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2 4隐函数与参量函数微分法 一 隐函数的导数 定义 由方程F x y 0所确定的函数y y x 称为隐函数 y f x 形式的函数称为显函数 如果从F x y 0中解得y f x 称为隐函数的显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 例2 设x4 xy y4 1 求y 在点 0 1 处的值 例3 再证反函数的求导法则 设x y 为直接函数 y f x 为其反函数 y f x 可视为由方程x y 0确定的一个隐函数 由隐函数求导法则 在方程x y 两边对x求导 得 即 二 对数求导法 方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 目的是利用对数的性质简化求导运算 对数求导法 适用范围 1 多个简单函数积商 乘方 开方的情形2 幂指函数u x v x 的情形 例5 例6 例4 练习 一般地 对幂指函数f x u x v x u x 0 的情形 等式两边取对数 得lnf x v x lnu x 两边对x求导得 三 由参数方程所确定的函数的导数 消去参数 得 参量函数 y 1 x 问题 消参困难或无法消参如何求导 则 再设函数x t y t 都可导 且 t 0 由复合函数及反函数的求导法则得 容易漏掉 若设函数x t y t 都二阶可导 且 t 0 则 例12 例13 书后练习 四 相关变化率 相关变化率问题 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率 解 设时刻t水深为h t 水库内水量为V t 则 上式两边对t求导得 水面上升之速率 例14 河水以8米3 秒的流量流入水库中 水库形状是长为4000米 顶角为120 的水槽 问水深20米时 水面每小时上升几米 1 会隐函数求导法 注意 y的函数的求导 例15 设函数y y x 由方程ey xy e所确定 求 2 会对数求导法 3 会参数方程求导法 注意 适用的范围 注意 不要漏乘 例16 课下练习 确定函数 求 设由方程 五 小结 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 对数求导法 对方程 函数 两边取对数 经适当运算后 按隐函数的求导法则求导 参数方程求导 实质上是利用了复合函数的求导法则 相关变化率 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率 解法 通过建立两者之间的关系 用链式求导法求解 思考题 对吗 思考题解答 不对 求 解 方法1 方法2 等式两边同时对求导 1 设 思考与练习 求 解 2
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