相关点法习题及其答案.doc

相关点法(转移法) “如果你不能解决所提的问题，可尝试先去解决某个与此有关的辅助问题，一个更易着手的特殊问题，这正像小河当中正好有块合适的石头可作为临时的踏脚石，我们用两步过河一样”转移法求轨迹方程的根本策略就是寻找踏脚石，两步实现目的相关点法是指：当生成轨迹的动点P随着另一动点Q的变动而有规律地变动，且Q又落在一给定的曲线C上时，根据条件去寻找表示P、Q两点间规律的表达式，然后将Q点的两个坐标分别用P点的坐标来表示，再把Q点的坐标代入曲线C的方程这一方法的本质问题是代入！如果我们把Q点称主动点，P点称为从动点，那么上面这一定义可以理解成：求从动点的轨迹方程，只须用从动点的坐标来表示主动点的坐标，再把主动点代入已知曲线方程我们把这种求从动点轨迹方程的方法定义为代入法注：当生成轨迹的动点P的方程不易求得时，就改换目标，先去寻求与P有着密切关系的动点Q的曲线的方程(踏脚石！)，再转化为用代入法求P点的轨迹其中心问题是转移目标，寻求辅助曲线(或说中间曲线)若动点依赖于另一动点而运动，而点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式，于是将这个点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。相关点法的应用步骤：设所求曲线上任意一点为；通过逆变换方式写出点在原曲线上的对应点B的坐标；把B的坐标代入原曲线方程即可。1.(2010北京西城区一模，12)点P（0，2）到圆C：（x+1）2+y2=1的圆心的距离为_，如果A是圆C上一个动点，=3,那么点B的轨迹方程为_.答案： (x-2)2+(y-6)2=4解析：由圆的方程圆心(c-1,0),则P到圆心的距离d=.设A、B点的坐标分别为（x0,y0）、（x,y）.=（x-x0,y-y0）,=(-x0,2-y0).=3,即（x-x0,y-y0）=(-3x0,6-3y0).A在圆上，（-+1）2+()2=1.即(x-2)2+(y-6)2=4.即为B点的轨迹方程.2.双曲线=1的实轴为A1A2，点P是双曲线上的一个动点，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程为_.解：设P(x0,y0）(xa),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由条件而点P(x0,y0)在双曲线上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化简得Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4(xa).3.（1986年全国）已知抛物线，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为哪种曲线解：设，由题设，P分线段AB的比， 解得.又点B在抛物线上，其坐标适合抛物线方程， 整理得点P的轨迹方程为其轨迹为抛物线4.P是椭圆上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM的中点轨迹方程为（ ）A B C D5.两定点A（-2.-1）,B(2,-1)，动点P在抛物线上移动，则重心的轨迹方程是（ ）A B C D6. 抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求ABC重心P的轨迹方程。分析：抛物线的焦点为，设ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。解：因点是重心，则由分点坐标公式得：即由点在抛物线上，得：将代入并化简，得：。7.设圆C的方程为（x1）2y2=1，（1）经过定点A(,0)作圆的割线交圆于C、D点，求弦CD中点M的轨迹方程（2） 经过定点A(-2,0)作圆的割线交圆于C、D点，求弦CD中点M的轨迹方程（3）经过点O(0,0)作圆的弦OM，若，求动点N的轨迹方程8.（2009年高考广东卷）已知曲线：与直线：交于两点和，且，记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.设点是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程。解：联立与得，则中点，设线段 的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.9.（2008年，江西卷）设 在直线上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，定点M。 过点A作直线的垂线，垂足为N，试求的重心G所在的曲线方程。【巧解】设，由已知得到，且，（1）垂线的方程为：，由得垂足，设重心所以 解得 由 可得 即为重心所在曲线方程。OABPF10.（2005年，江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.，求APB的重心G的轨迹方程.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.11. 已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，请说明理由.解：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则 因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是 （）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得，由得 所以，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M当时，由，得解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M当时，记，由知，所以12. 过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点.求AOB的重心G的轨迹C的方程.解：抛物线的焦点坐标为（1，0），当直线l不垂直于x轴时，设方程为y=k（x1），代入y2=4x，得k2x2x（2k2+4）+k2=0. 设l方程与抛物线相交于两点，k0.设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），根据韦达定理，有x1+x2=，从而y1+y2=k（x1+x22）=.设AOB的重心为G（x，y），消去k，得x=+（y）2，则 x=+，y=， y2=x.当l垂直于x轴时，A、B的坐标分别为（1，2）和（1，2），AOB的重心G（，0），也适合y2=x，因此所求轨迹C的方程为y2=x.13. 已知椭圆C：和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程。解：设弦中点为M（x，y），交点为。当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线。 由，两式相减得又 由可得： 当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2），适合方程。弦中点的轨迹方程为：15.（1995年全国高考题）已知椭圆，直线P是上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.答案：16（2001年上海春季高考）已知椭圆的方程为，点的坐标满足过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求： （1）点的轨迹方程；（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数答案：(1)点Q的轨迹方程为； （2）略.17. 已知圆：.（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程;（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.解（）当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意若直线不垂直于轴，设其方程为，即 设圆心到此直线的距离为，则，得， 故所求直线方程为 综上所述，所求直线为或 （）设点的坐标为，点坐标为,则点坐标是 ， 即， 又， 由已知，直线m /ox轴，所以，点的轨迹方程是，轨迹是焦点坐标为，长轴为8的椭圆，并去掉两点。18.椭圆C与椭圆关于直线x + y = 0对称，椭圆C的方程是（ A ） 19.如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属级题目.知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB中点的轨迹方程.错解分析：欲求Q的轨迹方程，应先求R的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题.技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2