类比例题解析.doc

一、 数列中的类比推理例1.在等差数列中，若，则有等式成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是： 等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且则）； 等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且则）. 由此，猜测本题的答案为：事实上，对等差数列，如果，则. 所以有：）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立. 评注 本题是一道小巧而富于思考的妙题，主要考查观察分析能力，抽象概括能力，考查运用类比的思想方法由等差数列而得到等比数列的新的一般性的结论。例2.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列a等和数列，且，公和为5。那么的值为_，这个数列前n项和的计算公式为_。分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。解：a是等和数列，公和为5，则，知，（nN*）。3，数列a形如：2，3，2，3，2，3，。 评注:这是一道新情境题型，关键要吃透定义，对于n为奇数时，。 本题以“等和数列”为载体，解决本题的关键是课本中所学的等差数列的有关知识及其数学活动的经验，本题还考查分类讨论的数学思想方法。例3.若数列是等差数列，则有数列类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列解析：由已知“等差数列前n项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口。二、 函数中的类比推理例4（2003年上海春招高考题）设函数，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得的值为 .分析 此题利用类比课本中推导等差数列前项和公式的倒序相加法，观察每一个因式的特点，尝试着计算： ，发现正好是一个定值， ，.评注 此题依据大纲和课本，在常见中求新意，在平凡中见奇巧，将分析和解决问题的能力的考查放在了突出的位置.本题通过弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别并变更出新的命题.这样，通过从课本出发，无论是对内容的发散，还是对解题思维的深入，都能收到固本拓新之用，收到“秀枝一株，嫁接成林”之效，从而有效于发展学生创新的思维。例5：已知为常数，且，问是不是周期函数，若是，求出周期，若不是说明理由。分析：由联想到，找到一个具体函数，=，而函数猜想是一个周期为的函数。这样方向明，思路清。证明：，例4 （2003年上海春招高考题）已知函数，.（1） 证明是奇函数，并求的单调区间.（2） 分别计算和的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个等式，并加以证明.分析 （1）略； （2）分别计算得和的值都为零，由此概括出对所有不等于零的实数有：如果将式子中的5改成字母，可进一步推广. 评注 由数字型向字母型类比推广相当于从特例向一般推广，但其实质都是一般化策略.正如波利亚在其怎样解题中所阐述的一般化思想：“一般化就是从考虑一个对象，过渡到考虑包含该对象的一个集合，或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑一个包含该较小的集合的更大集合。”四、立体几何中的类比推理 例10. （2002年上海春招题）若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点、与点、，则三角形面积之比为：. 若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分别有点、与点、和、，则类似的结论为： .分析 在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想.(证明略) 评注 本题主要考查由平面到空间的类比.要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论.又在2004年广东高考数学试卷中出现本题的类题。 例11. （2003年全国高考题）在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .”分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； 由此，可类比猜测本题的答案： （证明略）. 评注 本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广，因此平时的教学与复习中要注意类比等思想方法的学习，更要注意研究性学习在数学中的适时切入。五、 解析几何中的类比推理例14. （2003年上海春招题）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.分析 类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.证明：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）. 因为点M（）在已知双曲线上，所以，同理.则（定值）. 评注 本题以椭圆、双曲线为载体，考查直线的斜率，椭圆、双曲线的概念与方程，考查数学运算能力。同类之间的类比在圆锥曲线中，常常以姐妹题形式出现，这样对学生思维和素质的考查具有很好的功能，而且题型新颖，避免了传统的考法的单调。例4（2001年上海高考题）已知两个圆：x2+y2=1；x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为_.分析：本题给出了求两圆的对称轴方程的方法，考查抽象思维能力和推广数学命题的能力。将题设中所给的特殊方程、推广到一般情况：设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2 (x-c)2+(y-d)2=r2 (ac或bd),则由-可得两圆的对称轴方程为2(c-a)x+2(d-b)y+a2+b2-c2-d2=0六.新定义、新运算中的类比例15、若记号“*”表示两个实数a与b的算术平均的运算，即，则两边均含有运算符号“*”和“”，且对于任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是_。解析：由于本题是探索性和开放性问题，问题的解决需要经过一定的探索过程，并且答案不惟一。这题要把握住，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“”，则可容易得到a+（bc）=（a+b）（a+c）。正确的结论还有：（ab）+c=（ac）+（bc）,（ab）+c=（ba）+c等。例16、电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制123456.二进制11011100101110.观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制