线性微分方程通解和特解的直接解法.pdf

第1 5 卷第2 期 2 0 1 0 甘音高旰彳拒V o I 1 5N o 2 2 0 l O 一类常系数非齐次线性微分方程通解和 特解的直接解法 温大伟陈莉王红芳魏瑾 兰州城市学院数学学院 甘肃兰州7 3 0 0 7 0 摘要 提出了求常系数非齐次线性微分方程通解和特解的新方法 先根据方程的结构和特点 令出它的形 式解并代入方程 再根据特征根的不同 直接求出方程的通解和特解 关键词 非齐次线性微分方程 通解 特解 特征根 中图分类号 0 1 7 5 0 8文献标识码 A文章编号 l 0 0 8 9 0 2 0 2 0 l O 0 2 0 0 4 0 2 众所周知 n 阶常系数非齐次线性微分方程的 通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个 特解之和 如果能够找出对应齐次方程的通解 那么 我们面临的任务就是寻求非齐次方程的一个特解 我们一般常用升阶法l 降阶法 2 t 4 l 算子法 3 公式解 法阁 常数变易法 又名拉格朗日法 同 待定系数法闷 拉普拉斯变换法门 比较系数法1 7 J 等许多方法先求出 特解再求通解 本文则给出了特殊情形的通解和特 解的直接求法 此方法比较简洁 便于计算 考虑如下形式的微分方程 广 p 叼瑚茗 1 其中p g 为不全为零的常数且及菇 o 首先 考虑 八菇 P m 髫 e h 的情形 其中入是常 数 P m 石 是关于戈的一个m 次多项式 R 菇 a o a 口 A 1 儡 l 戈 儡 我们来考虑怎样的函数可能满足方程 1 因为 菇 是多项式P m z 与指数函数e h 的乘积 而多项 式与指数函数的乘积之导数仍然是同一类的函数 根据方程的结构和特点直接令 茗沁缸 其中 Q 础 髫 6 6 1 6 m 菇 6 枷 是方程解 把 代入方程 然后考虑能否适当选取多项式 Q 们 菇 使y Q 相 髫 e h 满足方程 1 为此将 y Q 砘 髫 e h A Q 2 菇 Q 枷7 髫 e h 铆 A2 Q 相 髫 2 A 髫 Q 叶2 龙 e h 代人方程 1 并消去e h 得 Q 肼2 2 A p Q 肿2 A M g Q 肼2 茗 以 石 上式两端比较z 的同次幂系数得 6 0 入2 p A g o I m 2 6 0 纵 p 6 I 入2 p A g 0 l n 2 n 1 6 0 6 l 雄 1 2 A p 6 2 入1 p A q 氇 m 1 曲l 6 2 m 2 A p 6 3 入2 p A g 铷l f 6 6 卅 I 2 6 2 A p 6m l 入2 p A g l 1 6 6 m l 2 A p 帅 2 入2 p A q 2 1 当入为特征方程的二重特征根时 2 A p 0 舻 p A g o 代入方程组 2 可知 6 庐面裔蒜酊 6 l 赤 6 l 孚 6 确 则原方程的通解直接为 产 而豸舞酊矿 T 著l i 嘶2 嘶 C 2 l e h 其中6 l C 6 舻G 为任意常数 2 当入为特征方程的单根时 2 入 p O 入2 印A g O 代入方程组 2 可知 6 庐0 6 丽南斥甓篆皆 6 庐锦h F 器 收稿日期 2 0 1 伽l l O 作者简介 温大伟 1 9 7 7 一 男 甘肃天水人 讲师 研究方向 微分方程 4 万方数据 第1 5 卷第2 期 2 0 1 0 温大伟等 一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的直接解法v 0 1 1 5N o 2 2 0 l O 则原方程的特解直接为 一面秀趁面厂1 雩高骞 6 旷 其中6 和 3 当A 不是特征根时 2 入 p O 入砷入 口 0 代人方程组 2 可知 6 0 0 6 m 6 产赤 6 3 号掣 6 舻 虻垒c 墨型d 至叁塑 A q p A g 则原方程的特解直接为 产 裔加 型惫嫣丝l e 例l 求方程广一巧 坷 e 的通解 解方程对应齐次方程的特征方程为A 2 2 A l O 可知A l 为二重特征根 尸m 戈 l 则令Q 棚 茗 6 庐2 6 龙 6 e 代人方程 消去e 比较菇的同次幂 系数得6 0 因此方程的通解直接为产 菇2 C 佛 c 2 e 其中6 l C 6 2 C 2 为任意常数 例2 求方程广一5 何 e 扛的特解 解方程对应齐次方程的特征方程为A z 一 5 A 6 0 可知A 2 为单根 P m 算 l 则令9 肼2 戈 6 萨2 6 6 2 e 厶代入方程 消去e 知比较茗的同次幂 系数得6 庐0 6 l 一1 因此方程的特解直接为y 叫e 厶 其中6 2 0 例3 求方程广一5 7 忙e 知的特解 解 方程对应齐次方程的特征方程为 A 2 5 A 0 可知A 3 不是特征根 P m z l 则令 Q 们 聋 6 矿 6 佛 6 e 缸代人方程 消去e 玉比较石 的同次幂系数得6 o 6 1 D 6 乒一 因此方程的特 解直接为y 一 e 知 Z 综上所述 可见本文的方法简便易行 对 八并 e 讹 戈 c o 蝴 只 茗 s i 蝴 其中A 是常数 只 算 只 石 分别是关于戈的Z 次 1 次多项式 其中一个可 为零 的类型 利用叠加原理 根据特征根的不同 也 可直接算出通解和特解 此方法也可推广到高阶常 系数非齐次线性微分方程 参考文献 l 朱灵 用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特 解 J 高等数学研究 2 0 0 2 2 1 7 一1 9 2 张菁 一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求 解方法 J 高等数学研究 2 0 0 8 l l 3 2 4 2 6 3 徐千里 一类常系数非齐次线性微分方程的通解叨 数 学理论与应用 2 0 0 0 2 0 4 3 2 3 4 4 余智君 二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易 求解法 J 重庆工学院学报 2 0 0 8 2 2 8 8 5 8 6 1 1 1 5 王李 常系数非齐次线性微分方程的公式解法叨 海南 大学学报 1 9 9 9 1 7 3 2 9 2 2 9 4 6 东北师范大学数学系微分方程教研室编 常微分方 程 M 北京 高等教育出版社 1 9 8 2 1 3 6 1 6 8 7 王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松 常微分方程 M j 匕 京 高等教育出版社 1 9 7 8 1 2 5 1 3 5 AC l a s so fC o 砸t a n tC o e m c i e n tN o n h o m o g e n e o 吣L i n e a rD i f f e r e n t 谢 E q u a t i o n l i t hG e n e r a lS o l u t i o na n dS p e c i a lS o l u t i o no ft h eD i r e c tM e t h o d W E ND e iC H E NL iW A N GH o n 咖gW E I 矗n C o l l e g eo fM a t h e m a t i c s L a n z h 叫C i t yU n i v e r s 畸 h 肥h o uG 锄s u7 3 0 0 7 0 A b s t m c t 1 1 l ec o n s t a I l tc o e 娲c i e n tn o n h o m o g e n e o u 8l i n e 盯d i 骶r e n t i a le q I I a t i o n 诵t l l 伊n e r a lB o l u t i o n 粕ds p e c i a ls o l u t i o ft I l en e w m e t h o d 6 疆t a c c o r d i n gt o 山e8 t n l c t u m 粕dc h a f a c t e r i s t i c so ft h ee q u a t i o n t l l a tn l es o l u t i o no u t0 fi t sf o 瑚a n dB u b 砒i t u t i n gi n t ot I l e e q u a t i o n t h e n 卵c o r d i n gt ot l I ed 毛r e n te i g e n V a l u e 8 d i r e c n yd e r i V e dt l l eg e n e r a l l u t i o n 粕d8 p e c i a ls o l u t i o n0 ft l l e 仪I I l 觚明 K e yw o r d s n o n h o m o g e n e o u sl i n e 盯d k r e n t i a Je q u a t i o n g e n e m l l u t i o n s p e c i a l l u t i 仰 e i g e n v a l u e 责任编辑 谢继国 5 万方数据 一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的直接解法一类常系数非齐次线性微分方程通解和特解的直接解法 作者 温大伟 陈莉 王红芳 魏瑾 WEN Da wei CHEN Li WANG Hong fang WEI Jin 作者单位 兰州城市学院数学学院 甘肃兰州 730070 刊名 甘肃高师学报 英文刊名 JOURNAL OF GANSU NORMAL COLLEGES 年 卷 期 2010 15 2 被引用次数 0次 参考文献 7条 参考文献 7条 1 朱灵 用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解 期刊论文 高等数学研究 2002 2 2 张菁 一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法 期刊论文 高等数学研究 2008 3 3 徐千里 一类常系数非齐次线性微分方程的通解 2000 4 4 余智君 二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法 2008 8 5 王李 常系数非齐次线性微分方程的公式解法 期刊论文 海南大学学报 自然科学版 1999 3 6 东北师范大学数学系微分方程教研室 常微分方程 1982 7 王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松 常微分方程 1978 相似文献 10条 相似文献 10条 1 期刊论文 唐生强 唐清干 n阶常系数非齐次线性微分方程的通解 湖南农业大学学报 自然科学版 2004 30 5 为研究n阶常系数非齐次线性常微分方程解的问题 求证了n阶常系数非齐次线性常微分方程的通解和特解的积分表达式 利用韦达定理和一个变量替 换 对n阶常系数非齐次线性微分方程进行降阶 导出该方程的一个用积分表示的通解公式 并根据特征根的不同情形给出了通解的各种形式及相应的通解 和特解公式 2 期刊论文 纪华霞 童宏胜 一类n阶非齐次线性微分方程的通解 重庆职业技术学院学报2008 17 2 一般n阶非齐次线性微分方程的解法是比较困难的 通过一阶非齐次线性微分方程的常数变易法推广到n阶非齐次线性微分方程 得出求通解的方法 3 期刊论文 张菁 一类二阶常系数非齐次线性微分方程通解的求解方法 高等数学研究2008 11 3 根据一类二阶常系数非齐次线性微分方程系数的特点 利用降阶法 给出了求其通解的一种简便方法 当方程的系数满足新方法的要求时 非齐次项的 选择范围较大 不局限于通常的两类型 4 期刊论文 佘智君 SHE Zhi jun 二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法 重庆工学院学报 自然科学 版 2008 22 8 介绍了求解二阶常系数非齐次线性微分方程的2种简易方法 降阶法和积分法 扩大了可求解二阶常系数非齐次线性微分方程的范围 并举例说明了它 们的应用 5 期刊论文 王焕 求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解的一个公式 高等数学研究2006 9 3 基于微分算子分裂的思想 受到一阶线性方程求解公式的启发 运用多重积分交换积分顺序的技巧 得到求二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程特解 的一般性公式 6 期刊论文 郭世贞 张继红 GUO Shi zhen ZHANG Ji hong 常系数非齐次线性微分方程特解的一种公式化解法 高 等数学中微分方程教学方法的一种新尝试 大学数学2005 21 5 给出了常系数非齐次线性微分方程特解的一种新的公式化求解方法 它有助于学生全面了解方程的解法 便于记忆和应用 并且扩大了可求解方程的范 围 7 期刊论文 邢春峰 袁安锋 王朝旺 XING Chun feng YUAN An feng WANG Chao wang 求二阶线性常系数非齐次微 分方程通解的一种新方法 北京联合大学学报 自然科学版 2009 23 3 为了更多地得到理论上和应用上占有重要地位的二阶常系数线性非齐次微分方程的通解 这里使用常数变易法 在先求得二阶常系数线性齐次微分方 程一个特解的情况下 将二阶常系数线性非齐次微分方程转化为可降阶的微分方程 从而给出了一种运算量较小的二阶常系数线性非齐次微分方程通解的 一般公式 并且将通解公式进行了推广 实例证明该方法是可行的 8 期刊论文 文淑慧 n阶常系数非齐次线性微分方程通解的一种显式表达式 职大学报2001 4 本文讨论某类特定的n阶常微分方程的求解问题 并给出一种简单可行的解法 9 期刊论文 鞠晶 Ju Jing 常数变易法求解一类四阶常系数非齐次线性微分方程 中国科技信息2007 7 利用常