类比推理教学设计.doc

人民教育出版社高中数学选修2-2推理与证明合情推理课题类比推理授课人徐长帅教学目标知识与技能一： 1通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去；2通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。过程与方法：通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究，提高学生观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法情感、态度与价值观：1正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。2认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识。重点了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。难点能找到事物之间的共同或相似性质，不仅会在形式结构和叙述方式上进行类比，还需对推理过程或思维策略进行类比教法采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法教学过程教学环节教学目的教学呈现设计意图创设情境,引入新课创设情境，感性认识,引入新课引入：加拿大外交官切斯特朗宁曾在竞选省议员时，由于他幼儿时期吃过中国奶妈的奶水一事，受到政敌的攻击，说他身上一定有中国血统。朗宁反驳说：“你们是喝牛奶长大的，你们身上一定有牛的血统了。”这样的反驳既有力，又幽默.这个推理过程是归纳推理吗？我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的.苍蝇的楫翅（又叫平衡棒）是“天然导航仪”，人们模仿它制成了“振动陀螺仪”.这种仪器目前已经应用在火箭和高速飞机上，实现了自动驾驶。 苍蝇的眼睛是一种“复眼”，由3000多只小眼组成，人们模仿它制成了“蝇眼透镜” ，一次就能照出千百张相同的相片。让学生了解类比在生活中的重要作用，体会人类的这种重要的逻辑思维方式，明白类比的重要意义。同时引发学生到数学的领域中去了解类比的思想。学生活动，尝试探索通过生活和学习中的实例创设情境、进行探究，提高学生观察猜想、抽象概括的能力，渗透类比的思想方法首先请大家回忆回忆我们高中所学过的知识，哪些知识板块可以放在一起进行类比呢？问题1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。等式的性质： 猜想不等式的性质：(1) a=ba+c=b+c; (1) aba+cb+c;(2) a=b ac=bc; (2) ab acbc;(3) a=ba2=b2;等等。 (3) aba2b2;等等。问：这样猜想出的结论是否一定正确？问题2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦截面圆直径大圆周长表面积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心面积体积 思考1：平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢，它们在什么方面是相似的？思考2： 如何展开类比的？思考3： 类比的前提是什么？它的一般步骤是什么？学生交流，由教师总结。问题2拓展：试通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2”，猜测关于球的相应命题。以问题组的形式展开教学，以自然的方式帮助学生建构概念，让学生的思维一直处于思考的状态中。另外初次运用类比推理，对类比方式不做进一步的深入研究，只需了解要进行类比，必须建立在两者必须有相似之处，并且用我们所学过的知识来验证类比的结论不一定正确。进一步认识类比的前提，能够从叙述方式或数学结构等外层表象进行类比，领略类比的过程，体会可以用类比的方式得到数学新知。拓展从既有从叙述方式上的类比，又有思维过程的类比，意义建构，形成概念引导学生深层次的考虑问题，看到问题的本质，得出概率公式。上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比） 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即猜想新结论联想、类推观察、比较（）类比推理的几个特点：1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.归纳推理和类比推理的共同点合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理以填空形式讨论降低了概念学习的难度，使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究。数学运用，巩固知识通过两个个例题，让学生体会归纳推理的一般步骤，进一步感受归纳推理的方法例3 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. 类比角度实数的加法实数的乘法运算结果RR运算律a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)ab=ba(ab)c=a(bc)逆运算a+x=0有唯一解x=-aax=0(x0)有唯一解x=-a单位元a+0=aa1=a例4 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.直角三角形3个面两两垂直的四面体C90 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c从而猜想：思考：这个结论是正确的吗？学习函数时我们将它与数类比，学习数列时我们将它与函数类比，你在学习过程中还经历过哪些类比活动？通过例1，一方面引导学生应用归纳推理解答，这两题分别通过对数、形的观察，可以归纳出下一个结果。同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力加强了能力的考查，不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上，还需要对数学结论的运算、推理过程等进行类比分析，从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联拓展研究，能力培养，拓展研究能力培养感受猜想完善思维感受猜想完善思维（一）探究：（汉诺塔游戏）.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动一个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?（二）初步应用，巩固概念1.下列说法中正确的是（ ）.A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理 D.类比推理是从特殊到特殊的推理2（2009江苏.）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .解析 考查类比的方法。体积比为1：83. （2004广东）由图(1)有面积关系: 则由(2) 有体积关系: 3. （10山东）设，nN，则 （ ）.A. B.C. D.4. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55中的x的值是 .让学生在解决问题的过程中发现归纳推理需要检验过程，从而自我修正归纳推理的一般步骤。让学生接受数学文化的熏陶，感受归纳推理的魅力；同时，通过“猜想验证再猜想”说明科学的进步与发展处在一个螺旋上升的过程。体会类比推理在实际生活和数学发现中的作用，提高学习数学的兴趣，增强创新意识。课堂小结，提炼知识形成体系1类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。2 类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性。用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）让学生自己小结，这是一个重组知识的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可以帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。布置作业巩固知识1、课本84页T5 2在等差数列中，若，则有成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？3. 在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3） 求（选作题）1. (2007广东理)如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 _ 条.这些直线中共有对异面直线，则 12 ; .（答案用数字或的解析式表示）2（2007湖南理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 32 第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 图13（2006广东14）在德国不来梅举行的第48届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、 堆最低层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放。从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球。以 f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数，则 f (3) = ；f (n) = （答案用 n 表示）。作业的分层布置有利于满足不同层次的学生要求。作业的分层布置有利于满足不同层次的学生要求。知识拓展课堂延伸1.费马猜想：法国业余数学家之王费马（1601-1665）在1640年通过对，的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.欧拉发现第五个费马数的