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3基本不等式1 一 新课引入 证明推导1 结论 如果a b R 那么a b 2ab 当且仅当a b时取 号 以公式 1 为基础 运用不等式的性质推导公式 2 这种由已知推出未知 或要求证的不等式 的证明方法通常叫做综合法 如果a b R 那么有 a b 0 1 把 1 式左边展开 得a 2ab b 0 a b 2ab 2 2 式中取等号成立的充要条件是什么 证明推导2 证明推导3 证明推导4 均值不等式的几何解释是 半径不小于半弦 均值不等式的代数解释为 两个正数的等差中项不小它们的等比中项 两个不等式的适用范围不同 结论推广 公式 如果a1 a2 an 0 且n 1 那么 a1 a2 an n叫做这n个正数的算术平均数 结论 n个正数的算术平均数不小于 即大于或等于 它们的几何平均数 如果a1 a2 an 0 且n 1 那么 a1 a2 an n 二 新课讲解 其中当且仅当a b时取等号 三 探索 由a b c R 依次对其中的两个运用公式 2 有 a b 2ab b c 2bc c a 2ca 把以上三式叠加 得a b c ab bc ca a b c R 3 当且仅当a b c时取 号 从以上推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法 迭代与叠加 证明 a b c ab bc ca a b c R 当且仅当a b c时取 号 变式 3种情况 5个结论 推广 1 两个正数积为定值 和有最小值 2 两个正数和为定值 积有最大值 应用要点 一正二定三相等 2 1 思考 当x 0时表达式又有何最值呢 3 基本不等式 2 一 复习引入 二 新课讲解 例3 已知lgx lgy 1 的最小值是 2 函数有最值 并求其最值 基本不等式3 应用 例1 用篱笆围一个面积为100m2矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 练习1 已知直角三角形的面积等于50 两条直角边各为多少时 两条直角边的和最小 最小值是多少 结论1 两个正数积为定值 则和有最小值 例2 用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 练习2 用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形 应当怎样折 结论2 两个正数和为定值 则积有最大值 注意 在使用 和为常数 积有最大值 和 积为常数 和有最小值 这两个结论时 应验证三点 一正 二定 三相等 后才能取最值 当条件不完全具备时 应创造条件 例3 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池 平面图如上图 如果池四周围墙建造单价为400元 m 中间两道隔墙建造单价为248元 m 池底建造单价为80元 m2 水池所有墙的厚度忽略不计 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最底造价 分析 设污水处理池的长为xm 总造价为y元 1 建立x的函数y 2 求y的最值 设污水处理池的长为xm 总造价为y元 则 解 y 400 2x 200 x 2 248 2 200 x 80 200 800 x 259200 x 16000 当且仅当800 x 259200 x 即x 18时 取等号 答 池长18m 宽100 9m时 造价最低为30400元 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池 平面图如上图 如果池四周围墙建造单价为400元 m 中间两道隔墙建造单价为248元 m 池底建造单价为80元 m2 水池所有墙的厚度忽略不计 试设计污水处理池的长和宽 使总造价最低 并求出最底造价 练习3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 解题回顾 用不等式解决有关实际应用问题 一般先要将实际问题数学化 建立所求问题的代数式 然后再据此确定是解不等式 还是用不等式知识求目标函数式的最值 若正数x y满足x 2y 1 求的最小值 解题回顾 本题常有以下错误解法 错误的原因在两次运用平均不等式的时候取等号的条件矛盾 第一次须x 2y 第二次须x y 求条件极值的问题 基本思想是借助条件化二元函数为一元函数 代入法是最基本的方法 代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围 也可用三角代换的方法 练习4 5 a 0且b 0 是 成立的 A 充分而非必要条件 B 必要而非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件6 甲 乙两车从A地沿同一路线到达B地 甲车一半时间的速度为a 另一半时间的速度为b 乙车用速度a行走了一半路程 用速度b行走了另一半路程 若a b 则两车到达B地的情况是 A 甲车先到达B地 B 乙车先到达B地 C 同时到达 D 不能判定 A A 7 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的