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文档简介

4 5QR方法 QR方法是一种变换方法 是计算一般矩阵全部特征值以及特征向量的最有效的方法之一 主要用来计算Hessenberg阵的全部特征值和对称三角阵的全部特征值 对于一般矩阵A 先用household变换将其约化为Hessenberg矩阵或是对称三对角矩阵B 然后用QR方法计算B的全部特征值 理论依据 任一实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积 而且当R的对角元符号取定时 分解是唯一的 4 5 1基本QR方法 一个结论 什么时候停止迭代 迭代步数k充分大时 由迭代格式产生的Ak的次对角元趋于0 在实际计算中 控制迭代次数常用的一种办法是 预先给定一个小的正数 在一个迭代步的计算结束后 对i n 1 n 2 1 依次判别次对角元的绝对值是否满足 或更严格的准则是或不太严格的准则是 如果上面三个不等式中有一个成立 把看做实际上为零 直到Ak 1收敛到一个拟上三角阵 QR迭代算法 计算矩阵的所有特征值和特征向量计算过程 1 令A1 A 2 对k 1 2 计算Ak的QR分解计算直到Ak 1收敛到一个拟上三角阵 证明 Th4 11在QR算法中 有 4 5 2QR方法的收敛性 引理 继续这一过程 定义4 5由QR算法产生 如果当 时 收敛于分块三角矩阵 则算法QR是收敛的 趋于分块上三角形式 其对角块为一阶或者二阶 若 子块 即 的对角线下方趋于0 则称算法是本质或者 基本收敛 定理4 12 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法 计算量大 而且收敛速度慢 因此实际使用的QR方法是先用一系列矩阵相似变换将A约化成拟上三角矩阵 称为上Hessenberg矩阵 然后对此矩阵用基本QR方法 因为拟上三角矩阵具有较多零元素 故可减少运算量 化A为相似的拟上三角阵的方法有多种 4 5 3 带原点移位的QR方法 4 5 4 单步QR方法计算上Hessenberg矩阵特征值 例试用带平移量
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