2015年全国中考数学试卷解析分类汇编 专题28 解直角三角形(第三期).doc

解直角三角形中国教育*出版网%&一、选择题1. （2015，广西河池，12，3分）我们将直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”,如图,直线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,OAB=30,点P在x轴上,P与l相切,当P在线段OA上运动时，使得P成为整圆的点P个数是( A)A.6 B.8 C.10 D.12第12题解析:OAB=30,OB=4, OA=OBtanOAB=4=12,过P作PDAB，则易求得0PD6,要使得P是整圆，则PD只能取1、2、3、4、5、6.故选A.2. （2015河北,第9题3分）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上，符合条件的示意图是（） A B C D 考点： 方向角来源&:中%教网分析： 根据方向角的定义，即可解答解答： 解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30和南偏西45方向上，故D符合故选：D点评： 本题考查了方向角，解决本题的关键是熟记方向角的定义ww*w.zz#st%3. （2015黑龙江哈尔滨，第6题3分）（2015哈尔滨）如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的仰角=30，则飞机A与指挥台B的距离为（）中国%教育&出版网 A 1200m B 1200m C 1200m D 2400m考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 首先根据图示，可得ABC=30，然后在RtABC中，用AC的长度除以sin30，求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可解答： 解：ABC=30，来%源:中国教育出版#网AB=，即飞机A与指挥台B的距离为2400m故选：D点评： 此题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决来源:zzstep.%c#o*&m二、填空题中#国教育*出%版网1. （2015齐齐哈尔,第19题3分）BD为等腰ABC的腰AC上的高，BD=1，tanABD=，则CD的长为2或2或考点： 解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理分析： 分三种情况：如图1，A为钝角，AB=AC，在RtABD中，根据锐角三角函数的定义即可得到结果；如图2，A为锐角，AB=AC，在RtABD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果，如图3，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义即可得到结果来源&:中教%网解答： 解：分三种情况：如图1，A为钝角，AB=AC，在RtABD中，BD=1，tanABD=，AD=，AB=2，www.#z&AC=2，CD=2+，中国教#*育&出版网如图2，A为锐角，AB=AC，在RtABD中，BD=1，tanABD=，AD=，AB=2，AC=2，来源#:%zzstep.co&mCD=2，如图3，BA=BC，BDAC，来源:z#zstep&.co%m*AD=CD，在RtABD中，BD=1，tanABD=，来源:中教网&#AD=，CD=，综上所述；CD的长为：2或2或，来*源%:&故答案为：2或2或来*源:%zzstep.&com点评： 本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，难点在于要分情况讨论2. （2015贵州省黔东南州,第14题4分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60方向上，且AM=100海里那么该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置来%源:中教*网&来源:&中国#教育出版网www.z&#*考点：解直角三角形的应用-方向角问题分析：过M作东西方向的垂线，设垂足为N由题易可得MAN=30，在RtMAN中，根据锐角三角函数的定义求出AN的长即可来源:中&教*网解答：解：如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N易知：MAN=90=30在RtAMN中，ANM=90，MAN=30，AM=100海里，来源:%中*教网#AN=AMcosMAN=100=50海里故该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置故答案为50ww*w.zz#点评：本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，三角函数的定义，利用垂线段最短的性质作出辅助线是解决本题的关键3（2015湖北十堰，第15题3分）.如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来此时，测得小船C的俯角是FDC=30，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为85.5米（结果保留根号）来%源:中教网#*中国*#教育出&版网考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度CHAE=EH即为AC长度解答：解：过点B作BEAC于点E，延长DG交CA于点H，得RtABE和矩形BEHGi=，AB=8米，BE=，AE=DG=1.6，BG=0.7，来源:zzst#ep&.comDH=DG+GH=1.6+=8，来#源%:中&教网AH=AE+EH=+0.7=5.5在RtCDH中，C=FDC=30，DH=8，tan30=，CH=8来%源:中国教育出版#网又CH=CA+5.5，即8=CA+5.5，来源:zzstep%#.co&mCA=85.5（米）答：CA的长约是（85.5）米点评：此题考查了俯角与坡度的知识注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键4（2015湖南张家界，第16题3分）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且ACD=30，tanBAC=，CD=3，则AC=6来&源:中教#*网考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形专题： 分类讨论分析： 过点D、B分别作DEAC，BHAC，垂足分别为E、H，设AC=x，先求得AE（用含x的式子表示）和DE的长，根据勾股定理可表示出AD2，然后根据等腰三角形三线合一的性质可知：AH=，然后根据锐角三角函数的定义可求得HB（用含x的式子表示）的长，根据勾股定理可表示出AB2，然后根据AB=CD，列方程求解即可解答： 解：过点D、B分别作DEAC，BHAC，垂足分别为E、H，设AC=x来源:中国教育&*出#版网在RtCDE中，DC=3，DCE=30，DE=，CE=中国教育%出版网*则AE=x，在RtAED中，由勾股定理得：AD2=AE2+DE2=，AB=BC，BHAC，AH=AC=，tanBAC=，来&源:中国教育*#出版网BH=在RtABH中，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2，来源:中%国教育出版网&AB=AD，来&源:*中国教育出版网=解得：x1=，x2=当AC=时，ACDC，与图形不符舍去AC=6点评： 本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得AH、BH的长度是解题的关键5（2015辽宁抚顺）（第16题，3分）如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为，且tan=0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45（图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CDAC），则建筑物CD的高度为7米www.z&zstep%.#com考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.分析：根据DBC=45，得到BC=CD，根据tan=0.7和正切的概念列出算式，解出算式得到答案来源:中#国*教&育出版网解答：解：DBC=45，BC=CD，tan=，则=，解得CD=7来%源#:zzstep.*com&故答案为：7点评：本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，注意仰角和俯角的概念6（2015辽宁阜新）（第11题，3分）如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为10m（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可来#源:中国%&教育出版网解答：解：自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30，ABC=30，AC=ABtan30=30=10（米）楼的高度AC为10米故答案为：10点评：本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形来源:中&%国*教育出版网三、解答题1. （2015贵州省贵阳,第20题9分）小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处已知斜坡的坡角为15（以下计算结果精确到0.1m）（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；来#源&:zzste*（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45，求楼房AB的高度考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题.分析：（1）利用在RtBCD中，CBD=15，BD=20，得出CD=BDsin15求得答案即可；（2）由图可知：AB=AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得AF得出答案即可解答：解：（1）在RtBCD中，CBD=15，BD=20，www.zzs&t#%CD=BDsin15，CD=5.2（m）来源:中国#教育%出版网答：小华与地面的垂直距离CD的值是5.2m；（2）在RtAFE中，AEF=45，AF=EF=BC，由（1）知，BC=BDcos1519.3（m），AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m）答：楼房AB的高度是26.1m点评：本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解题的关键是构造直角三角形2. （2015贵州省贵阳,第23题9分）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，FOAB，垂足为点O，连接AF并延长交O于点D，连接OD交BC于点E，B=30，FO=2（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积（计算结果保留根号）来&源:中国%教育出*版网#考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算.分析：（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出ACF和AOF全等，得出阴影部分的面积=AOD的面积，求出三角形的面积即可解答：解：（1）OFAB，BOF=90，B=30，FO=2，www.zz&ste*OB=6，AB=2OB=12，来&源:中教网%又AB为O的直径，ACB=90，AC=AB=6；中&国教育*%出#版网（2）由（1）可知，AB=12，来源:zzste#&*来*源%:zzs#tep&.comAO=6，即AC=AO，在RtACF和RtAOF中，RtACFRtAOF，FAO=FAC=30，DOB=60，过点D作DGAB于点G，来源:中*&国%教育出版网OD=6，DG=3，SACF+SOFD=SAOD=63=9，来源#%:中教网*即阴影部分的面积是9点评：本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键3. （2015黑龙江省大庆,第24题7分）小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45（BFD在同一直线上）已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度（参考数据：1.732，1.414结果保留整数）中%国教*育出版网考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析： 延长AE交CD于点G，设CG=xm，在直角CGE中利用x表示出EG，然后在直角ACG中，利用x表示出AG，根据AE=AGEG即可列方程求得x的值，进而球儿CD的长解答： 解：延长AE交CD于点G设CG=xm，在直角CGE中，CEG=45，则EG=CG=xm在直角ACG中，AG=xmAGEG=AE，xx=30，解得：x=15（+1）152.73240.98（m）则CD=40.98+1.5=42.48（m）答：这栋建筑物CD的高度约为42m点评： 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形中国教育出*&%版网4. （2015辽宁省朝阳,第22题10分）如图，在ABC中，以AB为直径的O交AC于点D，过点D作DEBC于点E，且BDE=A来源:#z%zste*（1）判断DE与O的位置关系并说明理由；（2）若AC=16，tanA=，求O的半径考点：切线的判定.分析：（1）连接DO，BD，如图，由于BDE=A，A=ADO，则ADO=EDB，再根据圆周角定理得ADB=90，所以ADO+ODB=90，于是得到ODB+EDB=90，然后根据切线的判定定理可判断DE为O的切线；（2）利用等角的余角相等得ABD=EBD，加上BDAC，根据等腰三角形的判定方法得ABC为等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在RtABD中利用正切定义可计算出BD=6，再根据勾股定理计算出AB，从而得到O的半径解答：解：（1）DE与O相切理由如下：连接DO，BD，如图，中国*教育出版网#BDE=A，A=ADO，来%源:#中国教育出版网ADO=EDB，中%国教育出&*版网AB为O的直径，ADB=90，来源:&*中教网%来源:zzs%tep*&.comADO+ODB=90，ODB+EDB=90，即ODE=90，ODDE，来源:zzstep.*%c来源:zzstep&.co#%m(2)若AF=8,tanBDF=,求EF的长.来源:%zzste*&第25题(1)证明:连接OD, COAB, E+C=90, DFO为EFD的外角,且FD=FE,ODC为EOD的外角,且OD=OC,DFO=E+EDF=2E,DOF+E=ODC=C,得DOF+E+DFO=C+2E,即DOF+DFO=C+E=90,www.zz#ste%FD是O的切线.中%&#国教育出版网(2)解:连接AD,如图,AB为O的直径,ADB=90,A+ABD=90,OB=OD,OBD=ODB,A+ODB=90,BDF+ODB=90,A=BDF,而DFB=AFD,FBDFDA,=,在RtABD中,tanA=tanBDF=,=,DF=2,EF=2.20.（8分）（2015福建）如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小颖去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC=60米，BCA=62，请你帮小颖算出河宽AB（结果精确到1米）（参考数据：sin620.88，cos620.47，tan621.88）来源:&中%国教育出版网考点：解直角三角形的应用.www&.%zzstep*.com来#源:中&*国教育出版网专题：应用题分析：在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可来源:中国教育出版&网#解答：解：在RtABC中，BC=60米，BCA=62，www&.zz*st#可得tanBCA=，即AB=BCtanBCA=601.88113（米），则河宽AB为113米点评：此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键来源:zzst&ep.c#om%来%源:中国教育&出版*网#21.（7分）（2015甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30和60度如果这时气球的高度CD为90米且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离www.zzs%te&来源*:中国教育&出版网考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题来源:中国#%&教育出版网专题： 计算题；压轴题分析： 在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可解答： 解：由已知，得ECA=30，FCB=60，CD=90，中国教&%育*出版