3.1.1复数.ppt

第三章数系的扩充与复数的引入 3 1数系的扩充和复数的概念 3 1 1数系的扩充和复数的概念 数系中发现一颗新星 虚数 于是引起了数学界的一片困惑 很多大数学家都不承认虚数 德国数学家莱布尼茨 1646 1716 在1702年说 虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所 它大概是存在和虚妄两界中的两栖物 法国数学家棣莫佛 1667 1754 在1730年发现公式了 这就是著名的棣莫佛定理 欧拉在1748年发现了有名的关系式 并且是他在 微分公式 1777年 一文中第一次用i来表示一1的平方根 首创了用符号i作为虚数的单位 虚数 实际上不是想象出来的 而它是确实存在的 挪威的测量学家成塞尔 1745 1818 在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释 并首先发表其作法 然而没有得到学术界的重视 德国数学家高斯 1777 1855 在1806年公布了虚数的图象表示法 即所有实数能用一条数轴表示 同样 虚数也能用一个平面上的点来表示 在直角坐标系中 横轴上取对应实数a的点A 纵轴上取对应实数b的点B 并过这两点引平行于坐标轴的直线 它们的交点C就表示复数a bi 象这样 由各点都对应复数的平面叫做 复平面 后来又称 高斯平面 高斯在1831年 用实数组 a b 代表复数a bi 并建立了复数的某些运算 使得复数的某些运算也象实数一样地 代数化 他又在1832年第一次提出了 复数 这个名词 还将表示平面上同一点的两种不同方法 直角坐标法和极坐标法加以综合 统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中 并把数轴上的点与实数 一对应 扩展为平面上的点与复数 一对应 高斯不仅把复数看作平面上的点 而且还看作是一种向量 并利用复数与向量之间 一对应的关系 阐述了复数的几何加法与乘法至此 复数理论才比较完整和系统地建立起来了 经过许多数学家长期不懈的努力 深刻探讨并发展了复数理论 才使得在数学领域游荡了200年的幽灵 虚数揭去了神秘的面纱 显现出它的本来面目 原来虚数不虚呵 虚数成为了数系大家庭中一员 从而实数集才扩充到了复数集 1 复数的概念及代数表示法 1 定义 我们把集合C a bi a b R 中的数 即形如a bi a b R 的数叫做 其中i叫做 全体复数所组成的集合C叫做 规定i i 1 2 表示 复数通常用字母z表示 即z a bi a b R 这一表示形式叫做复数的 对于复数z a bi 以后不作特殊说明 都有a b R 其中的a与b分别叫做复数z的 与 复数 虚数单位 复数集 代数形式 实部 虚部 复数m ni的实部 虚部一定是m n吗 提示 不一定 只有当m R n R时 m n才分别是该复数的实部 虚部 做一做1 1 1 i的实部与虚部分别是 A 1 B 1 0 C 0 1 D 0 1 i 解析 1 i可以看作是0 1 i 所以其实部与虚部分别为0 1 故 选C 答案 C 做一做1 2 以3i 的虚部为实部 以 3 i的实部为虚部的复数是 A 3 3iB 3 i C iD i 解析 3i 的虚部为3 3 i的实部为 3 所求复数为3 3i 故选A 答案 A 2 复数相等的充要条件 在复数集C a bi a b R 中任取两个数a bi c di a b c d R 我们规定 a bi与c di相等的充要条件是 应用两复数相等的充要条件时 首先要把 左右两边的复数写成代数形式 即分离实部与虚部 然后列出等式求解 a c且b d 做一做2 满足x y x y i 2的实数x y的值为 A B C D 解析 由得故选B 答案 B 3 复数的分类 1 对于复数a bi 当且仅当b 0时 它是 当且仅当 时 它是实数0 当b 0时 叫做 当a 0且b 0时 叫做 这样 复数z a bi a b R 可以分类如下 复数a bi a b R 实数 a b 0 虚数 纯虚数 2 集合表示 实数集R是复数集C的真子集 即R C 至此 我们学过的有关数集的关系为 N N Z Q R C 做一做3 1 下列命题中的假命题是 A 自然数集是非负整数集 B 实数集与复数集的交集为实数集 C 实数集与虚数集的交集是 0 D 纯虚数与实数集的交集为空集 解析 本题主要考查复数集合的构成 即复数的分类 复数可分为实数和虚数两大部分 虚数中含有纯虚数 因此 实数集与虚数集没有公共元素 故选项C中的命题是假命题 答案 C B 必要条件但不是充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 由复数的概念知 若a bi为纯虚数 则必有a 0成立 故为必要条件 但若a 0且b 0 则a bi 0为实数 故不是充分条件 选B 答案 B 做一做3 2 a 0是复数z a bi a b R 为纯虚数的 A 充分条件但不是必要条件 1 数系扩充的一般原则是什么 剖析 数系扩充的脉络是 自然数系 整数系 有理数系 实数系 复数系 用集合符号表示为N Z Q R C 从自然数系逐步扩充到复数系的过程可以看出 数系的每一次扩充都与实际需求密切相关 数系扩充后 在新数系中 原来规定的加法运算与乘法运算的定律仍然适用 加法和乘法都满足交换律和结合律 乘法对加法满足分配律 一般来说 数的概念在扩大时 要遵循如下几项原则 1 增添新元素 新旧元素在一起构成新数集 2 在新数集里 定义一些基本关系和运算 使原有的一些主要性质 如运算定律 依然适用 3 旧元素作为新数集里的元素 原有的运算关系保持不变 4 新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾 1 它的平方等于 1 即i2 1 2 i与实数之间可以运算 亦适合加 减 乘的运算律 由于i2 0与实数集中a2 0 a R 矛盾 所以实数集中的很多结论在复数集中不再成立 注意 复数没有大小之分 但有等与不等之分 2 如何理解虚数单位i的性质 剖析 在实数集中 有些方程是无法解决的 例如x2 1 0 为解决解方程的需要 人们引进一个新数i 叫做虚数单位 且规定 3 准确把握复数集内各子集间的关系 有利于对复数概念的理解 3 如何理解应用复数的分类 剖析 1 复数写成代数形式z a bi a b R 后 才可以根据实 虚部分类 2 各类特殊的复数可由实部 虚部所满足的条件确定 应用时由此列出方程或不等式 组 即可 例题1 判断下列说法是否正确 1 当z C时 z2 0 2 若a R 则 a 1 i是纯虚数 3 若a b 则a i b i 分析 解答本题要严格按照复数的有关概念和性质进行 解 1 错误 当且仅当z R时 z2 0成立 若z i 则z2 1 0 2 错误 当a 1时 a 1 i 1 1 i 0 i 0 R 3 错误 两个虚数不能比较大小 4 错误 当且仅当x y R时 x y才是x yi的实部和虚部 此时 x yi 1 i的充要条件才是x y 1 反思 数集从实数集扩充到复数集后 某些结论不再成立 如 两数大小的比较 某数的平方是非负数等 但i与实数的运算及运算律仍成立 例题2 已知M 1 m2 2m m2 m 2 i P 1 1 4i 若M P P 求实数m的值 分析 M P P M P m2 2m m2 m 2 i 1或4i 列方程组可求得m的值 解 M P P M P m2 2m m2 m 2 i 1或 m2 2m m2 m 2 i 4i 由 m2 2m m2 m 2 i 1 得解得m 1 由 m2 2m m2 m 2 i 4i 得 解得m 2 综上可知实数m的值为1或2 反思 1 一般地 两个复数只能相等或不相等 不能比较大小 2 复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据 是复数问题 实数化的桥梁 例题3 当实数m为何值时 复数z m2 2m i为 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 分析 根据复数的分类标准 列出方程 不等式 组 解出m 结论 解 1 当即m 2时 复数z是实数 2 当m2 2m 0 即m 0且m 2时 复数z是虚数 3 当即m 3时 复数z是纯虚数 反思 利用复数的代数形式对复数分类时 关键是根据分类标准列出实部 虚部应满足的关系式 等式或不等式 组 求解参数时 注意考虑问题要全面 例题4 已知x是实数 y是纯虚数 且满足 2x 1 3 y i y i 求x和y的值 错解 由复数相等的充要条件 得解得 错因分析 在两个复数相等的充要条件中 注意前提条件是a b c d R 即当a b c d R时 a bi c di的充要条件是a c b d 这里的2x 1和3 y不是复数 2x 1 3 y i的实部和虚部 不能直接利用复数相等的充要条件来解 需要先把复数的实部和虚部分离出来 再利用复数相等的充要条件 化复数问题为实数问题 正解 由y是纯虚数 可设y bi b R且b 0 则 2x 1 3 bi i bi i 整理 得 2x 1 b 3i b 1 i 由复数相等的充要条件 得 解得所以x y 4i 反思 解决此类问题时 首先要明确条件中的字母所代表的意义 不明确时 一定要注意设出相关的复数形式 满足复数相等的前提条件后 再根据复数相等的充要条件建立方程 组 求解 1有下列四个命题 1 方程2x 5 0在自然数集N中无解 2 方程2x2 9x 5 0在整数集Z中有一解 在有理数集Q中有两解 3 x i是方程x2 1 0在复数集C中的一个解 4 x4 1在实数R中有两解 在复数集C中也有两解 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析 1 方程的解为x N 故 1 正确 2 方程的解为x1 Q x2 5 Z Z Q 故 2 正确 3 i2 1 x i是方程x2 1 0在复数集C中的一个解 故 3 正确 4 x4 1在复数集C中的解的个数为4 故 4 不正确 答案 C 2z m2 1 m 1 i m R 是纯虚数 则有 A m 1B m 1 C m 1D m 1 解析 z是纯虚数 解得 m 1 故选B 答案 B 3设C 复数 A 实数 B 纯虚数 全集U C 那么下面结论正确的是 A A B C B UA B C A UB D B UB C 解析