matlab 第四章 数值计算.ppt

第四章数值计算 4 1解线性方程组4 2曲线拟合4 3数据差值 4 1解线性方程 MATLAB解线性方程一般不用先求逆阵 再做矩阵乘法的方法求解 而是采用类似数量除法的方法来描述一般的线性方程组的解 系数矩阵左乘未知数Ax Bx A B 系数矩阵右乘未知数xA Bx B A系数矩阵为m行n列矩阵 1 m n为方阵系统 可以求出一个精确的解 2 m n过限定系统 可以求出一个最小方阵的解 3 m n限定不足系统 可以求出一个至多含有m个非零元素的基解 2 6 1方阵系统Eg A 234Eg A 234541541132132U 1B 47521473526Ax Ux A 1U A UAx Bx A 1B A Bx 0 8148x 1 44441 2222 0 40741 66672 0000 1 00002 3333 0 59260 22221 8889 0 2963A xA xans 1ans 47521473526 2 6 2过限定系统各种曲线拟合的过程中经常遇到过限定系统的线性方程组 MATLAB将两组数据保存在列矢量t与列矢量y中 Eg t 00 30 81 11 62 3 y 0 820 720 630 600 530 50 认为这组数据大概在如下一个衰减的指数函数曲线上y t C1 C2e ty是两个矢量的线性组合 一个是常数C1 另一个是e t 将数据代入函数y t C1 C2e t得到六个含有两个未知数的等式 将这些数据表示成一个六行两列的矩阵E 把未知参数看作一个矢量c的两个元素方程组为Ec y 解 t 00 30 81 11 62 3 y 0 820 720 630 600 530 50 E ones size t exp t E 1 00001 00001 00000 74081 00000 44931 00000 33291 00000 20191 00000 1003c E yc 0 47600 3413E cans 0 81730 72880 62930 58960 54490 5102 4 2曲线拟合 一 回归法曲线拟合曲线拟合需要从一些离散的数据中推导出两者之间的数学解析关系 而数据插值是通过原始数据计算一些新的离散数据点 曲线拟合的结果一般为一个或者多个数学解析关系 利用这些解析关系能够对数据进行一定的推断 准确的曲线拟合结果可以用来进一步评估 验证实测的数据 利用MATLAB进行曲线拟合主要有两种方法 回归法拟合和多项式拟合 t 00 30 81 11 62 3 y 0 50 821 141 251 351 40 采用多项式y a0 a1t a2t2解线性方程Y XAA X Yx ones size t tt 2 x 10010 30 0910 80 6411 11 2111 62 5612 35 29 a x Ya 0 53180 9191 0 2387 这个二次多项式函数为 y 0 5318 0 9191t 0 2387t2T 0 0 1 2 5 Y ones size T TT 2 aplot T Y t y o gridon 2 采用一个带有线性参数的指数函数y a0 a1e t a2te tx ones size t exp t t exp t a x Ya 1 3974 0 89880 4097因此数据的拟合函数为y 1 3974 0 8988e t 0 4097te t T 0 0 1 2 5 Y ones size t exp T T exp T a plot T Y t y o gridon例 t 0 3 81 11 62 3 y 0 50 821 141 251 351 40 plot t y r gridon X ones size t tt 2 X 1 0000001 00000 30000 09001 00000 80000 64001 00001 10001 21001 00001 60002 56001 00002 30005 2900 A X yA 0 53180 9191 0 2387这样得到的多项式应该为y 0 5318 0 9191t 0 2387t2为了验证结果 可以进一步进行计算 T 0 0 1 2 5 Y ones size T TT 2 A plot T Y t y o gridon legend Fitting Origin 除了多项式以外 还可以猜测原始数据的多项式是由指数函数组成的 于是 为了求得系数 可以在MATLAB的命令行中键入下面的指令 X ones size t exp t t exp t X 1 00001 000001 00000 74080 22221 00000 44930 35951 00000 33290 36621 00000 20190 32301 00000 10030 2306左除 A X yA 1 3974 0 89880 4097这样得到的多项式应该为为了验证这次得到的结果 可以进一步计算 T 0 0 1 2 5 Y ones size T exp T T exp T A plot T Y t y o gridon legend Fitting Origin 二 多项式曲线拟合根据一组已知的自变量和函数的值 应用最小二乘法求出多项式的拟合曲线polyfitp polyfit x y n x已知自变量的取值y相应的函数值n为多项式的次数Eg x 12345 y 6 543 1128290 7498 4 求一个三次多项式与这组数据拟合p polyfit x y 3 x2 1 0 1 5y2 polyval p x2 plot x y o x2 y2 gridon 001 CURVE FIT多项式拟合计算示例002 准备原始数据003x 0 1 10 004y sin x cos 2 x 005 5次多项式拟合006k5 polyfit x y 5 007y5 polyval k5 x 008 11次多项式拟合009k11 polyfit x y 11 010y11 polyval k11 x 011 绘制数据曲线012plot x y g x y5 r x y11 b 013 标注014title CurveFitting Fontsize 14 015legend OriginalCurve 5thorder 11thorder 4 016set findobj Type line LineWidth 2 4 3数据插值 插值就是在已知数之间寻找估计值 1 多项式插值格式 yi interp1 x y xi method xi用于插值的点method指定插值的方法 method可以为插值计算指定相应的算法 为字符串类型 其取值可以为nearest linear spline cubic pchip v5cubic 插值方法 1 邻近插值 在已知数据最邻近的点设置插值 2 线性插值 默认 在已知的成对数据点与离散函数之间进行拟合 返回xi指定的相应的数值 3 三次样条插值 采用一个三次函数对已知数据进行拟合 返回xi的函数值 Eg t表示1900 1990年人口普查年 每10年普查一次 p为当年人口数量t 1900 10 1990p 75 99591 972105 711123 203131 669150 697179 323203 212226 505249 633 interp1 t p 1975 ans 214 8585x 1900 1 2000y interp1 t p x spline plot t p o x y 001 INTERP EX1一维插值计算示例002 准备数据003x 0 10 004y cos x 005 插值点006xi 0 0 2 10 007 进行插值运算008yin interp1 x y xi nearest 009yic interp1 x y xi cubic 010 绘制结果011plot x y o xi yin xi yic 012legend origin nearest cubic 013title 一维插值计算示例 001functioncompare interp 002 COMPARE INTERP不同插值运算的比较003004 原始数据005 x y meshgrid 3 1 3 006z peaks x y 007figure 1 clf008surfc x y z 009title 原始数据 010 进行插值运算011 xi yi meshgrid 3 0 25 3 012zi1 interp2 x y z xi yi nearest 013zi2 interp2 x y z xi yi linear 014zi3 interp2 x y z xi yi cubic 015zi4 interp2 x y z xi yi spline 016 通过可视化结果比较017figure 2 018subplot 2 2 1 surf xi yi zi1 019title 二维插值 nearest 020subplot 2 2 2 surf xi yi zi2 021title 二维插值 linear 022subplot 2 2 3 surf xi yi zi3 023title 二维插值 cubic 024subplot 2 2 4 surf xi yi zi4 025title 二维插值 spline 026 可视化结果027figure 3 028subplot 2