储油罐的变位识别与罐容表标定.doc

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要该文针对储油罐的变位识别与罐容表重新标定的问题建立一般化微分模型。对于问题一，罐体无变位时，利用二次多项式对油体体积变化率与油位高度进行拟合，从而得到油体体积与油位高度的表达式，又利用微积分得到油体体积与油位高度的理论函数表达式对实际测量值进行修正，得到修正后油体体积与油位高度的关系。罐体倾斜变位时，对油体体积在油位高度范围内进行三次插值，又利用微积分得到油体体积与油位高度的理论函数表达式对实际测量值进行修正，得到修正后油体体积与油位高度的关系，从而求得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，标定值结果参看表1。通过无变位与倾斜变位油体体积与油位高度的对比，可以大致看出，同一油体体积在倾斜变位后比无变位时的油位高度有所降低。对于问题二，针对罐体偏转后建立油体体积与油位高度的一般数学模型，利用微积分得到油体体积与油位高度及偏转角之间的一般关系式，进而求得到偏转角度为度时油位高度间隔为的罐容表标定值 ，标定值结果参看表2。关键词：罐容表标定，微分模型，数据拟合，数据差值一 问题重述通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。假定油罐（两端平头的椭圆柱体）。请利用数学建模的方法研究解决储油罐的罐容表标定问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值。（2）试建立罐体无倾斜只偏转变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及偏转角之间的一般关系。请利用罐体变位(无倾斜偏转角度)后给出罐体变位后油位高度间隔为的罐容表标定值。二 模型假设（1）罐内油的体积不会随温度的变化而变化；（2）油罐完好无损，不会出现漏油等现象；（3）固定油浮子的油位探针始终垂直于油罐底部； （4）深入油罐内的管子体积忽略不计。三 符号说明:罐内油体体积；：储油罐横向长度；：油位高度(即油浮子的刻度值)；：油罐纵向倾斜的角度；：油罐横向偏转的角度；：油体体积变化率；四 模型的建立与求解4.1 问题一模型的建立与求解4.1.1 无变位时油体体积与油位高度函数关系的求解（一）数据拟合模型根据附件1中的无变位进油数据和无变位出油数据计算油体体积变化率和油位高度。在高度为时，油体体积变化率为： (1)在进油和出油两种情况下，的图像参看图1、图2。图1 进油体积变化率图2 出油体积变化率以上两图是无变位时进油和出油的体积的变化率，图像趋势大致相同，但通过比较可知，图1中有几个异常的点，可能是由于测量误差造成的，所以，在讨论无变位情况时，采用无变位出油的数据。 利用对图2进行二次拟合，得到无变位时变化率的函数表达式： (2)又当罐体无变位时，油位高度为0对应的油体体积为0 ,因此建立含有初值条件的微分方程模型 (3) 解此微分方程得到无变位时油体体积与油高度的函数关系表达式： (4)（二）微分几何理论模型yxhba图3 椭圆油罐截面示意图建立直角坐标系：以柱面左侧椭圆的圆心为坐标中心，轴指向正上方，轴穿过柱面中心轴指向右方，建立右手坐标系。得到小椭圆油罐截面示意图（如图3）利用微积分对椭圆柱进行积分，求的油体积与高度的关系表达式： (5)综上分别用了微积分和数据拟合两种方法得到了无变位油体积与高度的关系的对比图（如图4）。图4 理论与实际对比图由图5可以看出理论值与实际测量值有偏差，为了减小偏差，对实际值进行修正(对两条曲线的离散点进行拟合)，得到修正后油体积与有高度的关系表达式： (6)得到修正后，无变位时油体积与高度的关系图（如图5）图5 修正后无变位时油体积与高度的关系图像4.1.2 倾斜变位时油体体积与油位高度函数关系的求解（一）数据插值模型设为出油之前罐内油总量，第个累加出油量。由于罐体倾斜变位时，罐内油量初值为215,由采集时间可知，进完油后才开始出油，罐内进油的总量为3299.74，故为3514.74，根据倾斜变位出油数据，令分别与作差，即可得到所给油位高度对应的油体积。由于数据缺少两端值，需要在原数据中插入二组数据。当油位高度为0时，对油体体积进行积分 (7) 解此积分方程并令，得。当油位高度为1200时，对油体体积进行积分 (8) 解此积分方程并令，得。根据以上所求数据，在倾斜变位时，对油体体积在油位高度范围上进行三次插值，再对拟合得到油体体积与油位高度的关系表达式： (9)（二）微分几何理论模型yAB图6 倾斜时油罐截面图建立直角坐标系：以柱面左侧椭圆的圆心为坐标中心，轴沿方向，轴穿过柱面中心轴指向右方，建立右手坐标系。得到油罐截面示意图（如图6）。 油面看成了一条直线从点开始与轴成向上平移,直线的函数表达式,油面高度即油浮子的测量值。（1） 当油面在直线以下时， 时，均为。 即时油的体积与油面高度的关系表达式： (10)（1） 当油面在直线与之间时，即油的体积与油面高度的关系表达式： (11)（2） 当油面在直线与之间时，即 油的体积与油面高度的关系表达式： (12)综上分别用了微积分和数据插值两种方法得到了油体积与高度的关系对比图（如图7）。图7 油体积与高度的关系图像由图7可以看出理论值与实际测量值有偏差，为了减小偏差，对实际值进行了修正，得到了修正后油体积与有高度的关系表达式： (13) 修正后油体积与高度的图像图8 修正后油体积与高度的图像（三）影响根据无变位时修正后油体积与高度的关系与倾斜时修正后油体积与高度的关系作比较，得到同一油体体积在倾斜变位后比无变位时的油位高度有所降低，可以由图9大致看出。图9 倾斜后，若用无倾斜时罐容表标定值读数，则读数平均误差为：14.5%。根据修正后油体积与高度关系表达式可得到罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，标定值结果参看表1。表1 变位后罐容表标定值罐容表标定值油位高度罐容表标定值油位高度罐容表标定值油位高度罐容表标定值19.52791927241985.2867887812659.483193217.4292174421022.771252822701.684715326.37315033431060.676698832743.685567436.34417677441098.987585842785.470206547.32675538451137.688371852827.023093659.30534486461176.763515862868.328685772.26440388471216.197476872909.371441886.18839113481255.974713882950.1358219101.0617653491296.079684892990.60628210116.8689851501336.496847903030.76728311133.5945091511377.210663913070.60328312151.2227961521418.205589923110.0987413169.7383047531459.466083933149.23811414189.1254937541500.976606943188.00586315209.3688217551542.721614953226.38644616230.4527474561584.685568963264.36432117252.3617294571626.852925973301.92394718275.0802266581669.208145983339.04978219298.5926974591711.735686993375.72628720322.8836007601754.4200071003411.93791821347.9373951611797.2455661013447.66913522373.7385393621840.1968221023482.90439623400.271492631883.2582341033517.62816124427.5207118641926.4142611043551.82488725455.4706575651969.649361053585.47903426484.1057877662012.9479921063618.5750627513.4105611672056.2946141073651.09742428543.3694365682099.6736851083683.03058429573.9668724692143.0696651093714.35930605.1873275702186.467011103745.0671331637.0152606712229.85018211137754351303722273.2036371123804.56036633702.4313954732316.5118341133833.31438934735.9885144742359.7592331143861.38596135770.0909461752402.9302921153888.75954136804.7231491762446.009471163915.41958637839.8695822772488.9812251173941.35055638875.5147041782531.8300161183966.5369139911.6429733792574.5403021193990.96310640948.2388486802617.0965411204014.6136024.2 问题二模型的建立与求解4.2.1模型建立当储油罐偏转角度时，油浮子与竖直方向成角，油面为水平面，为了便于分析，将油罐放正且仅对其椭圆横截面进行分析，此时油面的横截面为一倾斜线段设其为，与水平方向成角，具体情况参看图5。把线段由直线处向上平移到，这一动态过程清晰地描述了油面变化的情况。利用积分模型求解在不同位置时油体横截面的面积。 -bC3C2ACBx轴y轴C0图5 储油罐横截面坐标系a由图5可得：:在轴上的纵截距（与椭圆相切）；:在轴上的纵截距（过点且平行于）；:在轴上的纵截距（过点且平行于）。直线的函数表达式为 （14）椭圆的函数表达式为 （15）（1） 当在直线与之间，时，油浮子示数均为，时，油浮子示数。 （16） （2） 当在直线与之间，时，油浮子示数。 （17）（3） 当在直线与之间，时，油浮子示数。 （18）（4） 当到达直线时，油已经显示满了，如果再加油也将无法用油浮子测量。4.2.2 模型求解由于油罐只偏转不倾斜，油体的长度始终为，所以在不同位置时油体的体积表达式 （19）（1）综上所述，罐内油体积与油位高度及偏转角时的关系式如下：（2）罐体变位(无倾斜偏转角度)后给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值参看表2。表2 罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值油位高度罐容表标定值014.4110204.2220493.1230840.61401226.12501617.95602051.14702451.34802879.75903265.591003613.571103903.251204094.58五 模型的评价与推广该模型利用二次多项式对油体体积变化率与油位高度进行拟合。而不是直接对油体体积与油位高度进行拟合，提高了罐体变位后罐容表标定值的精确度，不过在求油体体积变化率对应的油面高度时采用的是两油面高度的平均值，存在一定的误差，但总体来说，这种求解方法还是相对准确的。在油罐倾斜变位时，没有拟合油体体积变化率与油位高度，是因为变位时油体体积变化率与油位高度并没呈现一定的规律，难以拟合，故采用了对油体体积与油位高度进行三次插值，这样求得的将结果比较合理。该模型可推广到求解不规则容器的容积与测量高度的关系。参考文献（略）附录%无移位前函数求解k=0;a=1.78/2;b=0.6;for k1=-0.60:0.001:0 k=k+1; syms c l=2*sqrt(a2-a2*c2/b2)*2.45; l=subs(l); s1(k)=int(l,c,-6,k1); s1(k)=real(double(s1(k);ends1=double(s1);k2=0;for k1=0:0.001:0.6 k2=k2+1; syms c l=2*sqrt(a2-a2*c2/b2)*2.45; l=subs(l); s2(k2)=int(l,c,0,k1); s2(k2)=real(double(s2(k2);ends2=double(s2)+a*b*pi/2*2.45;s=s1,s2;s=s(1:end-1);%无移位v1=v(2:end)-v(1:end-1);h1=h(2:end)-h(1:end-1);dt=v1./h1;dth=(h(1:end-1)+h(2:end)/2;figure(1)plot(dth,dt);hold onb,bci,r,rci,st=regress(dt,ones(length(dth),1),dth,dth.2,0.05);syms xdtv=b(1)+b(2)*x+b(3)*x2;hold ona1=b(1);a2=b(2);a3=b(3);v=dsolve(Dv=a1+a2*x+a3*x2,v(0)=0,x);v=subs(v);ezplot(v,0,1200);v2=subs(v,0:1200);%移位h=flipud(h);v=flipud(3299.74+215-v);h(1)=0;v(end)=2;h(end+1)=1200; v(end+1)=4001;hold onx=0:1200;v1=interp1(h,v,x,cubic);plot(v1,:);%上三角syms x y ca=1.78/2;b=0.6;f=4.1*pi/180;c1=2.45*tan(f)-0.6;y1=sqrt(a2-a2*y2/b2);y1=subs(y1);y2=int(y1,y,-0.6,-x*tan(f)+c);k=0;c2=(-0.6+2.45*tan(f):-0.001:(-0.6+2.05*tan(f);n=length(c2);for i=1:n c=c2(i); x1=(0.6+c)/tan(f); y=2*int(y2,x,0,x1); y8=subs(y); y5(i)=a*b*pi*2.45-real(y8);end%中间部分syms x y ca=1.78/2;b=0.6;f=4.1*pi/180;c1=2.45*tan(f)-0.6;y1=sqrt(a2-a2*y2/b2);y1=subs(y1);y2=int(y1,y,-x*tan(f)+c1,-x*tan(f)+c);y=2*int(y2,x,0,2.45);k=0;c2=-0.6+2.45*tan(f):0.001:0.6;n=length(c2);for i=1:n c=c2(i); y7=subs(y); y4(i)=real(y7)+0.14994556423227;end%下三角syms x y ca=1.78/2;b=0.6;f=4.1*pi/180;c1=2.45*tan(f)-0.6;y1=sqrt(a2-a2*y2/b2);y1=subs(y1);y2=int(