解题推理论.doc

解题推理论引例 已知为的三边，它们的对角分别为，若，且关于的方程的两根相等，请判断的形状 0 数学解题理论数学上回答“怎样解题”、“怎样学会解题”的学说，我们称为数学解题理论环绕这两个问题进行研究，会出现解题本质的不同解释、解题过程的不同描述，因而会构建出不同的数学解题理论，形成百花齐放的解题观点，这可能是一个学说走向成熟的必经阶段 解题观点是指对“怎样解题”、“怎样学会解题”的整体认识它既是数学思想在解题实践中的应用，又是教学思想在解题教学中的体现下面介绍一些有代表性的解题观点，如解题推理论、解题化归论、解题信息论、解题差异论等虽然这些观点各有自己的理论侧重和价值取向，但基本上是不矛盾的，我们可以各取所长、兼收并蓄、互为补充当然，更重要的是形成自己的解题观点，并发展为成熟的解题理论首先介绍解题推理论，以弗里德曼等著怎样学会解数学题为载体1 解题推理论的认识1-1 什么是解题推理论这是一种关于解题的很古老的观点，可以追溯到欧几里得时代(约公元前300年左右),当欧几里得用公理化演绎推理写出几何原本之后（用23个定义、5个公设、5个公理推出456个命题）,人们就认识到“已知真命题可以成为证实新命题的依据”，因而数学解题无非是：把知识内容连接成从条件到结论的一个逻辑链条这要求我们首先要有“知识”，同时还要会“连接”一般地，数学解题就是“根据已经确定其真实性的数学命题去确定某一数学命题的真实性的推理过程”，我们把这样一种理论观点称为解题推理论1-2 数学解题的实质弗里德曼等著怎样学会解数学题一书体现了解题推理论，文1认为，解数学题，这就是要找到一种一般数学原理（定义、公理、定理、定律、公式）的序列，把这些原理用于习题的条件或者条件的推论（解题的中间结果），得到习题所要的东西，即习题的答案记为题目的条件，为题目的答案，若存在数学原理，使则就是解这道习题的数学原理序列，（）为中间结果或条件的推论找出相关的数学原理并组织成一个能实现解题目标的序列，是解题的基本工作，没有“数学原理”谈不上解题，有了“数学原理”但组织欠缺也不能很好的实现解题目标，会导致解题受阻或多余回路 解题推理论示例例1 因式分解列表显示题目的求解过程解题步骤一般数学原理习题条件或者条件的推论结果 1加法交换律、结合律 2提取公因式 3 同上 4平方差公式 5等式的传递性已得到的所有等式可见，解答这个因式分解题就是找出5项数学原理序列，分5步依次作用于多项式，得出分解式（最后答案） （用加法交换律和结合律） （提取公因式） （提取公因式）, （用平方差公式）得 （用等式的传递性）示意为 图1这个示意表达了解题的一维结构，其好处是解题“用了哪些知识”、“分成几个步骤”非常清楚（我们在“解题信息论”还会拓展为二维结构）2 解题过程的结构那么，怎样找出解题的数学原理序列、如何确定它们是正确的呢？怎样学会解数学题提出了8阶段解题程序，文1说：如果把解题过程理解为从开始得到习题到完全解完这道题的过程（解题程序则是经过规范化而成为可操作的解题过程），那么这个过程显然不是由叙述已经找到的题解组成，而是由一系列的阶段组成的，叙述题解只是其中的一个阶段其全过程可以分成8个阶段：（参见图2）第1阶段分析习题； 第2阶段作习题的图示；第3阶段寻找解题方法；第4阶段进行解题检验：第5阶段检验解题；第6阶段讨论习题；第7阶段陈述习题答案； 第8阶段分析题解图2这个结构有两点需要特别强调，其一，叙述题解只是解题全过程的一个阶段；其二，分析题解也是解题过程的一个必要阶段 3 寻找解题方案 3-1 有益的建议如何寻找解题方案呢？怎样学会解数学题引述有关成果，提出了许多有益的建议如 建议1：如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于那种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型要知道，识别了习题的类型，在多数情况下，我们就得到了解题的方法，因为在数学教材里，对于许多类型的习题都有它们的一般法则这里首先谈到了模式识别的解题策略，每一个数学定理、数学公式其实也是一批习题类型的求解模式 建议2：解题就是把题归结为已经解过的题如果我们开始解一道题，分析的结果我们不能从中识别出类型，换句话说，发现给定的习题属于我们所不熟悉的类型，对于这种类型我们不知道解答它的一般方法，那么，我们应当怎么办呢？只有归结为熟悉的早已解过的习题（利用变换、改编或其他方法，见文1 ）这里谈到了转换化归的解题策略 例2 已知为的三边，它们的对角分别为，若，且关于的方程的两根相等，请判断的形状 先做讲解 这是早年的一道中考题，评分标准给出4个得分点，从中可以看出命题人的解题思路 (1) 使用余弦定理得1 分(2) 将余弦定理代入已知条件 ，得 ，推出，即为等腰三角形这一步得2 分(3) 使用二次方程有等根的条件，得1 分(4) 由推出，即为直角三角形，得2 分反思分析 这个处理过程有两个明显的步骤：第一步，由条件推出为等腰三角形（证等腰）第二步，由条件，推出为直角三角形（证直角）开始我们不清楚条件与结论之间有这样的关系，结论的初步得出暴露了“那个条件可以推出那个结论”这时“结论也是已知信息”，值得思考的问题也就有了：“等腰”对推“直角”有什么帮助？反过来，由“直角”推“等腰”又有什么帮助？对本题而言，“等腰”对方程的贡献不是很大，而直角三角形对的贡献就大了，无需使用余弦定理了 证明 已知方程即，其二根相等，应有判别式等于0， 即，得 ，所以，为直角三角形， 有 ，代入已知条件， 得 ，故有，得为等腰直角三角形感悟 这个处理避开了余弦定理，节省了解题力量，简化了解题过程，说明了解题顺序影响解题长度虽然，还可以用正弦定理、或作高等来代替余弦定理（不下10种解法），但先判定出直角三角形依然是明智的、简捷的，也更接近问题的深层结构求解是把一道“二次方程、三角函数与三角形判别”的综合题分解为两道小题：题1：由，证明是等腰三角形（用正弦定理、余弦定理或作高等途径）题2：由二次方程的两根相等，证明是直角三角形（用判别式）这就转换化归为已经解决的问题了 感悟2这个例子虽然简单，但体现了我们对解题活动的自我意识、自我分析与自我调整，它与更多的例子合起来说明了：（1）数学解题不是知识点的简单堆砌，或规则的简单重复与操作的生硬执行，它是有逻辑结构的；（2）这种结构可以通过自觉的解题分析来加以认识；（3）在自我认识的基础上可以通过自我调整而优化结构研究建议：用下面两题测试“呈现顺序对解题的影响”题1 已知为的三边，它们的对角分别为，若，且关于的方程的两根相等，请判断的形状 题2 已知为的三边，它们的对角分别为，若关于的方程的两根相等，且，请判断的形状3：抓藏在石堆里的老鼠如果遇到不熟悉的和费解的习题，那么，所有已知的建议和提示都无济于事了这时，寻找解题“就好像去抓藏在石堆里的老鼠”，有两种方法：可以把这个石堆的石头一块接一块地逐渐搬开，直到露出老鼠来也可以用另一种方法，就是围绕石堆不停地来回走动，并留心观察，看看什么地方漏露出老鼠尾巴没有一旦发现老鼠尾巴，就用手抓住它，并把老鼠从石堆里拖出来（见文1 ）这就要求我们既善于把一个问题分解为一些小问题（然后分别求解小问题），又要善于分析问题的实质、直捣问题的关键回想例3 为加强环保，矿泉水厂实行空瓶兑换回收政策：3个空瓶可以换1瓶矿泉水现有10瓶矿泉水，问根据“回收政策”最多还可喝几瓶矿泉水？回想分析 （1）条件是什么？3个空瓶可以换1瓶矿泉水，数学上提供了“除数”现有10瓶矿泉水，数学上提供了“被除数”（2）结论是什么？最多还可喝几瓶矿泉水，可分解为三个小问题：可喝几瓶矿泉水数学上要求做“除法”； 为了求出“最多”，数学上要求继续做“除法”；多次“除法”的结果加起来，数学上是“加法”解法l 分4步完成：第1步，用原有的10个空瓶去换3整瓶矿泉水，剩1个空瓶第2步，用4个空瓶去换l整瓶矿泉水，剩1个空瓶第3步，用2个空瓶换不来1整瓶，但可先借1个空瓶，换一整瓶，喝完后，还空瓶第4步，最多共可喝瓶反思分析 你们可能见过（或教过）这样的解法，通过“借1还1”可兑换喝到5瓶矿泉水，于是，学到了“借1还1”但是，你们从数学上想过没有：第3步的数学实质是什么？数学可不是魔术这个解法分3步完成对换，每步都重复着“3空换1整”的要求其中最富于智慧的应是第3步，对其作正面思考：第3步的聪明就在于“借一还一”吗？它的实质是什么？请看下图 图4可见，“借一还一”技术表象的实质是：2个空瓶可以换来一瓶里的“汽水”(不包括瓶子)于是，第3步隐含着问题的本质，已知条件中“3个空汽水瓶可以换1整瓶汽水”等价于“2个空瓶子”可以换1个瓶里的“汽水”分三步兑换可以合并为1步完成（整体处理）： 解法2 依题意，2个“空瓶”可以换1个瓶里的“矿泉水水”，现有10个空瓶，最多可换瓶里的“矿泉水”解法3 设最多可喝瓶汽水依题意，得方程，有 ，得 感悟 也许，我们一开始并不能抓住已知条件的“本质”，但解法1是可以做到的，通过对“初步解法”的分析，就有机会找回被浪费了的重要信息，获得更接近问题深层结构的解法即使我很笨，我也能学会聪明并且，一旦抓住了题目的本质，推广立即就成为可能.在此例中，解法1体现了一块接一块地搬开石头（分解分步），而解法2则体现了留心观察，一把抓住老鼠尾巴，并把老鼠从石堆里拖出来（江湖人称：一剑封喉）例4-1 有个数，它们中的每一个要么是或要么是若，求证是4的倍数讲解 拿到这个题目至少会有3个困难：困难1：字母很多，眼花缭乱困难2：随意取值，捉摸不定困难3：证明整除没有现成公式可套越是有困难，越是要作题意的仔细分析（）题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何 字面上看条件有两个，都是符号信息：为或；其实，式子本身也像图形一样，包含的信息并不唯一虽然条件的随意取，但也只能取为或，注意到条件中出现了，因而条件中每一项也只能取为或，这是一个隐含条件：为或；（隐含条件1）另外，条件中的有一种循环结构，每一个都在等式中出现两次，也应是一个条件：条件中的有一种循环结构，每一个都出现两次（隐含条件2）（2）题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何结论有一个：求证是4的倍数 （3）题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构条件有4个，结论有一个，一定要把条件组合起来使用但是怎样“组合起来”没有头绪，因为证明“4的倍数”缺少现成办法但是，在字母很多、随意取值的现象面前，条件向我们提供了一个确定的和（为0），这是一个关键的信息，它告诉我们，条件中个中有一半是，有一半是，故必为偶数这时解题经验又启示我们：难的不会想简单的，先证，再证为偶数也就是说，沟通条件与结论的数学联系，可以把“是4的倍数”分成两个逐步深入的层次来解决至于为偶数的证明可交由“思路探求”去完成证明1 第1步证明为偶数：由为或知，也为或，再由，知个中有一半是，有一半是，故必为偶数，设第2步证明为4的倍数：现把个相乘，有（条件发挥了关键作用） ，可见，为偶数，设，有，得证是4的倍数说明 这种认识是成功的，但并不表明是深刻的如果洞察“为或”的特征，立刻就可以与“4的倍数”联系起来 即一定是4的倍数，求和便可得出结论证明2 写出个等式每个等式的左边都是4的倍数，求和也是4的倍数，得 ，得证是4的倍数例4-2 设个整数的和为0，积为，求证是4的倍数讲解 （）题目的条件是什么，一共有几个，其数学含义如何 字面上看条件有两个，都是符号信息：；其实，条件中隐含着中有偶数个奇数，这也是一个条件：中有偶数个奇数（隐含条件1）另外，条件表明均为的约数，隐含着仅当中全为奇数时为奇数，中有偶数时为偶数这也应是一个条件：中全为奇数时为奇数，中有偶数时为偶数（隐含条件2）（2）题目的结论是什么，一共有几个，其数学含义如何结论有一个：求证是4的倍数 （3）题目的条件和结论有哪些数学联系，是一种什么样的结构条件有4个，结论有一个，一定要把条件组合起来使用但是怎样“组合起来”没有头绪，因为证明“4的倍数”缺少现成办法但由知，均为的约数，只需证中有4的倍数或有2个偶数考虑“有2个偶数”，问题可以分成两个逐步深入的层次来完成：第1步证明中有偶数，第2步证明中有2个偶数就是说，沟通条件与结论的数学联系，可以把“是4的倍数”分成找2个为偶数 证明 先证为偶数（即中至少有1个偶数），若不然，为奇数，则由知，全为奇数，奇数个奇数之和必为奇数，与其和为0（偶数）矛盾，故必为偶数 再证为4的倍数（即中至少有2个偶数），若不然，由为偶数知，恰有一个偶数，其余个数全为奇数，这时，奇数个奇数之和必为奇数，加上一个偶数，总和为奇数，与之和为0（偶数）矛盾，所以，为4的倍数在这个证明中，第一步的结论又成了第二步的条件.建议4：解题是一个改编习题的过程人们的解题是一个改编习题的过