C07 应力状态2.ppt

7 3三向应力状态 对于受力物体内一点处的应力状态 最普遍的情况是所取单元体三对平面上都有正应力和切应力 而且切应力可分解为沿坐标轴方向的两个分量 7 3 1概念 x平面上有正应力sx 切应力txy 和txz 切应力的两个下标中 第一个下标表示切应力所在平面 第二个下标表示切应力的方向 同理y平面上有正应力sy 切应力tyx 和tyz z平面上有正应力sz 切应力tzx 和tzy 7 3三向应力状态 在一般的空间应力状态的9个应力分量中 根据切应力互等定理 在数值上有txy tyx txz tzx tyz tzy 因而 独立的应力分量是6个 即sx sy sz txy tyz和tzx 对于危险点处于空间应力状态下的构件进行强度计算 通常需确定其最大正应力和最大切应力 弹性理论证明 图示单元体内的最大正应力为 最大切应力为 最大切应力所在的截面与 2所在的主平面垂直 并与 1和 3所在的主平面成45 角 s1 s2 x y z O s1 s2 s3 例 单元体的应力如图所示 求主应力和最大切应力及其作用面方位 x y z 20MPa 40MPa 20MPa 20MPa 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z无关 解 该单元体有一个已知主应力 三个主应力按其代数值的大小顺序排列为 根据上述主应力 求出最大切应力为 7 4应力与应变的关系 7 4 1单轴应力状态下应力与应变的关系 7 4 2纯剪切应力状态下应力与应变的关系 横向应变与纵向应变间有关系 7 4 3三向应力状态下应力与应变的关系 对于各向同性材料 沿各方向的弹性常数E G m均分别相同 在线弹性范围 小变形条件下 沿坐标轴 或应力矢 方向 正应力只引起线应变 而切应力只引起同一平面内的切应变 处于空间一般应力状态下的单元体 因同时受到正应力和切应力的作用 将同时产生线应变和切应变 sx单独存在时 sy单独存在时 sz单独存在时 x方向的线应变 在sx sy sz同时存在时 x方向的线应变ex为 用叠加原理 分别计算出sx sy sz单独存在时x y z方向的线应变ex ey ez 然后代数相加 在sx sy sz同时存在时 y z方向的线应变ex为 切应变gxy gyz gzx与切应力txy tyz tzx间的关系为 一般空间应力状态下 在线弹性范围内 小变形条件下各向同性材料的广义胡克定律 7 4 3三向应力状态下应力与应变的关系 平面应力状态下 假设 z 0 xz 0 yz 0 若已知空间应力状态下单元体的三个主应力 则沿主应力方向只有线应变 而无切应变 与主应力s1 s2 s3相应的线应变分别记为e1 e2 e3 称为主应变 主应变为一点处各方位线应变中的最大与最小值 在已知主应力的平面应力状态下 在线弹性范围内 由于各向同性材料的正应力只引起线应变 因此 任一点处的主应力指向与相应的主应变方向是一致的 7 4 3三向应力状态下应力与应变的关系 材料的三个弹性常数E G和m间存在着如下关系 7 4 3三向应力状态下应力与应变的关系 例 已知一受力构件自由表面上的两个主应变数值为e1 240 10 6 e3 150 10 6 构件材料为Q235钢 其弹性模量E 210GPa 泊松比m 0 3 求该点处的主应力值 并求该点处另一主应变e2的数值和方向 解 主应力s1 s2 s3与主应变e1 e2 e3一一对应 在构件自由表面上主应力s2 0 该点为平面应力状态 该点处另一主应变e2的数值为 主应变e2是缩短 其方向必与e1和e3垂直 即沿构件表面的法线方向 例 一直径d 20mm的实心圆轴 在轴的的两端加转矩m 126N m 在轴的表面上某一点A处用变形仪测出与轴线成 45 方向的应变 5 0 10 4 试求此圆轴材料的剪切弹性模量G m m A 45 x 解 包围A点取一单元体 例 边长a 0 1m的铜立方块 无间隙地放入体积较大 变形可略去不计的钢凹槽中 如图 已知铜的弹性模量E 100GPa 泊松比m 0 34 当受到F 300kN的均布压力作用时 求该铜块的主应力及最大切应力 a 0 1m E 100GPa m 0 34 F 300k