一元二次函数的应用

【标题】一元二次函数的应用 【作者】舒 小 庆 【关键词】二次函数抛物线最值数列不等式 【指导老师】林 昌 盛 【专业】数学与应用数学 【正文】1引言众所周知，函数是数学中的一个极其重要的基本概念函数概念的发展史经由几何观念下的函数（早期函数概念）代数观念下的函数（十八世纪函数概念）对应关系下的函数（十九世纪函数概念）集合论下的函数（现代函数概念）四个阶段在数学学科内容中，函数及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函数的概念对整个数学的学习非常有用而一元二次函数作为一种非常基本又非常重要的初等函数，对一元二次函数的研究将为进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验培养应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值本课题将从一元二次函数的基本概念出发，研究一元二次函数的基本性质，包括函数图像、单调性、最值等性质，从而建立起一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的有机联系，进而运用一元二次函数求解经济问题中的最优化问题的数学模型，研究一元二次函数在建筑上的应用，一元二次函数在数列中的应用以及一元二次函数对证明不等式所起的载体作用上的应用2预备知识2.1二次函数的定义与表达式二次函数是从一个集合（定义域）到集合（值域）上的映射:，使得集合中的元素(为常数)与集合中的元素对应，记为这里表示对应法则，又表示定义域中的元素在值域中的象2.2二次函数的三种表达式一般式：(为常数)顶点式：抛物线的顶点交点式：仅限于与轴有交点和的抛物线注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：，2.3二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数的图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线二次函数图象为抛物线，具有很多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等，结合这些图象特性解决有关二次函数的问题可以化难为易，形象直观2.4二次函数图象的性质(1)抛物线是轴对称图形，对称轴为直线，对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）（2）抛物线有一个顶点，坐标为（3）二次项系数决定抛物线的开口方向和大小（4）一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置（5）常数项决定抛物线与轴交点（6）抛物线与轴交点个数由?=决定 2.5二次函数的单调性二次函数在区间和区间上分别单调，所以函数在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得 2.6二次函数与一元二次方程、一元二次不等式一元二次方程、一元二次不等式及一元二次函数，在中学数学中，有着相当重要的地位这三个“二次”源于一元二次三项式，通过一元二次函数来解决一元二次方程和一元二次不等式的问题同时，二次方程及二次不等式又能体现二次函数的重要性质二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数数值为零（零点）和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要就是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将与其相应的二次函数相联系，通过二次函数的图像及性质来解决问题2.6.1二次函数与一元二次方程通过对二次函数(为常数)的学习，我们知道求二次函数与轴的交点，就是求一元二次方程的根在二次函数中，当函数与轴分别有两个交点、一个交点和无交点时，该函数所对应的一元二次方程根的判别式分别是： 0，0和 0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0由题意知时，;时，代入，解得=，所以，；则关于的解析式为将上面的函数变形整理为：所以设施开放16个月后，游乐场的纯收益达到最大又由z= 0，得，而5 6，且当00即设施开放个月后，游乐场能收回投资本题用待定系数法求出了与的函数关系式，用公式求出关于的解析式，在解决问题过程中，关键是将问题转化为不等式 0的最小整数解的问题由问题和问题我们可以看出，解决以蕴涵二次函数关系为背景的经济优化类问题的关键是可根据待定系数法、经验公式、几何图形的特性等，建立二次函数的模型，再利用二次函数的性质去解决问题3.2以抛物线形为背景的建筑问题问题:连接着汉口集家咀和汉阳南岸咀的江汉三桥是一座下承式钢管混凝土系杆拱桥，它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观，桥的拱肋视为抛物线的一部分，桥面(视为水平的)与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之间的间距均为米(不考虑系杆的粗细)，拱肋的跨度为米，距离拱肋的右端米处的系杆的长度为米，以所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴建立如图所示的平面直角坐标系问正中间系杆的长度是多少米?是否存在一根系杆的长度恰好是长度的一半?请说明理由由，得；由，得，根据所建立的坐标系，可求出抛物线的解析式；由解析式可求出点坐标，从而求得的长，当系杆的长是的一半时，是的一半，通过解析式可求出此时的值，由于是正中间的系杆，这样若是的倍数，则系杆存在，否则不存在由题意我们可设抛物线的解析式为：，因为，所以，解得，故当时，由得，（米）设存在一根系杆的长度是的一半，则这根系杆的长度是米，则有，解得，相邻系杆之间的间距均为米，最中间系杆在轴上，每根系杆上的点的横坐标均为的倍数，与实际不符故不存在一根系杆的长度恰好是长度的一半本题是以抛物线拱肋为背景的实际问题，题中已经建好坐标系了，因而直接可求抛物线的解析式，否则应首先选择合适的位置建立坐标系，建立坐标系要考虑易于求出解析式，写出抛物线上的点的坐标，如本题若以为坐标原点建立平面直角坐标系，那就要设，则点为，通过得方程组求解，以抛物线为背景的实际问题还有球在运动中的路线，抛物线形的门，喷出的水流等解决问题这类问题主要是建立合适的平面直角坐标系，将一些实际问题中的量转化为抛物线上的点的坐标，求出抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决实际问题3.3一元二次函数图像及其性质在数列中的应用等差数列的前n项和是首项，是公差），令，当公差时，可以看成是关于的二次函数，其图像是对称在轴右侧的抛物线，开口方向取决于的符号而点是其图像上的一些孤立点3.3.1利用二次函数图象的对称轴求最值问题:一个等差数列首项为正数，前项的和等于前项的和，当这个数列的前项的和最大时，等于多少?由题意可知该等差数列首项为正数，故其前项和的图像是过点，且开口方向向下的抛物线又知点与点关于抛物线的对称轴对称，所以由对称轴的抛物线图像可知，是值中的最大值故为3.3.2利用图像及其性质解综合性问题问题：已知等差数列中0，0，且，是该数列的前项之和，找出中大于和小于的数项由题意知，所以该等差数列是递增数列，即，所以的图像是开口方向向上的抛物线我们画出图形便可知是中的最小值，而因为且，所以，故抛物线的对称轴位于区间之内，因此抛物线与轴的另一个交点的横坐标满足：且都小于0，都大于因此，利用一元二次函数图像及其性质解决一些与等差数列前项和相关的问题可以大大简化计算3.4一元二次函数为载体的不等式的证法探究数学是一门思维科学，其分支之间存在着深刻的内在联系，以函数为载体的不等式证明，能充分考查学习者的思维能力和数学思想水准，具有良好的区分度，因而显得更为重要下面就这类问题的证明方法及几种常用的途径作一探讨3.4.1运用二次函数的交点分解式问题：设为常数），方程的两个实根满足求证：；设，比较与的大小；若当时，对任意x都有，求证由题目当中给出的，利用韦达定理转化为系数关系即可得证；需把与根作比较，很自然想到写出的交点分解式，然后作差比较；而的条件是一个给定区间上恒成立的不等式，要先考虑赋特值并结合不等式性质推理，无效时再转化为值域作深入等价转化首先，又是方程的两个实根，即，整理得：也就是因为方程的两个实根为，可设，即，故因为，所以故即；由题设，当时成立，即且，所以与相加得：所以对于以二次函数方程根与系数为背景的问题，运用二次函数的交点分解式，能有机地将两者联系起来，在证明中有举足轻重的作用3.4.2化归为函数值域问题问题：已知，求证：对任意，有；对任意，有因为只要证，考察的值域，因为，所以从而，故不等式得证因为对任意，有，利用导数求得：；，所以对于右边是常数的不等式，可以看作是左边函数的值域或它的范围，这样就可通过考察函数的值域找到问题解决的入口3.4.3运用分类讨论的思想问题：设是定义在区间上的函数，且满足条件：；对任意的，都有，证明：对任意的，都有；对任意的，都有用赋值法易得；对，一看还以为对任意的只要证其实这不恒成立，即的情况也存在，此时为何仍有呢？由条件联想图像，这时分别接近-1与1，而，故与也比较接近，从而使不等式仍能成立这样，以分类讨论加以证明的思路引之即来取，可得，即对任意的，当时，不等式显然成立；当时，分别在与两区间之一，不妨设，则，由题设：，所以，综上所述：对任意的，都有对于这类不等式的证明需要充分仔细的分析题目给出的条件并由条件联想图象，运用分类讨论的思想全面加以证明3.4.4运用正难则反的思想问题：已知若，在上最大值为，最小值为，求证：且可以是一次或二次函数，正面求解要分别讨论，且求二次函数最值又要分对称轴在定义域内外进行讨论，故宜从反面去突破首先，由，得，假设或，若，则是上的单调函数，最大值为，最小值为-，显然与题设矛盾所以；若，则，又，于是区间位于抛物线的对称轴的左侧或右侧，故函数在上是单调函数，最大值为，最小值为-，显然与题设矛盾所以，综上可得：且对于函数类型不明确的问题，首先需要明确函数的类型，然后去寻找解决的途径而当从正面复杂难解时，运用正难则反的思想，根据题意寻找反面突破，化难为易以函数为载体的不等式证明，像上述从宏观上把握解题方向至关重要此外，能娴熟地运用不等式（包括绝对值不等式）的基本性质，进行简单的放缩推理，更是必不可少的基本功，两者相辅相成4总结一元二次函数，它具有丰富的内涵和外延，作为最基本的初等函数，对一元二次函数的研究将为进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验本课题将从理论和算法两方面研究体会一元