素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0304.doc

2003年第 4期数学通报 数学问题解答 2003年 3月号问题解答 a (解答由问题提供人给出 ) B、C的对应边为 a、b、c,求证 : 1 -sinA 1421锐角 ABC中 ,求证 :cos(A-B) cos(B-+ 1 -b sin B+ 1 -c sin C 18 + 12 3.(1) C) cos(C-A) 8cosA cosB cos C. (安徽省南陵县工山二中邹守文 242418)(深圳大学附中王扬 518054)引理 1设 x、y、z,a、b、c R ,且 a+b+ 证明在三角形中有恒等式 : 3 33 tanA tanB tan C= tanA+ tanB+ tan C.c=x+y+z = 1 ,求证 :x 2 + yb2 +z 2 1.(2)ac 所以 cos(B-C) = sinB sin C+ cosBcos C x 3 y 3 cosA sinB sin C-cosBcos C 证明因为 2 3 x. b2 +b tanBtan C+ 1 a = 3 tanBtan C-1 z 2 tanAtanBtan C+ tanAc = tanAtanBtan C-tanA 这三式相加 ,并注意条件便得结论 .33 = 2tanA+ tanB+ tan C 推论设 x、y、z,a、b、c R+,则 x 2 + 2 + a同理 cos(C-A) = z 32 (x + y +z) 3 (3)c (a+b+c) 2 cos(A tanA+ tanB证明略 :令 x= 2tanA+ tanB+ tan C,y= tanA+ 引理 2设 A、B、C均为 (0 ,)内的角 ,则 sinA+ sin B+ sin C A+B+C 2tanB+ tan C,z = 2tan C+ tanA+ tanB,sin (4)33cos(B-C) 2 x则 cosA =y+z -x, 这是熟知的结论 .cos(C-A) 2 y 下面证明 (1):cosB =z+x -y, 由正弦定理知 ,原不等式 (1)等价于 cos(A-B) 2z sinA sin B sin C=,+ 9 + 63.(5)cos C x+y -z 1 -sinA 1 -sin B 1 -sin C 于是 cos(A-B) cos(B-C) cos(C-A) A B cosA cosB cos C由角变换 A 2 -2 ,B 2 -2 ,C 8 xyz = (x+y -z)( y+z -x)( z+x -y) -C,知 (3)等价于 22 所证不等式等价于 : ABC (x+y-z)( y+z-x)( z+x-y) cos cos cos 222 xyz ( 3 )A+B+C 9 + 63.因为 x+y -z 0 ,y+z -x 0 ,z+x -y 0.1 -cos 2 1 -cos 2 1 -cos 2 所以 (x+y -z)( y+z -x) x+y -z+y+z -x = y 1 -2sin2 A 1 -2sin2 B 2 (y+z -x)(z+x -y) z, (z+x -y)(x+y -z) 即 A 4 +B 4 + 2sin2 2sin2 x44 以上三式相乘 ,有 1 -2sin2 C 4(x +y -z)( y+z-x)( z+x -y) xyz. C 式成立 .( 3 )2sin2 4 9 + 63.从而所证成立 .由证明过程知当且仅当 111 ABC为正三角形时取等号 . 即 A+B+ C 24 + 12 1422在锐角 ABC中 ,外接圆半径 R= 1 , A、 sin2 4 sin2 4 sin2 4 2003年第 4期数学通报48 由 (3)及 (4)知 111 +ABCsin2 sin2 sin2 444 (1 + 1 + 1) 3 ABC( sin + sin + sin ) 2 444 27 A+B+C = 24 + 12 3.证毕 .sin2 12 其实 ,上面的证明也不是特别的简洁 ,但我们的引理 1及其推论是十分有趣的 ,且还可将其推广到多个变量的情形 :设 ai , xi R+(i = 1 ,2 , ,k) ,n N,则k xi) n+1 n+1 ( x in i= 1 k. (6) ki=1 ai ( ai) n i= 1 的等腰直角 上 , AB C的三个顶点分别在正 GHI的三边上 ,且所有顶点均不重合 .设ABC的面积为 S, DEF面积的最小值为 S1 , GHI面积的最大值为 S2 ,求证 :S2 = S1 S2 (江苏盐城师院附中曹大方 224002)证明设 AB = 2 a,正 DEF的边长为 x, CFE = ,则 AFD = 120-, DEB = 30 +,在 ADF与 DB E中 ,由正弦定理 ,易求得 AD = 2 xsin (120-) ,DB = 2 xsin (30+),所以 AB =AD +DB = 2 xsin (120-)+ 2 x sin (30+ )= 2 a,解得 a x= = sin (120-)+ sin (30+ ) 2sin75cos45-) a 2sin75(当且仅当 = 时取等号 ),所以 S1 = 22 a 3 a = 4 2sin75 16sin275 在展开式 (1 +x+x2 + +x2001) 2002 =a0 + a1 x+a2 x 2 + +a4006002 x 4006002中 :取 x=w1 = 1得 :a0 +a1 w1 +a2 w12 + 4006002 20022002+a4006002 w1 =;取 x = wk+1 (k = 1 ,2 , ,2001)得 :a0 +a1 wk +1 + 2 3 4006002 a2 wk+1 +a3 w k+1 + +a4006002 wk+1 = 0.对 k= 0、1、2、2001将上述各式对应相加得 :2002 a0 +a1 (w1 +w2 + +w2002) +a2 (w12 2 2 2002 2002+w2 + +w2002)+ +a1 2002 (w1 +w2 + 2002) 2003 2003 +w2002 +a2003 (w1 +w2 + + 2003) 2001 2002 2001 2002 w2002 + +a20012002 (w1 +w2 + 2001 2002) 20022002 +w2002 = 20012002 = 的面或一个发出三条棱的顶点 ,并且三角形面数与发出三条棱的顶点数之和至少等于 8. (山东省汶上县第一中学张宪铸272500)证明假设简单多面体中全没有三角形的面 ,且没发出三条棱的顶点 ,即其每个面的边数大于等于 4 ,且每个顶点发出的棱数大于等于 4.不妨设简单多面体中 i边形的面数有fi个 ,发出 i条棱的顶点数有 Vi个 (i = 3、4、5 )当每个面的边数大于等于 4时 ,则有 : f 4 +f 5 +f 6 + =总面数 F.因每相邻两个面的两条边重合为一条棱 ,于是对于简单多面体中棱数 E与面数 F有关系式 : 2 E= 4f 4 + 5f 5 + 6f 6 + 4f 4 + 4f 5 + 4f 6 + = 4 (f 4 +f5 +f 6 + )= 4 F.所以F 21 E(1)当每个顶点发出的棱数大于等于 4时 ,有 : V4 +V5 +V6 + =总顶点数 V.因每相邻两个顶点发出的两条棱重合为一条棱 ,于是简单多面体中棱数 E与顶点数 V有关系式 :2 E= 4V4 + 5V5 + 6V6 + 4V4 + 4V5 + 4V6 + = 4 (V4 +V5 +V6 + ) 即V 12 E+ 14 V3 (4) (3)、(4)代入欧拉公式得 11 112 =V+F-E E+ V3 + E+ f3 -E24 24 1 = (f 3 +V3)4 所以f 3 +V3 8即简单多面体中三角形的面数与发出三条棱的顶点数之和至少等于 8 ,命题得证. 2003年 4月号问题 (来稿请注明去处 编者) 1426AN是AB C的角平分线 , AN延长线交 AB C的外接圆于 D,M是 AN上任一点 ,直线 BM , CM分别交 AB C的外接圆于 E, F,DF交 AB于 P, DE交 AC于 Q,求证 : P, M , Q三点共线. (江西省宜丰县二中龚浩生336300) 1427ai(i = 1 ,2 , , n)为任意一列有序实数 ,且 a12 -a22 =a22 -a32 = =a 2 n-1 -a 2 n.求证 :a21 +a 22 + +a 2 n= 12 n( a 21 +a 2 n) (湖北省恩施市舞阳中学曾山445000) 1428对于卢卡斯数列L n :L1 = 1 ,L2 = 3 ,L n+2 = Ln+1 +L n(n = 1 ,2 , )求证 :n为奇数时 , arccotLn-1 arccotLn arccotL n+1(n 3) (湖南省常德英语实验中学李晓渊415000)(下转 35页) 2003年第 4期数学通报圆锥曲线焦点弦的一个性质廖应春 (重庆市求精中学400015)笔者在利用几何画板探索圆锥曲线的性证明如图 ,设圆锥质时 ,发现圆锥曲线的焦点弦和准线间存在一个ep 有趣性质 ,在此给出 ,共大家分享 .曲线为 = 1 -ecos,点 我们先看一个引理 :A(1 ,1) ,B ( 1 ,1 + ), 引理在极坐标系中 ,设 A(1 ,1) ,B(2 , C(2 ,2) ,D( 2 ,2 + ).ep 则由引理知 :2)是圆锥曲线 = 1 -ecos上任意两点 ,则直直线 AC的方程为 : 线 AB的方程为 : 1 +1 -2cos1 + 2 1 -2 22cos (-)-ecos cos= 22 1 -2 1 -2 2 , 2 epcos 2 .直线 BD的方程为 : 1 + + 2 + cos(-)2 sin (1 -2) sin ( -2) 1 -2 1 -2 2 1 22+( 3 )即 e: cos cos = epcos 因为 A(1 ,1)、B(2 ,2)在圆锥曲线 = -cos( 1 +2 -)-ecos 1 -2cos= 22ep 1 -ecos上 ,epcos 1 -2 2ep ep 所以 1 = 1 -ecos1 ,2 = 1 -ecos2 , +得 : 代入 ( 3 )式 ,整理得 : cos =-p,此为圆锥曲线的准线方程 .epsin (1 -2)= sin (1 -)+ sin (-2) 所以点 M的轨迹是圆锥曲线的准线 .-esin (1 -) cos2 -esin ( -2) cos1 显然 ,直线 AD , BC交点的轨迹仍是圆锥曲线化简即得 : 的这条准线 .此定理反映了圆锥曲线焦点弦与准线间的关cos ( 1 + 2 2 -)-ecos 12 -2cos= 系.特别地 ,当焦点弦 AB , CD重合时 (点 A与点 1 -2 C,点 B与点 D重合 ),直线 AC, BD退化为圆锥曲epcos 2 .线的两切线 .定理设 AB , CD是圆锥曲线过焦点 F的两推论设 AB是圆锥曲线的动焦点弦 ,过弦动弦 ,弦端点连线 AC, BD交于点 M,则动点 M的端点 A、B分别作圆锥曲线的切线 ,则两切线交点轨迹是圆锥曲线的相应准线 .的轨迹是圆锥曲线的准线 . (上接封三 ) 1429O为锐角 ABC的外心 ,R,R1 ,R2 ,R