delta函数与采样信号.ppt

1 34 Delta函数与采样信号 Delta函数 单位脉冲函数 的定义 且 非常规的函数 无限变大 积分值不为零 但是又是切实存在的 例如 1 电流为零的电路中 在t 0时刻进入单位电量的电荷 求电路中的电流强度 2 在x轴上点x 0处集中分布一单位质量的物质 而在其他地方均没有物质分布 求x轴上的物质密度分布 2 34 Delta函数 单位脉冲函数 的两个基本性质 其中f t 为定义在实数域的连续函数 实际方脉冲函数 Delta函数 3 34 连续函数的傅里叶变换对 必须满足如下条件 1 除去有限个第一类间断点外 处处连续 2 分段单调 单调区间的个数有限 3 绝对可积 然而许多常见的函数并不能满足此条件 尤其是绝对可积的条件 4 34 广义傅里叶变换 Delta函数的傅里叶变换 的傅里叶变换 5 34 的傅里叶变换 Parseval定理 函数 1 为直流信号 0 又因为能量无限 所以幅度只能是无限大 因而频谱表现为 0处的Delta函数 因此 6 34 同理 余弦函数cos 0t 在频域轴上也表现为 0处的Delta函数 事实上 为周期函数 非绝对可积 因而不能直接用 傅里叶积分式来计算 但是周期函数可以分解为傅里叶级数 而傅里叶级数的每一项对应于一个单频的余弦函数 因此也就得到了广义傅里叶变换 7 34 展开为傅里叶级数 其中 8 34 信号理想采样过程 时域相乘等于频域卷积 9 34 理想采样信号 A D采样信号 10 34 按照傅里叶变换的求法 那么我们还能用A D采样的信号来恢复原来的模拟信号吗 A D采样出来的信号 为离散的幅值有限的序列 需要找一个针对序列的傅里叶计算公式 将A D采样信号与原始信号的频谱之间建立某种关系 就像理想采样信号与原始信号之间的关系类似 数字信号处理对于绝对可和序列x n 其傅里叶变换为 序列的傅里叶逆变换为 11 34 当m n时 当m n时 令N n m 12 34 求的傅里叶逆变换 所以 A D变换器在采样时刻上得到的信号瞬时值虽然不是理想采样信号 但是仍然可以通过来得到理想采样信号的频谱 13 34 事实上 理想采样信号的表达式为 14 34 理想采样信号的频域特性 15 34 实际采样脉冲信号 将实际采样信号展开为傅里叶级数 其中 16 34 17 34 实际采样信号的频域特性 其中 显然 18 34 暂且只考虑幅频谱 19 34 20 34 频谱混叠 理想低通滤波 21 34 采样定理 如果一个连续信号不包含高于频率 max的频率分量 连续信号中所含频率分量的最高频率为 max 那么就完全可以用周期T2 max 那么就可以从采样信号中不失真地恢复原连续信号 低通采样定理 带通采样定理 如果一个带宽为B的带通连续信号 如果采样频率fs 2 s 2B 1 M N 那么就可以从采样信号中不失真地恢复原连续信号 其中 N为不超过 fH fH fL 的最大正整数 M fH fH fL N 那么就可以从采样信号中不失真地恢复原连续信号 22 34 前置滤波器 串在采样开关前的模拟低通滤波器 主要作用是防止采样信号产生频谱混叠 又称为抗混叠滤波器 作用滤除连续信号中高于 s 2的频谱分量 从而避免采样后出现频谱混叠现象 滤除高频干扰 23 34 信号的恢复与重构 信号恢复 时域上 由离散的采样值求出所对应的连续时间函数 频域上 除去采样信号频谱的旁带 保留基频分量 理想不失真的恢复需要具备3个条件 原连续信号的频谱必须是有限带宽的频谱 采样必须满足采样定理具有理想低通滤波器 对采样信号进行滤波 图2 23采样信号通过理想滤波器的恢复 理想恢复过程 24 34 频域 时域 25 34 26 34 假如模拟信号为单位斜坡信号 采样周期T 1s n 3 n 3 n 2 n 1 n 2 n 1 27 34 n 3 3 n 6 6 28 34 n 10 10 n 20 20 29 34 常称为核函数 为内插公式 在时域内 信号恢复的过程就是无穷多个加权核函数的叠加 每一个核函数权值为在该采样时刻点上的函数值 在t 0时刻 理想低通滤波器的单位冲击响应如上图所示 不满足因果关系 为非物理可实现的系统 30 34 物理上可实现的恢复只能以现在时刻及过去时刻的采样值为基础 通过外推插值来实现 数学上 零阶外推插值 或称 零阶保持器 一阶外推插值 非理想恢复过程 31 34 零阶保持器 ZOH ZeroOrderHold ZOH 零阶保持器的单位脉冲响应应该是单位方波信号 32 34 零阶保持器的频率特性 幅频特性 相频特性 33 34 零阶保持器与理想低通滤波器相比 理想滤波器的截止频率为 c s 2 在 c时 采样信号无失真地通过 在 c时锐截止 而零阶保持器有无限多个截止频率 c n s n 1 2 在0 s内 幅值随 增加而衰减 零阶保持器允许采样信号的高频分量通过 不过它的幅值是逐渐衰减的 相频特性 零阶保持器是一个相位滞后环节 相位滞后的大小与信号频率 及采样周期T成正比 零阶保持器的频率特性 34 34 理想采样信号的复域描述 理想采样信号的拉氏变换 1 已知理想采样信号的时域表示式 2 已知连续信号的拉氏变换式F s 35 34 F s 的特性 1 F s 是周期函数 其周期值为j s 2 假设F s 在s s1处有一极点 那么F s 必然在s s1 jm s处具有极点 m 1 2 3 采样信号的拉氏变换与连续信号的拉氏变换的乘积再离散化 则前者可从离散符号