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余子式 代数余子式 行列式按行 列 展开 范德蒙 Yandermonde 行列式 第三节行列式按行 列 展开 引例 一 余子式 代数余子式 叫做元素的代数余子式 例如 定义 引理若一个n阶行列式中第i行所有元素除 外都为零 记作 则这行列式等于 二 行列式与代数余子式的关系 与其代数余子式的乘积 即 这是上例中当时的特殊情况 故有 得 再看一般情形 此时 中的余子式 故得 于是有 定理n阶行列式 等于它的任意一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 或 证由行列式的性质及引理 有 这个定理叫做行列式按行 列 展开法则 利用 这一法则并结合行列式的性质 可简化行列式的计算 例计算行列式 解 例计算行列式 注意 直接利用定理未必简化计算 因为把一个n阶行列式的计算化成n个 n 1 阶行列式的计算并不减少工作量 但是 当行列式中某一行 列 含有较多零时 定理便显出了优势 此外 该定理在理论推导上很有用 元素与另一行 列 对应元素的代数余子式乘积 之和等于零 即 或 推论n阶行列式某一行 列 的 证考虑行列式 仅有第j行不同 因此的第j行元素的 代数余子式与D的第j行对应元素的代数余子式相同 上述证法如按列进行 即可得 由于中有两行相同 综合上述定理及推论 得代数余子式的重要性质 解 因第二行各元素与第一行各元素的代数余子式乘积之和为0即 则 而 例对于行列式 证 用数学归纳法 例 证明范德蒙 Vandermonde 行列式 n 1阶范德蒙德行列式 余子式和代数余子式关系 行列式与代数余子式的关系 范德蒙 Vandermonde 行列式 小结 练习 答案 10368 求第一行各元素
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