论中正确的是（ ）A平均数与方差均不变B平均数不变，而方差变了C平均数变了，而方差保持不变D平均数与方差均发生了变化4设，则满足条件01，01的动点P的变动范围（图中阴影部分，含边界）是（）A21Oyx1B21Oyx1D-21Oyx1C21Oyx15函数的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两个定点间的距离为（）A8B C4 D6某农场，可以种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d km的中心城市，其产销资料如下表所示：作物项目 水果蔬菜稻米甘蔗市场价格（元 / kg）8321生产成本（元 / kg）3210.4运输价格（元/ kgkm）0.060.020.010.01单位面积相对产量（kg）10154030当距离d达到nkm以上时，四种农作物中以种植稻米的经济效益最高（注 经济效益市场售价生产成本运输成本）则n的值为（）A50 B70 C250 D3207若数列是等差数列，首项a10，a4+a20050，a1004a10050，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n可以是（）A2005B2006C2007 D2008ABCDA1B1C1D18如图，在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱、的长度分别为10m、15m、30m，则立柱的长度是 （ ）A30m B25m C20m D15m9（文科学生做）已知展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（ ）A1或 B1或 C D（理科学生做）设（nN）的整数部分和小数部分分别为In和Fn，则Fn(Fn+In)的值为（）A1B2 C4 D与n有关的数10椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径忽略不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是（）A4aB2(a-c)C2(a+c) D4a或2(a-c)或2(a+c)11已知，那么整系数多项式函数的各项系数和为（）A10 B9 C8 D1112平行移动抛物线x2= -3y，使它的顶点总在抛物线x2=y上，这样得到的抛物线所经过的区域是（）AxOy平面ByCy-Dy-第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分答案填在题中横线上13某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为40人，则n= 14已知A=0，1，2，3，4，5，6，7，f：AA。则满足“若i+j=7，则f(i)f(j)=ij”的映射f的个数为 。15已知2005sin2=sin2008，则的值为 16设m是正整数，若用m去除整数a ，b所得的余数相同，则称a ，b关于模m同余，记作a b(modm) 根据这一定义，下列各式成立的是 a b(mod)a b(mod)； 三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）（文科学生做）某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中： （1）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ （2）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？（理科学生做）某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如：ACD算作两个路段，且路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）ABDCFE若记路线ACFB中遇到堵车次数为随机变量，求的分布列与数学期望E18（本小题满分12分）在等比数列an中，前n项和为Sn若S2，S4，S3成等差数列，则a2, a4, a3成等差数列 （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明19（本小题满分12分）正四棱柱AC1中，E为棱D1D上的点，O是底面正方形ABCD的中心（1）若E为D1D的中点，则为何值时，EO与面A1ADD1成角；（2）若AB1EO，证明O点在面AEB1上的射影是AEB1的垂心20（本小题满分12分）函数在上单调增，在上单调减 （1）求a的值（2）实数k取何值时，函数g(x)=kx+1与f(x)的图象恰有三个公共点？21（本小题满分12分）过点P作椭圆的两条切线l、m，试求当lm时的点P的轨迹22（本小题满分14分）定义，xA，A=a，b），ab，a、b为正实数（）求fA(x)的最小值；（）确定fA(x)的单调区间，并对单调增区间加以证明；（）若x1Ik = k2，(k+1)2)，x2Ik+1 = (k+1)2，(k+2)2)，kN*求证：参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1B 2D 3C 4A 5 B 6A 7 D 8B 9A 10D 11C 12C提示：1（文科题）可根据象限角的概念直接进行判断（理科题），对应点（-2，-4）在第三象限2设面数为F，棱数为E，顶点数为V，则V+F-E=2，且5F=2E，3V=2E，解得F=123设x1，xn的平均数为，方差为，则x1-c，xn-c的平均数为，方差为4设= (x，y)，则，显然点(x，y)的变动区域为图A所示5xy=2为等轴双曲线，两个顶点为，于是2a=|AB|=4，2c=6设四种农作物均种植1个单位面积水果：经济效益=(8-3)110-0.06110n=50-0.6n，蔬菜：经济效益=(3-2)115-0.02115n=15-0.3n，稻米：经济效益=(2-1)140-0.01140n=40-0.4n，甘蔗：经济效益=(1-0.4)130-0.01130n=18-0.3n依题意有，40-0.4n50-0.6n，40-0.4n15-0.3n，40-0.4n18-0.3n分别解得：n50，n250，n320故n507易知d0，a10050S2009=0，S2008=0故Sn0的最大自然数n为20088BB1+DD1=AA1+CC19（文科题）展开式中各项系数和为(1+a)8=1或38（理科题），Fn(In+Fn)=110设靠近A的长轴的端点为M，另一长轴的端点为N若小球沿AM方向运动，则路程应为2(a-c)；若小球沿ANM方向运动，则路程应为2(a+c)；若小球不沿AM与AN方向运动，则路程应为4a11f(g(1)=188，f(x)=215x=8（x=，不合，舍去）12设抛物线的顶点为(t，t2)，则有(x-t)2= -3(y-t2)，整理得2t2+2tx-(x2+3y)=0由0可推得二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 1396 14480 15 16提示：1314对0，7两元素的象，此时f(i)f(j)=0，故0，7这两元素的象至少有一个为0，计有28-1=15种情形；对1，6两元素的象，此时f(i)f(j)=6=16=23，故1，6两元素的象可能是1，6；6，1；2，3；3，2，计有4种情形。同理，2，5两元素的象有2种情形；3，4两元素的象有4种情形。故映射f的个数为15424=480种。1516易知均成立三、解答题：本大题共6小题，共74分 17（文科题）解 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.852分 (1)=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.0037分 (2)P() = P( = =1-P(A)P(B)P(C)+P(A)1-P(B)P(C)+P(A)P(B)1-P(C) =(1-0.9)0.80.85+0.9(1-0.8)0.85+0.90.8(1-0.85)=0.329答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.32912分（理科题）解 记路段MN不发生堵车事件为，路线ACFB中遇到堵车次数可以为0，1，2，32分，=，8分的分布列为：0123P数学期望为E=12分18（1）逆命题：在等比数列an中，前n项和为Sn，若a2，a4，a3成等差数列，则S2，S4，S3成等差数列 3分 （2）设数列an的首项为a1，公比为q 由已知，得2a4= a2 + a3 ，2a1q3=a1q+a1q2 a10，q0，2q2q1=0 ，q=1，或q= 5分当q=1时，S2=2a1，S4=4 a1，S3=3 a1，S2+S32 S4，S2，S4，S3不成等差数列 8分当q=时，S2+S3=（a1+a2）+( a1+a2+a3)=2a1a1+a1=a1，2 S4=，S2+S3=2 S4，S2，S4，S3成等差数列 11分综上可知，当公比q=1时，逆命题为假；当公比q1时，逆命题为真故命题q为假命题12分AB1A1BOED1C1DC(本题也可举反例说明命题q为假命题)19解 解法一 （1）连BD1，AD1，则BD1EO故BD1与面ADD1A1所成的角为302分又因BA面ADD1A1，故BD1A=30设AB=AO=1，AA1=a在RtBAD1中，AEHOB1解之a=故当时，EO与面A1ADD1所成的角为306分（2）正四棱柱AC1B1B底面ABCDBBAO又ABCD是正方形AOBD，因BDB1B=B，故AO面B1D1DBAOEB1 8分设O点在面AEB1上的射影为H，连AH，则B1EAHAB1A1BOED1C1DCzyx同理，AB1EH，故H是AEB1的垂心 12分解法二 （1）建立空间直角坐标系D-xyz，设正方形ABCD的边长为1，棱AA1=a，则D（0，0，0），E（0，0，），O（，0）， 2分平面ADD1A1的法向量为n=（0，1，0），则依题意 =60，故 a=AB1HOE故当时，EO与面A1ADD1成306分（2）设O点在面AEB1上的射影为H，则是面AEB1的法向量8分易证面BDD1B1，故于是，故同理，故H为AEB1的垂心12分20由题设，f (1)=0，解之4分 依题意，方程，即恰有3个不同的实根 若方程有一根为零， 则此时方程的解集为，不合题意6分 k0且方程恰有2个不同的非零根 故 有两重根与另外一个不等于x0的根 即 由 得代入得（舍去）或 当时函数的图象恰有三个公共点12分21解 不失一般性，设P(u，v)为轨迹上的任一点，过P的直线L的方程为mlxOyPy-v=k(x-u)，即y=k(x-u)+v 将代入并整理得(1+4k2)x2+(8kv-8k2u)x+4k2u2-8kuv+4v2-4=0 3分当L为切线时，上述关于x的方程有等实根，于是=(8kv-8k2u)2-4(1+4k2)(4k2u2-8kuv+4v2-4)=0整理变形得 (4-u2)k2+2uvk+1-v2=0 6分两切线l、m，lm，关于k的方程有两不等实根k1、k2，且k1k2= -14-u20，=(2uv)2-4(4-u2)(1-v2)0，u2，u2+4v24，u2+v2 =5 9分上述结论中，当u2+v2 =5时，u2+4v24恒成立又当点P的坐标为(2，1)时，过P的两切线显然存在且互相垂直（其中一条直线的斜率不存在），P(u，v)满足u2+v