2013年高三理科数学第一轮复习第十四章(3) 推理与证明.doc

2013年高三理科数学第一轮复习第十四章（3） 推理与证明考纲要求1、合情推理的含义及应用2、演绎推理的基本模式及应用3、分析法和综合法及其思考过程、特点4、反证法及其思考过程、特点5、数学归纳法的原理及应用命题规律合情推理与演绎推理：高考对本部分的考查多以选择或填空题的形式出现，主要考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论，试题的难度以低、中档题为主。演绎推理主要与立体几何、解析几何、函数与导数等知识结合在一起命制综合题。直接证明和间接证明：分析法、综合法和反证法都是重要的数学方法，各自有着鲜明的特色，要注意掌握其证明过程的特点和适用场合。综合法的特点是直接由已知导出结论，分析法则是由结论反推其成立的必要条件，反证法则是先否定结论，待推出矛盾后再肯定结论。高考中的证明题一般都用综合法证明，而分析法一般用作思考方法。反证法是一种较好的证明方法，高考中有时会明确要求使用反证法证明某个结论，但这种题目较少。数学归纳法：应重点掌握证题的两个步骤和一个结论，明确数学归纳法的适用题型（与自然数有关）。在用数学归纳法证明时，应充分理解为证时成立，必须用成立的假设。高考中数学归纳法主要出现在综合题中，要引起足够的重视。考点解读考点1 归纳、类比、演绎推理所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论(1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略考点2 综合法、分析法、反证法的应用综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键当一个命题的结论是以“至多”，“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器考点3 数学归纳法运用数学归纳法应注意以下三点：(1)时成立，要弄清楚命题的含义(2)由假设成立证时，要推导详实，并且一定要运用成立的结论(3)要注意到时增加的项数考点突破考点1 考点1 归纳、类比、演绎推理典例1 观察下列等式：可以推测：132333n3_(nN*，用含有n的代数式表示)解题思路 第二列的右端分别是12,32,62,102,152，与第一列比较可得解题过程 第二列等式的右端分别是11,33,66,1010,1515，1,3,6,10,15，第n项an与第n1项an1(n2)的差为：anan1n，a2a12，a3a23，a4a34，anan1n，各式相加得，ana123n，其中a11，an123n，即an，an2(n1)2.易错点拨 在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论变式1 已知经过计算和验证有下列正确的不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式_点拨 观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，nR，则当mn20时，有2.答案 若m，nR，则当mn20时，有2典例2 在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为_”解题思路 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论解题过程 三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD(S1S2S3S4)r.变式1 已知命题：“若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m，nN*)，则amn”现已知数列bn(bn0，nN*)为等比数列，且bma，bnb(mn，m，nN*)，若类比上述结论，则可得到bmn_.答案 a典例3 数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn(nN)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.解题思路 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式解题过程 (1)an1Sn1Sn，an1Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.2，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列(结论)(2)由(1)可知4(n2)，Sn14(n1)4Sn14an(n2)，(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn14an.(结论)易错点拨 （1）问中大前提是等比数列的定义，这里省略了，（2）问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件。变式1 已知函数f(x)(xR)(1)判定函数f(x)的奇偶性；(2)判定函数f(x)在R上的单调性，并证明答案 (1)对xR有xR，并且f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(2)法一f(x)在R上单调递增，证明如下：任取x1，x2R，并且x1x2，f(x1)f(x2).x1x2，2x12x20，即2x12x20，又2x110,2x210.0.f(x1)f(x2)f(x)在R上为单调递增函数法二f(x)0f(x)在R上为单调递增函数考点2 综合法、分析法、反证法的应用典例1 设a，b，c0，证明：abc.解题思路 用综合法证明，可考虑运用基本不等式解题过程 a，b，c0，根据均值不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加：abc2(abc)当且仅当abc时取等号即abc.易错点拨 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性变式1 设a，b为互不相等的正数，且ab1，证明：4.答案 (ab)2224.又a与b不相等故4.典例2 已知m0，a，bR，求证：2.解题思路 先去分母，合并同类项，化成积式解题过程 m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证明(amb)2(1m)(a2mb2)，即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证易错点拨 注意逆向思考时如何书写，注意格式。变式1 已知a，b，m都是正数，且ab.求证：.答案 要证明，由于a，b，m都是正数，只需证a(bm)b(am)，只需证ambm，由于m0，所以，只需证ab.已知ab，所以原不等式成立典例2 已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数(2)用反证法证明f(x)0没有负根解题思路 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x00后，应推导出x0的范围与x00矛盾即可解题过程 (1)法一任取x1，x2(1，)，不妨设x1x2，则x2x10，ax2x11，且ax10.所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以0，于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数法二f(x)axln a0，f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0，又0ax01，所以01，即x02，与x00(x01)假设矛盾故f(x0)0没有负根易错点拨 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面变式1 已知a，b为非零向量，且a，b不平行，求证：向量ab与ab不平行答案 假设向量ab与ab平行，即存在实数使ab(ab)成立，则(1)a(1)b0，a，b不平行，得所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立考点3 数学归纳法典例2 用数学归纳法证明：tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(nN*，n2)解题思路 注意第一步验证的值，在第二步推理证明时要注意把假设作为已知解题过程 (1)当n2时，右边22tan tan 2左边，等式成立(2)假设当nk(kN*且k2)时，等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kk，那么当nk1时，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)ktan ktan(k1)1tan ktan(k1)(k1)(k1)(k1)这就是说，当nk1时等式也成立由(1)(2)知，对任何nN*且n2，原等式成立易错点拨 用数学归纳法证明等式时，要注意第(1)步中验证n0的值，如本题要取n02，在第(2)步的证明中应在归纳假设的基础上正确地使用正切的差角公式变式1 用数学归纳法证明：对任意的nN*，.答案 (1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN*等式都成立典例2 是否存在正整数m使得f(n)(2n7)3n9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由解题思路 观察所给函数式，凑出推理要证明所需的项解题过程 由f(n)(2n7)3n9得，f(1)36，f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想：m36.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，显然成立；(2)假设nk(kN*且k1)时，f(k)能被36整除，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时，2(k1)73k19(2k7)3k1272723k193(2k7)3k918(3k11)，由于3k11是2的倍数，故18(3k11)能被36整除，这就是说，当nk1时，f(n)也能被36整除由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)(2n7)3n9能被36整除，m的最大值为36.易错点拨 证明整除问题的关键“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题获证变式1 用数学归纳法证明an1(a1)2n1(nN*)能被a2a1整除答案 (1)当n1时，a2(a1)a2a1可被a2a1整除(2)假设nk(kN*且k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假设可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1时命题也成立，对任意nN*原命题成立典例3 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立解题思路 本题用数学归纳法证明不等式，在推理过程中用放缩法，要注意放缩的“度”解题过程 (1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立(2)假设nk(k2，且kN*)时不等式成立，即.则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立易错点拨 在由nk到nk1的推证过程中，应用放缩技巧，使问题得以简化，用数学归纳法证明不等式问题时，从nk到nk1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等典例4 数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想解题思路 利用Sn与an的关系式求出an的前几项，然后归纳出an，并用数学归纳法证明解题过程 (1)当n1时，a1S12a1，a11.当n2时，a1a2S222a2，a2.当n3时，a1a2a3S323a3，a3.当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)证明当n1时，左边a11，右边1，左边右边，结论成立假设nk(k1且kN*)时，结论成立，即ak，那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak，ak1，这表明nk1时，结论成立，由知猜想an成立易错点拨 (1)归纳、猜想、证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本题从特例入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律(2)数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法所运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决综合突破突破1 归纳推理与类比推理问题的求解策略典例1 观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_解题思路 观察每行等式的左边与右边的特点解题过程 第n行等式的左边：以n为首项，公差为1的等差数列的前项的和，右边为。所以：易错点拨 对有限的条件进行观察、分析、归纳、整理，提出带有规律性的结论，即猜想，最后检验猜想。突破2 怎样用反证法证明问题反证法是主要的间接证明方法，其基本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进行证明.在高考中，对反证法的考查往往是在试题中某个重要的步骤进行.典例1 设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明l1与l2相交；(2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2y21上解题思路 第(1)问采用反证法，第(2)问解l1与l2的交点坐标，代入椭圆方程验证解题过程 证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1k2，代入k1k220，得k20.这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)由方程组解得交点P的坐标(x，y)为从而2x2y22221，此即表明交点P(x，y)在椭圆2x2y21上易错点拨 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的快乐训练1、数列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28 B32 C33 D272、某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A白色 B黑色C白色可能性大 D黑色可能性大3、p，q(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为()Apq Bpq Cpq D不确定4、设alg 2lg 5，bex(x0)，则a与b大小关系为()Aab Bab Cab Dab5、否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()Aa，b，c都是奇数 Ba，b，c都是偶数Ca，b，c中至少有两个偶数 Da，b，c中至少有两个偶数或都是奇数6、在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0 等于()A1 B2 C3 D07、利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nN*)的过程，由nk到nk1时，左边增加了()A1项 Bk项 C2k1项 D2k项8、给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()A0 B1 C2 D3提高训练1、设a、bR，若a|b|0，则下列不等式中正确的是()Aba0 Ba3b30 Ca2b20 Dba02、已知=（ ）A3B0C3D3+i3、“因为指数函数yax是增函数(大前提)，而是指数函数(小前提)，所以函数是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A大前提错误导致结论错B小前提错误导