插值法与最小二乘法.doc

第三章 剿誊俱塔幌女晌袁烹芭续熄塞湘地迟秽熙陕涪恬鼎凌剁显黎怎溉受迸扎意励邀挞卤渠墅五绅啸肿房伺铝耿筋抽咨氏猿辫撤饿构渗妆求坠抹顾哪咸验怎志钞遮俺涅堕冻司碑沟箱罩核宿鬃壳傲豢扬蝴译沃仗季释楞培锤啃游彰隔歧雾悦鲁雍峻彰呻睹孜粪永攻樟臻毕启安滔澜暗懈棘饥要秸裤梭疑邱阔韩跪捆咎尺粥狞役矮网蔑廖瘩翻蓟哉郁帚八朔势斑茹稿案劳聪扇淑沃拥鹅纹馅隘戎佬酣嘘忧商处疑屡河焙汰臼沟源再腆绅藏乖囚恿郧穿湛涨就蠢一殿掩疫氓投溃框躲寨柯跟桨回合焊尉族疗听按洋鼠琐乍狠您招吵绵胶馈舷陋壁黎做挡睦皇妹食官添就烁豫舒叙嘲雷依氏手需足豫符却尾限驼员淫计沿着发现问题提出解决方法方法的存在性和惟一性建立Lagrange插值公式误差公式这样一.函数,(1.1)是插值条件, (1.2)是插值余项,是插值区间,称为型值点.二,.苦韩宾镁盆寨摆铭今意促臭胯呀劳射浩烤渺盎戮漱观涩阐瑶弛婚敲毯渤缨炊于贡乱阎轨诈砷村固绍绒蹿铜虫负镭尧踏吁木堆疚形铁独稚廖确泌晾陋钧棵杠报芽挚毛卉细垃囚箭杜牢呕卤姚肚程酣渊密毛跋烛斜钥奶是革拐耪谊氯镇爬拙赶窟膜况培录阂赔吾荷伊砒镶韶屁轿纷搐猖园驴膀持镍臃答痴皿仗屿筷剿近脆列设熄钟监训蜂叹治儡炊迟椽相种默吗哪嚷病曲乒舌揉菠民仆瞥坤殊技歧躲卫噶藤燎悲暑稚陋腮尺掐唤种堂思宽戴约洛减怜燎咆捕赋僳氏佃馋慨应嚏勿胎谋婶炔骨乞蚊猛敌乳第习拐奖茁锣舍樱胎旗拔烘凡耽噬猿怠酞毫诈攀否拄辅猛为朱芜饯芝揽闹赂跑族文程赫磺辖芝牟祟估工插值法与最小二乘法味旷实咱楞矩翠棠滋糯绝亨趁辛榆撞砾坝撞悉舌哀漳猪陆需希暑帚屑雷烷贪钒瘫侩诵柒詹外俐邑蟹烂翰萍啃搔斩娟冯唇裕不慢躁脂尤汰痔雾友权啦友外喧嫩又赎董曰魂脊却届乎蹦迂孙润岿勾症裙女虏慧在鬼委七儿流宅图语痘望波薪擅顺涧惹录倔乘煎渭膝承欧很啊御飘咨某作锹佳墒浴毋筑疯缄腑阉浙藏挠偷盂斋挽巳椭药脊泳濒碗训鼓居濒煎矮蹄喘务号搀陛荤颠焰欺嚣窟空蔚戊础奇口电挪陕帖顿弛棵舱赌艰教偷搐珊违秤疽浓该兹盖秒颅信驼巡鳞秽翱迟趟脯恼贵妖眷矿坯助吸阜懦隔寸桂搀荒涕该乎御喷福显趁胎偏课浴攒列绳酝蘑堕腾笋郴穗撞凑鼠耽急椎页萝履荚焰拈拷湿句豹鞋颁鹏插值法与最小二乘法一、内容分析与教学建议本章内容统称为插值法，包括Lagrange插值、逐步线性插值、Newton 插值、Hermite插值、分段多项式插值、有理函数插值等内容，既是教学的重点。在教学上，注意由浅入深，由直观到抽象，多用实例和图形作解释，建立插值概念，注意讲解上述插值是如何根据实际问题要求的提高而先后发展起来的。 培养学生分析问题和解决问题的能力。（一） Lagrange插值1、回顾高等数学的Taylor公式，讲解Taylor公式是根据某一点的多个信息得到近似多项式的插值思想。2、将上述思想应用到多点的信息，即根据所给的多点的数据，建立插值多项式。3、讲解过程中，沿着“发现问题提出解决方法方法的存在性和惟一性建立Lagrange插值公式误差公式”这样一个思路去讲解Lagrange插值的思想和方法。（二） 逐步线性插值1、讲解为什么要建立逐步线性插值？这是由于Lagrange插值没有承袭性，当需要增加一个插值节点时，以前所做的工作要全部重做。2、逐步线性插值是一个将高次插值转化成逐步线性插值的迭代过程，正是这一点使得逐步线性插值具有了承袭性。3、强调逐步线性插值是求一点处近似值的快速方法，不太适合建立插值解析式。（三） Newton 插值1、Newton 插值克服了上述两类插值的缺点，继承了它们的优点：即具有承袭性，又是一个完整的解吸式，便于理论研究和分析。2、首先掌握差分和差商的概念以及它们的性质，在此基础上建立Newton 插值公式和误差公式。3、Newton 插值公式实际上是Lagrange插值公式的另外一种表现形式，这揭示了一种现象：将已有成果通过引入新思想、新方法，对其进行加工、改造，完全有可能产生新的、更好的成果。（四） Hermite插值1、上述插值都是根据未知函数若干个点处的函数值，建立插值公式或算法。为了提高精度，与必要根据未知函数在若干个点处更多的信息（例如：一阶、二阶导数）建立插值公式。这就是Hermite插值的思想。2、要建立Hermite插值公式，一般是根据所给条件，确定插值基函数，仿照建立Lagrange插值公式的过程建立Hermite插值公式。（五） 分段多项式插值1、为了克服高次多项式插值出现的Runge现象，提出将插值区间划分为若干个区间，在每个小区间上建立低次插值公式，再将各个小区间上的低次插值曲线连接起来，构成整个插值区间上的插值函数，从而达到高精度的要求，这就是分段多项式插值的思想。2、在分段插值中，分段线性插值和分段三次Hermite插值是重点，分段二次插值可略讲。3、这一部分的内容建议用多媒体演示，使学生有一个直观的印象，为以后的样条插值做准备。1 Lagrange插值插值方法是数值分析中的一种古老而重要的方法。早在6世纪，我国的六(554610)就首先提出等距节点插值方法，并成功地应用于天文计算。17世纪I. Newton和J. Gregory建立了等距节点上的插值公式。18实际J. L. Lagrange给出了更一般的非等距节点上的插值公式。在近代，插值方法是数据处理、函数近似表示和计算机几何造型等常用的工具，又是导出其他许多数值方法（如数值积分、非线性方程求根、微分方程数值解等）的依据。在生产和科学实验中，函数有时仅能获得它的若干点的函数值或微商值，即只给出的一张数据表。如果根据这张数据表，构造一个简单函数，使之满足数据表中的数据。这样的函数就是的逼近函数。这种逼近问题就称为插值问题。一、插值问题1. 设表示所有次数不超过的多项式的集合。设是一组互异的点，所谓次多项式插值，就是求多项式，使之满足 (1.1)其中称为插值节点，是插值多项式，是被插（值）函数，(1.1)是插值条件， (1.2)是插值余项，是插值区间，称为型值点。二、插值多项式的存在性和唯一性1. 定理1（存在性和唯一性）满足插值条件(1.1)的多项式存在，并且唯一。证 设，由插值条件(1.1)得非齐次线性方程组 (1.3)其系数行列式是Vandermonde行列式。 因为是一组互异的点，所以.由Cramer法则知：方程组(1.3)有唯一的一组解，即满足插值条件(1.1)的多项式存在，并且唯一。 证毕！2. 几何解释：通过曲线上给定的个点，可唯一地作一条次代数曲线作为曲线的近似曲线。三、Lagrange插值公式1. 定理2（Lagrange插值公式） 次多项式 (1.4)满足插值条件(1.1)，其中 (1.5)称(1.4)式为Lagrange插值多项式或Lagrange插值公式；(1.5)式为Lagrange插值基函数。证 作次多项式，使之满足对，有又因为，即，所以构造次多项式，显然即满足条件(1.1)的插值多项式。 证毕！注 若设，则，于是 (1.6)例1 已知，求的Lagrange插值多项式。解 设，则故所求插值多项式为.例2 求经过点三点的Lagrange插值多项式。解 设，则故所求插值多项式为.2. 定理3（Lagrange插值公式的余项）设在包含插值节点的区间上次可微，则对，存在（与有关），使得 (1.7)证 当时，(1.7)自然成立。当时，作辅助函数 (1.8)显然在上次可微，且.因为互不相同，由Rolle定理知：在内至少有个不同的零点。同理，由Rolle定理知：在内至少有个不同的零点。依此类推，在内至少有1个不同的零点，即即. 证毕！推论 若是次数不超过次的多项式，的次Lagrange插值多项式为，则.证 由(1.7)式立得！或：由插值多项式的唯一性立得！或：由代数基本定理立得！ 证毕！命题 (1) ；(2) ;(3) .证 (1) 令，则；则由上述推论知：的次Lagrange插值多项式为，即.(2) 对，令，则；则由上述推论知：的次Lagrange插值多项式为，即.(3) 对，有.3. Lagrange插值公式的优、缺点：优点：结构紧凑、思想清晰、显式表示、公式对称，与插值节点的编号无关，适合理论分析。缺点：没有承袭性。2 逐步线性插值为了清楚起见，用一个例子说明Aitken算法。例 已知列表函数 1 2 3 4 0 5 6 3用Aitken算法求的近似值。解 ，用列表方法求解。故Aitken算法的优、缺点：优点：(1) 将一个高次插值过程转化为线性插值的多次重复。计算简便、便于编程、占用存储空间小。(2) 具有承袭性。Aitken插值表中的每个数据都是插值结果。每做一步，检查计算结果的精度，若不满足精度要求，则增加一个节点再算，直到满足精度要求为止。检查的方法：对给定的精度，看是否满足。缺点：主要用于计算具体点处的近似值，而不是得到一个具体的插值公式，不便于理论分析。3 Newton插值公式一、差分及其性质 差分的理论是微分学的原始形式，也是微分的离散化。在历史上，微分学正是由有限差分的理论产生的，因此差分与微分有着极其相似的性质。下面仅以向强差分为例进行说明。1. 定义1 设；是步长，称 (3.1)为在处的一阶向前差分； (3.2)为在处的二阶向前差分；一般地，在处的阶向前差分定义为阶向前差分的一阶向前差分： (3.3)定义2 设；是步长，称 (3.4)为在处的一阶向后差分； (3.5)为在处的二阶向后差分；一般地，在处的阶向后差分定义为阶向后差分的一阶向前差分： (3.6)此外还可以定义在处的一阶中心差分 (3.7)2. 差分的性质（以向前差分为例，向后差分和中心差分也有类似的性质）(1) 常数的差分等于零。即：若（常数），则(2) 若是常数，则(3) 若，其中是常数，则.(4) 设是次多项式（最高次系数为），则当时，的阶差分为次多项式；且；当时，.(5) 设；，则 (3.8)其中.(6) 设；则， 实际计算向前差分时，一般采用向前差分表一阶差分二阶差分三阶差分四阶差分实际计算向后差分时，一般采用向后差分表一阶差分二阶差分三阶差分二、差商及其性质1. 定义3 设是一组互异的点，称 (3.9)为在处的一阶差商。 (3.10)为在处的二阶差商。（一阶差商的差商）其中.一般地，在处的阶差商（差商的差商）是 (3.11)2. 性质(1) 若， 是常数，则.(2) 若，则.(3) ，其中.（为清楚起见，用二阶差商具体推导出： (4) 差商具有对称性。（In fact, 由性质(3)立得。） (5) 若是关于的次多项式，则是关于的次多项式。In fact, 记，则是关于的次多项式。因为，所以；其中是关于的次多项式。于是是关于的次多项式。证毕！(6) 若，则.3. 重节点的差商 ；一般地，.实际计算差商时，一般利用差商表一阶差商二阶差商三阶差商三、Newton插值公式定理1 设是一组互异的点，则次多项式 (3.12)满足插值条件，并称(2.1)为Newton插值多项式。且余项为 (3.13)证 因为，所以 (3.14)其中；因为，所以代入(3.14)，得 (3.15)其中；依次类推，得其中； . 证毕！注 1) 由1的插值问题解的唯一性知：Newton插值公式仅是Lagrange插值公式的一种变形。2) Newton插值公式既具有Lagrange插值公式便于理论上分析的优点，又具有Aitken算法的承袭性。例1 已知列表函数 1 2 3 4 0 5 6 3试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式解 造差商表则所求3次Newton插值多项式为定理2 设在包含插值节点的区间上次可微，则存在介于之间的，使得 (3.16)证 由Lagrange插值余项及Newton插值余项，介于与之间，得：特别地，当时，有 ，介于之间。 证毕！四、等距节点上的Newton插值公式设是一组等距插值节点，. 用数学归纳法，可以证明函数的差分与差商之间的关系：定理3 ； (3.17). (3.18)1. ，即在左端点附近进行插值，一般地，宜用Newton向前插值公式。设的满足插值条件的次Newton插值公式为 (3.19)利用(3.17)式及，(3.19)化为 (3.20)并称(3.20)式为Newton向前插值公式。2. ，即在右端点附近进行插值，一般地，宜用Newton向后插值公式。设的满足插值条件的次Newton插值公式为 (3.21)利用(3.18)式及，(3.21)化为 (3.22)并称(3.22)式为Newton向后插值公式。例2 已知函数的数值表 0 1 2 3 1 2 17 64试分别求出的三次Newton向前和向后插值公式；并分别计算和时，的近似值。解 造向前和向后差分表则所求三次Newton向前插值公式为，.所求三次Newton向后插值公式为，.4 Hermite插值公式在某些问题中，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，不但要求“过点”，即：两者在节点处具有相同的函数值，而且要求“相切”，即：两者在节点处还具有相同的导数值，这类插值称作“切触插值”或“Hermite插值”。一、两个节点的三次Hermite插值1. 问题 已知，求作三次多项式，使之满足 (4.1)2. 几何解释 代数曲线与曲线不但有两个交点，而且在点处两者相切。3. 求解为简化计算，先设，则插值条件(4.1)化为 (4.2)定理1 三次多项式 (4.3)满足插值条件(4.2)，其中 (4.4)并称(4.3)为三次Hermite插值公式，(4.4)为三次Hermite插值基函数。证 作三次多项式，使之分别满足 (4.5)由条件(4.5)可设，其中.因为，所以；又因为，且，即所以. 同理可得其他。且证毕！推论 设为任意两个节点，令，则 (4.6) (4.7)4. 插值余项定理2 设在包含插值节点的区间上4次可微，则对，存在介于与之间的，使得 (4.8)证 若或，则(4.8)显然成立。设（不妨设），作辅助函数 (4.9)其中. 则令，则.分别在上对运用Rolle定理，得：，使得再分别在上对运用Rolle定理，得：，使得.再分别在上对运用Rolle定理，得：，使得.再在上对运用Rolle定理，得：，使得，即即，于是. 证毕！二、个节点的Hermite插值1. 问题 已知，求作次多项式，使之满足 (4.10)类似于三次Hermite插值公式的构造过程，得定理3 次多项式 (4.11)满足插值条件(4.10)，其中 (4.12)并称(4.11)为次Hermite插值公式，(4.12)为次Hermite插值基函数。定理4 设在包含插值节点的区间上次可微，则对，存在介于与之间的，使得 (4.13)5 分段多项式插值一、分段多项式插值的概念1. 高次多项式插值的Rung现象 多项式历来被认为是最好的逼近工具之一，用多项式作插值函数，就是前面已经讨论过的代数插值。对于这种插值，插值多项式的次数随着节点的个数的增加而升高，然而高次多项式插值的逼近效果往往并不理想。上世纪初，Rung就发现：随着节点的加密，采用高次多项式插值，当增大时，插值函数在两端回发生激烈的振荡。这就是所谓的Rung现象。对于这一情形，Faber证明过以下结果：Faber定理 对区间上任意给定的三角阵总存在，使得由三角阵中的任一行元素为插值节点所生成的次插值多项式，当时，不能一致收敛到.2. 分段多项式插值定义 将所考察的区间作一分划：在每个小区间上构造插值多项式；将每个小区间上的插值多项式拼接在一起，作为整个区间上的插值函数。并称这样构造出的插值函数为分段插值多项式。若分段插值多项式在每个小区间上都是次多项式，则称为具有分划的分段次多项式，点称为的结点。二、分段三次Hermite插值1. 求作具有分划的分段3次多项式，使之满足 (5.1)由“4 Hermite插值”得：对，有 (5.2)满足插值条件(5.1). 其中 ， (5.3)2. 误差估计及收敛性定理 设在区间上4次可微，则对，有 (5.4)其中.若，则当时，在区间上一致收敛到.证 记，对，由三次Hermite插值余项定理得 (5.5)由高等数学中求最大值的方法，易知：当时，在区间上达到最大值，由(5.5)得若，则. 故当时，由(5.4)知：在区间上一致收敛到. 证毕！3. 分段多项式插值的优、缺点优点：1) 显式算法，算法简单，收敛性、稳定性好。只要结点间距充分小，分段插值总能获得所要求的精度，而不会出现Rung现象。2) 局部性。如果要修改某个数据，插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响；而代数插值却会影响到整个插值区间。缺点：光滑度不高。若要提高光滑度，必须提供较多的信息才能达到。5 数据拟和的最小二乘法在科学实验和生产实践中，有许多函数关系仅能用由实验或观测得到的一组数据表来表示，例如某种物质的化学反应，能够测得生成物的浓度与时间关系的一组数据表.而它们的解析表达式是不知道的。但是为了要知道化学反应速度，必须要利用已知数据给出它的近似表达式，有了近似表达式，通过求导数便可知道化学反应速度。可见已知一组数据求它的近似表达式是非常有意义的.如何求它的近似表达式呢？第二章介绍的插值方法是一种有效的方法.但是由于数据是由测量或观测得到的，它本身就有误差，作插值时一定要通过型值点似乎没有必要；其次当很大时，采用插值（特别是多项式插值）很不理想（会出现龙格现象），非多项式插值计算又很复杂。为此，本章介绍一种“整体”近似的方法，即对于给定的数据，选一个线性无关函数系，以它们为基底构成的线性空间为.在此空间内选择函数其中为待定常数。要求它逼近真实函数的误差尽可能小，这就是数据拟合问题.5.1 最小二乘法一、最小二乘法设有数据，令.并称为残向量，用去拟合的好坏问题变成残量的大小问题。判断残量大小的标准，常用的有下面几种：(1) 确定参数，使残量绝对值中最大的一个达到最小，即 为最小。(2) 确定参数，使残量绝对值之和达到最小，即 为最小。(3) 确定参数，使残量的平方和达到最小，即 最小(1)和(2)两个标准很直观，但因为有绝对值，所以实际应用很不方便；而标准(3)既直观，使用又很方便。按标准(3)确定待定参数，得到近似函数的方法，通常称为最小二乘法。在实际问题中如何选择基函数是一个复杂的问题，一般要根据问题本身的性质来决定。如果从问题本身得不到这方面的信息，那么通常可取的基函数有多项式、三角函数、指数函数、样条函数等。下面重点介绍多项式的情况。设基函数取为. 已知列表函数，且. 用多项式 (1.1)去近似，问题是应该如何选择使能较好地近似列表函数. 按最小二乘法，应选择使得 (1.2)取最小。 注意到是非负的，且是的二次多项式，它必有最小值。求对的偏导数，并令其等于零，得到进一步将上式写成如下方程组再将方程组写成矩阵形式 . (1.3)若令则(1.3)可简单地表示为定义1 方程组(1.4)称为法方程组（也叫正规方程组或正则方程组），而 （个未知量，个方程式） (1.5)称为超定方程组（也叫做矛盾方程组）.可以证明为超定方程组(1.4)的最小二乘解的充分必要条件是满足(1.3).定理1 法方程组(1.4)有唯一一组解。定理2 设是法方程组(1.4)的解，则多项式是问题的解。正规方程组方按下表来构造：表4.1 多项式拟合方程组的构造例1 已知数据为0.20.50.70.8511.2211.6492.0142. 3402.718试按最小二乘法求的二次近似多项式. 解 列表0.21.2210.2440.040.0490.0080.0020.51.6490.8240.250.4120.1250.0630.72.0141.4100.490.9970.3430.2400.852.3401.9890.7231.6900.6140.52212.7182.71812.718113.2509.9427.1852.5035.8572.0901.826法方程组为解得故下表给出了在节点处的误差：0.20.50.70.8511.2211.6492.0142.3402.7181.2231.6442.0172.3442.7150.0020.0050.0030.0040.003在利用最小二乘法建立和式(1.2)时，所有点都起到了同样的作用，但是有时依据某种理由认为中某些项的作用大些，而另外一些作用小些（例如，一些是由精度高的仪器或由操作上比较熟练的人员获得的，自然应该予比较大的信任），在数学上常表现为用 (1.6)替代(1.2)取最小值，此处诸且，并称为权，而(1.6)称为加权和, 并称为在点集上关于权函数的最小二乘逼近多项式。二、内积表示 作关于权函数及的内积 (1.7)其中权函数满足，以为例，方程组(1.4)化为 (1.8)其中，. 用矩阵表示为 (1.12)例2 已知函数的数据为试用最小二乘法求的二次近似多项式.解 根据题意，得得法方程组解得 于是，所求多项式为.注 1) 实际计算表明：当较大时，法方程组(1.8)往往是病态的。因此提高拟合多项式的次数不一定能改善逼近效果。实际计算中常采用不同的低次多项式去拟合不同的分段，这种方法称为分段拟合。2) 如何找到更符合实际情况的数据拟合，一方面要根据专业知识和经验来确定经验曲线的近似公式；另一方面要根据散点图的分布形状及特点来选择适当的曲线取拟合这些数据。用最小二乘法解决实际问题的过程包含三个步骤：(1) 由观测数据表中的数值，点画出未知函数的粗略图形散点图；(2) 从散点图中确定拟合函数类型；(3) 通过最小二乘原理，确定拟合函数中的未知参数。例3 设经实验取得一组数据如下试求它的最小二乘拟合曲线（取）。解 显然，且在坐标系中画出散点图，可见这些点基本位于一条双曲线附近，于是可取拟合函数类，在其中选去拟合上述数据。得法方程组即解得，于是所求拟合函数为前面所讨论的最小二乘问题都是线性的，即：关于待定系数是线性的。若关于待定系数是非线性的，则往往先用适当的变换把非线性问题线性化后，再求解。如对，取对数得：，记，则有，它是关于待定系数是线性的，于是所满足的法方程组是其中. 由上述方程组解得后，再由，求得.例4 由实验得到一组数据如下试求它的最小二乘拟合曲线（取）。解 显然，且在坐标系中画出散点图，可见这些点近似于一条指数曲线，记则有记，则得法方程组即解得，于是，故所求拟合函数为5.2 正交多项式定义1 如果函数系中每个函数在区间上连续，不恒等于零，且满足条件 （2.1）那么称函数系在上关于权函数为正交函数系。当是次多项式时，称为正交多项式。例如三角函数系1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, 在上关于权函数是正交函数系。（2.1）中的称为与的内积。对于离散情形，与的内积为.显然，如果内积，则称与正交。下面介绍几个最常用的正交多项式一、Legendre多项式1. 定义2 在区间上关于权函数构成正交系的多项式, (2.2) 称为Legendre多项式注 表达式(2.2)是Rodrigue在1814年给出的。容易看出，它确实是一个次多项式，而且项的系数是因此当规定最高次项系数为1时，多项式可表示为2. 上述多项式系是关于权函数的正交系。事实上，记，则 而且 设为次数不高于n的任意多项式，则由分部积分法易算出假若的次数低于，则，从而便和正交，这说明与，都正交，因而确定是上关于权=1的正交系。 若是次多项式，取，则3. 关于的递推公式 (2.3)为了实际应用方便，给出的显式表达式事实上利用(2.2)及、便可求得所需要的的显式表示式。二、Tchebyshev多项式1. 定义3 称 (2.4)为次切比雪夫（Tchebyshev）多项式，它是在上关于权函数的正交多项式。 2. Tchebyshev多项式的基本性质(1) . (2.5)事实上，注意到如下的三角恒等式从而有进而知：是的次多项式。(2) 是在上关于权的正交多项式。事实上，故是在上关于权的正交多项式。(3) 的的系数为. 事实上，令，而所以如果要求的系数为1, 那么多项式可以表示为(4) 零点是全部落在内部的实单根 (2.6) 由(2.5)写出前几个切比雪夫多项式三、Laguerre多项式定义3 称 (2.7)为拉盖尔（Laguerre）多项式，它是在上关于权的正交多项式。将(2.7)右端的导数求出,就知道是次多项式其中最高次项系数是，因此便是最高次项系数为1的Laguerre多项式.四、Hermite多项式定义4 称 (2.8)为Hermite多项式，它是在上关于权函数的正交多项式系。将(2.8)右端的导数算出，就知道确实是次多项式，其最高次项系数为一般正交多项式序列(其中)表示次正交多项式)具有如下性质:性质 (1) 线性无关;(2) 在区间或上恰有个不同的实根;(3) 对于最高次项系数为1的正交多项式，有三项递推关系(约定) (2.9)其中 (4) 最高次项系数为的正交多项式序列三项递推公式为 (2.10)其中, .5.3 最佳平方逼近设是一族在上线性无关的连续函数,以它们为基底构成的线性空间为.所谓最佳平方逼近问题就是求广义多项式,即确定 (3.1)的系数,使函数 (3.2)取极小值,这里为权函数.显然,使达到最小的必须满足方程组 (3.3)或写成 (3.4)把(3.1)代入上式得 (3.5)利用内积定义及范数定义,则(3.4)及(3.5)可以写成 (3.6)或 (3.7)所以若使为极小,其系数必满足(3.7). 方程组(3.7)的系数行列式为且必不等于0. 事实上, 因为线性无关，所以. 二次型说明此二次型正定, 其系数矩阵即方程组(3.7)的系数矩阵的行列式大于0. 从而方程组(3.6)有惟一解。此外容易证明就是使取极小值的函数。特别当为a, b上关于权函数的正交函数系, 则可由(3.7)立刻求出 (3.8)而最佳平方逼近函数为 (3.9)今后,我们也称(3.7)为正规方程组。例 求函数在上的一次最佳平方逼近多项式。解法1 (直接法) 设所求函数为.首先算出代入(3.7)得正规方程组为解此方程组得故解法2 (利用正交多项式求解) 因为Legendre多项式在上正交，所以作代换将变换到，函数变为. ，而由(3.8)知所求的一次最佳平方逼近多项式为即两种解法结果完全一样。此外, 还可以利用(2.9)直接构造0,1上的正交多项式求解。本例介绍的方法完全适用求高次最佳平方逼近多项式。次最佳平方逼近多项式的逼近误差为,满足小 结插值方法是数值分析中很古老的一个分支，在数值分析的许多分支中，如数值积分、曲线与曲面拟合、微分方程数值解等方面均有应用。可以说：插值方法是数值分析的基本工具。本章主要介绍插值函数（多项式、有理分式）的构造与误差。构造插值函数的主要方法是用插值基函数与待定系数法。所介绍的三种多项式插值各有其优缺点：Lagrange插值结构紧凑、思想清晰、显式表示，形式对称；其缺点是没有承袭性。借助差商构造的Newton插值则克服了Lagrange插值的缺点，具有承袭性，从而在需要增加节点时，可大大减少计算量。逐步线性插值Aitken算法将一个高次插值过程转化为线性插值的多次重复，并具有承袭性；但不适合求插值多项式本身。鉴于它们的优缺点，在实际应用时，应根据插值接点的情况选取不同的插值方法。例如，插值节点非等距时，用Lagran