信号与系统第二章.ppt

1 第二章连续系统的时域分析 教学要求 1 掌握连续系统时域模型的数学描述方法 2 学会描述系统激励与响应关系的微分方程 了解系统的特征方程 特征根的意义 3 深刻理解系统单位冲击响应和阶跃响应 4 深刻理解系统全响应的三种分解方式 零输入响应与零状态响应 自由响应与强迫响应 瞬态响应与稳态响应 电子工程学院 2 5 牢固掌握卷积积分的运算规律 主要性质 会求卷积积分 6 会应用卷积积分的方法求线性时不变系统的零状态响应 电子工程学院 3 教学重点 1 微分方程及其解的基本特点 2 阶跃响应和冲击响应的求解 3 系统特征函数及其求解 4 卷积及其在系统分析中的应用 电子工程学院 4 一 系统分析的基本问题和方法 系统分析的基本问题 如何描述系统 对给定的系统 如何求出激励作用下的响应 具体地说 系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出该方程的解 电子工程学院 5 系统的分析方法 状态变量法 内部法 chp 8 输入输出法 外部法 外部法 时域法 chp 2 chp 5 变换域法 连续系统 频域法 3 和S域法 chp4 离散系统 z域法 chp7 电子工程学院 6 信号分析研究信号的描述 运算 特性以及信号发生某些变化时其特性的相应变化 信号分析的基本目的是揭示信号自身的特性 例如确定信号的时域特性与频域特性 随机信号的统计特性等 实现信号分析的主要途径是研究信号的分解 即将一般信号分解成众多基本信号单元的线性组合 通过研究这些基本信号单元在时域或变换域的分布规律来达到了解信号特性的目的 由于信号的分解可以在时域进行 也可以在频域或复频域进行 因此信号分析的方法也有时域方法 频域方法和复频域方法 电子工程学院 7 二 LTI系统的分析思路 LTI系统分析的理论基础是信号的分解特性和系统的线性 时不变特性 求解的基本思路 1 把零输入响应和零状态响应分开求 2 把复杂信号分解为众多基本信号之和 根据线性系统的可加性 多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和 采用的数学工具 1 卷积积分与卷积和 2 傅里叶变换 3 拉普拉斯变换 4 Z变换 电子工程学院 8 在信号的时域分析中 采用单位冲激信号 t 或单位脉冲序列 k 作为基本信号 将连续时间信号表示为 t 的加权积分 将离散时间信号表示为 k i 的加权和 它们分别是一种特殊的卷积积分运算与卷积和运算 这里 通过基本信号单元的加权值随变量t 或k 的变化直接表征信号的时域特性 电子工程学院 9 在信号的频域分析中 采用虚指数信号ej t或ej k作为基本信号 将连续时间 或离散时间 信号表示为ej t 或ej k 的加权积分 或加权和 这就导致了傅里叶分析的理论和方法 这里 通过各基本信号单元振幅 或振幅密度 相位随频率的变化 即信号的频谱 来反映信号的频域特性 电子工程学院 10 在复频域分析信号时 则采用复指数信号est s j 或zk z rej 作为基本信号 将连续时间 或离散时间 信号表示为est 或zk 的加权积分 或加权和 相应导出了拉普拉斯变换与Z变换的理论和方法 电子工程学院 11 系统分析的主要任务是分析给定系统在激励作用下产生的响应 其分析过程包括建立系统模型 用数学方法求解由系统模型建立的系统方程 求得系统的响应 必要时 对求解结果给出物理解释 赋予一定的物理意义 就本书所研究的LTI系统而言 由输入输出模型建立的系统方程是一个线性常系数的微分方程或差分方程 由状态空间模型建立的状态方程是一阶线性微分方程组或差分方程组 输出方程是一组代数方程 电子工程学院 12 信号的分解 信号的分解 求响应 再迭加 时域 卷积积分法 频域 付立叶变换法 复频域 Laplace变换法 离散时域 卷积和 离散变域 Z变换法 信号 直流交流 偶分量奇分量 系列冲激 系列阶跃 指数分量 正交函数集 电子工程学院 13 在LTI系统的时域分析中 将输入信号f t 分解成冲激信号 或脉冲序列 单元的线性组合 只要求出基本信号 t 或 k 作用下系统的响应 就可根据系统的线性和时不变特性确定各冲激信号 或脉冲序列 单元作用下系统的响应分量 再将这些响应分量叠加求得系统在f t 激励下的输出响应 这就产生了系统响应的卷积积分和卷积和计算方法 电子工程学院 14 在频域分析中 把输入信号f t 分解为虚指数信号 ej t或ej k 单元的线性组合 只要求出基本信号ej t 或ej k 作用下系统的响应 再由系统的线性 时不变特性确定各虚指数信号单元作用下系统的响应分量 并将这些响应分量叠加 便可求得f t 激励下的系统响应 这就是傅里叶分析的思想 电子工程学院 15 在复频域分析中 用复指数信号est或zk作为基本信号 将输入f t 或f k 分解为复指数信号单元的线性组合 其系统响应表示为各复指数信号单元作用下相应输出的叠加 这就是应用拉普拉斯变换和Z变换的系统分析方法 电子工程学院 16 2 1系统的微分方程及其响应 2 1 1系统的微分方程 我们常用系统的输入 输出特性常系数微分方程描述线性时不变系统 LTI 这里主要以电路系统为例来建立系统的微分方程 以描述系统输入及输出的关系 描述电路系统方程应是满足电路理论的基尔霍夫电压和电流定律 KVL KCL 及元件自身的约束关系 伏安关系 VAR 及电路中节点和回路关系 对于任一节点则有KCL 对于任一回路则有KVL 电子工程学院 17 电路元件模型 同时我们也必须掌握电系统中常用电路元件模型关系 电子工程学院 18 例如 下图是一典型的线性系统 电路可列写微分方程 由KCL得到 由KVL得到 根据电路元件特性VCR可以知道 综合上述各式可以得到 电子工程学院 19 对于简单物理系统 同样可以建立类似的微分方程 物体质量m 弹簧弹性系数为 物体与地面摩檫系数为 用微分方程表示物体在外力f t 作用下的位移y t 运动物理惯性力 摩擦力 弹簧产生的恢复力 四力平衡 电子工程学院 20 用微分方程不仅可以描述电气系统和物理系统 还可以描述生物神经系统的关系 具体请参看教材 电子工程学院 21 2 1 2微分方程的经典解 由数学微分方程理论可以知道 微分方程的解分为微分方程的齐次解和特解之和 齐次解 特解 电子工程学院 22 1 齐次解 齐次解就是下面微分方程的解 若设该微分方程的特征根为 则相应的特征方程为 根据特征方程的特征根的不同形式 决定齐次解的不同形式 下面我们讨论不同的特征根对应的不同解 电子工程学院 23 1 当特征方程存在n个不同的单根即 则其解为 其中为待定常数 由系统的初始状态决定 电子工程学院 24 2 当特征方程存在r个重根和n r个单根 及 则其解为 其中和为待定常数 由系统的初始状态决定 电子工程学院 25 电子工程学院 26 2 特解微分方程的特解形式取决于外界激励信号的函数形式 表2 1给出几种典型激励信号所对应的特解形式 电子工程学院 27 系统的响应应为两部分响应之和 即零输入响应与零状态响应的叠加 其中零输入响应是指 外界激励 系统靠初始储能所维持的响应即 而零状态响应是指 系统初始储能 系统靠外界激励来维持响应 显然不管什么性质的响应都需靠能量来维持 因此不妨将零输入响应看成是一种系统内部特殊 电源 作用下的响应 即将初始状态等效成理想电压源或理想电流源 由此可知系统的全响应是外部激励及内部 特殊 电源共同作用的结果 是零输入响应与零状态响应的叠加的结果 2 1 3系统的零输入响应 ZIR 和零状态响应 ZSR 电子工程学院 28 1 零输入响应 Zero InputResponse 从观察的初始时刻 例如t 0 开始不在有外界的输入信号 则为零输入 系统的产生的响应由该时刻系统本身具有的起始状态 例如电路中的储能元件在t 0时刻所存储的能量 引起的响应为零输入响应 对微分方程 零输入响应则是f t 0所引起的结果y t 零状态响应的求解相当于求微分方程的齐次解 电子工程学院 29 2 零状态响应 Zero StateResponse 电路系统中储能为零时 由外加的输入激励信号产生的响应称为零状态响应 对于求解零状态响应 则响应的解可表示为 y t 齐次解 特解的形式 电子工程学院 30 电子工程学院 31 电子工程学院 32 电子工程学院 33 电子工程学院 34 电子工程学院 35 注 1 自由响应的变化规律取决于系统的特征根 固有频率 强迫响应则取决于外加激励的形式 2 瞬态响应即随着t的增长 响应最终趋于零的分量 稳态响应则表示了响应恒定或保持为某个稳定函数的关系 电子工程学院 36 3 因为零输入响应和齐次解均为系统齐次微分方程的解 故其求解方法与解的函数形式相同 但由于采用不同初始条件 两者的系数有所差别 电子工程学院 37 2 1 4完全响应的分解 电子工程学院 38 2 2阶跃响应 阶跃响应是指系统在阶跃信号u t 作用下所产生的零状态响应 LinearTimeInvariantSystem 电子工程学院 39 电子工程学院 40 电子工程学院 41 电子工程学院 42 电子工程学院 43 2 3冲击响应 LTI系统 f t t x 0 0 y t h t 图 LTI系统单位冲激响应 冲激响应h t 是指系统在冲激信号 t 作用下所产生的零状态响应 电子工程学院 44 单位冲激响应求法 例 如图所示RC电路中 已知R 1 C 1 2F 求以电容电压为输出量的冲激响应h t 电子工程学院 45 电子工程学院 46 电子工程学院 47 电子工程学院 48 电子工程学院 49 电子工程学院 50 电子工程学院 51 电子工程学院 52 电子工程学院 53 2 4卷积及其应用 2 4 1卷积的定义 设f1 t 和f2 t 是定义在 区间上的两个连续时间信号 定义为f1 t 和f2 t 的卷积 Convolution 简记为 电子工程学院 54 即 积分的结果为另一个新的时间信号 电子工程学院 55 2 4 2 卷积的图解机理 1 将f1 t 与f2 t 中的自变量t换成 卷积运算的步骤 3 时移 假定一个t值 将f2 波形沿 轴平移 t 画出f1 和f2 的波形 在t 0时 左移 在t 0时 右移 得到f2 t 的波形 电子工程学院 56 5 求净面积 乘积信号f1 f2 t 波形与 轴所围成 4 相乘 f1 f2 t 被积函数 6 令参变量t在 范围内变化 重复第三 四 五步操作 即得卷积积分 它是t的函数 即为卷积在t时刻的值 电子工程学院 57 P 48例2 2 1 电子工程学院 58 59 当t逐渐增大 t t 电子工程学院 60 计算过程 当t 0时 电子工程学院 61 当0 t 3时 电子工程学院 62 当t 3时 电子工程学院 63 则 电子工程学院 64 65 66 性质1卷积代数 满足三个基本代数运算律 结合律 分配律 2 4 3 卷积性质 交换律 电子工程学院 67 1 f t 与 t 的卷积等于f t 本身 性质2f t 与奇异信号的卷积 证 电子工程学院 68 推得 f t t t0 f t t0 电子工程学院 69 2 f t 与 t 的卷积等于f t 的导函数 证 电子工程学院 70 推得 f t n t f n t 电子工程学院 71 证 3 f t 与 t 的卷积等于信号f t 的积分 电子工程学院 72 t t t t 推得 电子工程学院 73 性质3卷积的微分和积分 1 微分 则 2 积分 3 微积分 电子工程学院 74 1 微分 证 同理 电子工程学院 75 微积分性质的条件 被求导的函数在处为0 被求积分的函数在区间上的积分值为0 或 电子工程学院 76 推广 其中 正整数 导数的阶数 负整数 重积分的阶数 电子工程学院 77 性质4卷积时移 则 电子工程学院 78 解 由卷积定义 得 计算常数K与信号f t 的卷积积分 K不为0 P 52例2 2 2 电子工程学院 79 计算下列卷积 P 53例2 2 3 电子工程学院 80 应用时移特性 电子工程学院 81 电子工程学院 82 由于 电子工程学院 83 复制平移特性 电子工程学院 84 应用 T t 产生周期信号 电子工程学院 85 例如 电子工程学院 86 例 电子工程学院 87 方法一 图解法 2 翻转 1 自变量t换成x P 54例2 2 4 电子工程学院 88 3 时移 电子工程学院 89 4 确定不同的积分区间 当t逐渐增大 只要 电子工程学院 90 继续增大t 继续向右平移 电子工程学院 91 继续增大t 继续向右平移 电子工程学院 92 继续增大t 继续向右平移 只要 电子工程学院 93 所以 电子工程学院 94 方法二应用卷积的性质 电子工程学院 95 电子工程学院 96 求卷积是本章的重点与难点 求解卷积的方法可归纳为 1 利用定义式 直接进行积分 对于容易求积分的函数比较有效 如指数函数 多项式函数等 2 图解法 特别适用于求某时刻点上的卷积值 3 利用性质 比较灵活 三者常常结合起来使用 电子工程学院 97 常用信号的卷积公式 P56 电子工程学院 98 卷积方法最早的研究可追溯到19世纪初期的数学家欧拉 Eu1er 泊松 Poisson 等人 以后许多科学家对此问题做了大量工作 近几年 随着信号与系统理论研究的深入及计算机技术发展 不仅卷积方法得到广泛的应用 卷积的逆运算 反卷积的研究也越来越受到重视 在现代地震勘探 超声诊断 光学成像 系统辨识及其他诸多信号处理领域中 卷积和反卷积运算无处不在 而且许多都是有待深入开发研究的课题 电子工程学院 99 2 4 4系统零状态响应的卷积分析法 假定系统的输入信号f t 和冲激响应h t 已知 那么就可以利用卷积确定系统的零状态响应 电子工程学院 100 1 P 67连续信号的 t 分解2 P 68基本信号的 t 激励下的零状态响应3 P 72一般信号f t 激励下的零状态响应 电子工程学院 101 2 5连续系统的零状态响应 2 5 1连续信号的 t 分解 任一连续信号f t 与单位冲激信号 t 卷积运算的结果等于信号f t 本身 即 电子工程学院 102 电子工程学院 103 所以可以将任一信号看成是由众多位于时刻 强度的冲激信号组合而成 或者将分解成无穷多处于不同时间 具有不同强度的冲激信号分量的线性组合 分解 电子工程学院 104 图2 5 1连续信号的 t 分解 电子工程学院 105 可以从图形上定性地说明式 2 5 1 的正确性 电子工程学院 106 由图2 5 1可见 当 0 即趋于无穷小量d 时 离散变量k 将趋于连续变量 式 2 5 3 中的各量将发生如下变化 电子工程学院 107 2 5 2基本信号 t 激励下的零状态响应 1 冲激响应 一个初始状态为零的LTI LinearTimeInvariantSystem 连续系统 当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应 简称冲激响应 记为h t 如图2 5 2所示 电子工程学院 108 图2 5 2冲激响应的定义 工程学院 109 对于线性时不变系统 冲激响应h t 的性质可以表示系统的因果性和稳定性 h t 的变换域表示更是分析线性时不变系统的重要手段 因而对冲激响应h t 的分析是系统分析极为重要的部分 用经典时域法求解系统的冲激响应仍然要先确定初始条件 一般情况下是比较麻烦的 最好的方法是采用变换域的方法 电子工程学院 110 2 5 3一般信号f t 激励下的零状态响应 图2 5 4系统的零状态响应 电子工程学院 111 为了叙述方便 我们采用如下简化符号 电子工程学院 112 2 5 4零状态响应的另一个计算公式 1 连续信号的 t 分解 根据卷积运算的微积分性质 有 按照卷积运算的定义 信号f t 可表示为 电子工程学院 113 电子工程学院 114 容易得到 电子工程学院 115 电子工程学院 116 2 5 5卷积积分的再现性 当单位冲激信号与任意信号进行卷积运算时 将满足下列卷积积分的再现性质 推论 利用卷积的微分与积分性质可得 电子工程学院 117 然而 求解系统的单位冲激响应或单位样值响应及卷积计算的数值方法都比较麻烦 因此 从本质上讲 利用时域