方程与不等式讲解.doc

2011 年 2 月 18 日 数学学科 华师大版 九年级 2010 2011 年度第 7 期 方程与不等式讲解 方程与不等式考点归纳与点拨 乐才 方程与不等式都是能够有效刻画现实世界的数学模型 是解 一次 一次方程典型考题例析 例 1 请写出一个以 x y 为未知数的二元一次方程组 且同时满足下列两个条件 由两个二元一次方程组成 方程组的解为 3 2 y x 这样的方程组可以是 点拨 构造方程组一般从方程组的解入手 即列出与有关的等式 3 2 y x 如然后用代换 这时等式就变成了方程组 5324 532 y x 3 2 54 5 yx yx 这样可构造出很多 例 2 关于 x y 的方程组的解 也是方程的解求 m 的值 213 12 myx myx 32 yx 点拨 由题意可知方程组的解也使成立 而方程组中含 213 12 myx myx 32 yx 有待定系数 m 如果方程组的解用 m 的代数式表示出来 代入方程 问题就转32 yx 化成一个关于 m 的一元一次方程 可求得 m 的值 得解得 21 125 mx 5 12 m x 把代入得 5 12 m x 1my m 5 12 2 解得 5 2m y 把 代入方程得 5 12 m x 5 2m y 32 yx3 5 2 5 12 2 mm 整理得113 m 解之可得 3 11 m 这种解法正向逆向应用了方程 方程组解的定义 先将方程组的解用 m 的代数式表示出 来 这是正向运用 然后将方程组的解代入另一个方程 这是逆向运用 例 3 2010 株洲市 18 本题满分 6 分 老师布置了一个探究活动作业 仅用一架天平 和一个 10 克的砝码测量壹元硬币和伍角硬币的质量 注 同种类的每枚硬币质量相同 聪明的孔明同学找来足够多的壹元和伍角的硬币 经过探究得到以下两个探究记录 记录天平左边天平右边 来源 Zxxk Com 状态 记录一 5 枚壹元硬币 一个 10 克的砝 码 10 枚伍角硬币平衡 记录二15 枚壹元硬币20 枚伍角硬币 一个 10 克的砝码平衡 请你用所学的数学知识计算出一枚壹元硬币多少克 一枚伍角硬币多少克 解 设一枚壹元硬币克 一枚伍角硬币克 依题意得 1 分xy 3 分 解得 5 分 51010 152010 xy xy 6 4 x y 答 一枚壹元硬币 6 克 一枚伍角硬币 4 克 6 分 点拨 本题的命题方向很有创意 试题的难度不大 但着重考查同学们应用数学的意识 解答这类问题的关键是要正确理解题意 建立数学模型 例 4 2010 浙江嘉兴 根据以下对话 可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是 A 0 8 元 支 2 6 元 本 B 0 8 元 支 3 6 元 本 C 1 2 元 支 2 6 元 本 D 1 2 元 支 3 6 元 本 答案 D 点拨 图文信息是指通过图画提供一定的数字背景 让同学们通过对图画中情境的分析 抽象出数学本质的问题 然后用所学的知识去解释 它的作用是增加试题的灵活性 多样 哦 我忘了 只记得先后买了两次 第一次 买了 5 支笔和 10 本笔记本花了 42 元钱 第二 次买了 10 支笔和 5 本笔记本花了 30 元钱 小红 你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊 性和趣味性 同时考查同学们读图 析图和归纳等能力 不等式 组 考点分析 不等式与不等式组问题历年来是中考命题的热点之一 从近几年来各地中考题可 以看出有关一元一次不等式 组 问题归纳起来主要有 一 考查不等式基本性质 例 1 2010 年台湾省 有数颗等重的糖果和数个大 小砝码 其中大砝码皆为 5 克 大砝 码皆为 1 克 且图 三 是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形 判断 下列哪一种情形是正确的 点拨 先有已知条件得到一个糖果的重量为大于 5 克而小于 再对照选择支即克 3 16 可 考察不等式的性质 解法 答案 D 二 考查解不等式 组 例 2 2010 年安徽省芜湖市 求不等式组的整数解 1083 152 x x 解 解不等式 得 152 x2 x 解不等式 得1083 x6 x 62 x 又 为整数 满足不等式组的整数解为 x1 0123456 三 考查由不等式 组 的解集确定参数的值 例 3 如果不等式组有解 则 m 的取值范围是 320 x xm A B C D 2 3 m 3 2 m 2 3 m 3 2 m 点拨 本题是求不等式组中参数 m 的取值范围题 首先将不等式组化简为 3 2 x xm 555 5 1 1 555 5 1 A 5 1 5 1 1 B C D 5 5551 图 三 因为本题已给出了四个答案可选择 且仅有一个答案 所以可选特殊值代入进行验证 答案 选 B 四 考查不等式 组 的应用 解 1 设 x 台 型发电机每年发电总量为 s 则 s 100 36x 60 150 x 12600 x 故至少可发电 12600 x 千瓦 时 2 设购 型 x 台 则购 型 10 x 台 依题意 得 0 30 2 102 6 126007800 10102000 xx xx 解得 5 x 6 故可购买 型 5 台 型 5 台 或 型 6 台 型 4 台 点拨 善于把实际问题成抽象成数学模型是数学学习的高级形式 应全力练习 一元二次方程复习要点 一元二次方程是中考重点考查项目 在学习这部分知识时一定要掌握好以下知识技能 一 基本概念的理解 例 1 如果关于 x 的一元二次方程有一个解是 0 求 m 的 值 点拨 根据方程的解的意义可知 当 x 0 时 方程左右两边相等 此题即是求当 x 0 时 m 的值 但同时一定要记住 当方程是一元二次方程时 二次项系数不为 0 这一 前提条件 即 m 2 0 解 将 x 0 代入方程中 得 整理得 方程为关于 x 的一元二次方程 m 2 0 即 m 2 m 的值为 2 二 一元二次方程解法 例 2 解方程 3 27 2 27 xxx 错解 3 2x x 1 5 点拨 在解方程时 不能在方程的两边同时除以含有未知数的代数式 否则可能产生失根 三 根的判别式的应用 例 3 2010 年安徽省芜湖市 关于x的方程 a 5 x2 4x 1 0 有实数根 则a满足 A a 1 B a 1 且a 5 C a 1 且a 5 D a 5 点拨 解题时 要先看清题意 不要盲目的认为有实数根就是一元二次方程 而本题当 a 5 时 方程为一元一次方程 同样也有实数根 因此本题要判别式大于等于 0 a 5 可以 为 0 答案 A 四 求代数式的值 例 4 若是一元二次方程的两个根 则的值是 xx 12 2310 2 xx xx 1 2 2 2 A B C D 7 5 4 9 4 11 4 解 xxxx 1212 3 2 1 2 xxxxx x 1 2 2 2 12 2 12 2 5 4 选 A 五 用一元二次方程解决实际问题 例 1 2010 年四川成都 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展 汽车已越来越多地进入普通家庭 成为居民消费新的增长点 据某市交通部门统计 2007 年底全市汽车拥有量为 180 万辆 而截止到 2009 年底 全市的汽车拥有量已达 216 万辆 1 求 2007 年底至 2009 年底该市汽车拥有量的年平均增长率 2 为保护城市环境 缓解汽车拥堵状况 该市交通部门拟控制汽车总量 要求到 2011 年底全市汽车拥有量不超过 231 96 万辆 另据估计 从 2010 年初起 该市此后每年报废 的汽车数量是上年底汽车拥有量的 10 假定每年新增汽车数量相同 请你计算出该市每 年新增汽车数量最多不能超过多少万辆 解 1 设该市汽车拥有量的年平均增长率为 x 根据题意 得 150 1 x 2 216 解得 x1 0 2 20 x2 2 2 不合题意 舍去 答 该市汽车拥有量的年平均增长率为 20 2 设全市每年新增汽车数量为 y 万辆 则 2010 年底全市的汽车拥有量为 216 90 y 万 辆 2011 年底全市的汽车拥有量为 216 90 y 90 y 万辆 根据题意得 216 90 y 90 y 231 96 解得 y 30 答 该市每年新增汽车数量最多不能超过 30 万辆 点拨 用一元二次方程解决实际问题 首先要把实际问题加以分析 抽象成数学问题 然 后用数学知识去解决它 分式方程考点扫描 据近几年中考对分式方程的考查可以看到 一是能否准确把握一元二次方程的概念 熟 练的解一元二次方程 二是加强与现实生活的联系 将所学知识应用到生活中为生产生活 服务 例 1 请选择一组的值 写出一个关于的形如的分式方程 a bx 2 a b x 使它的解是 这样的分式方程可以是 0 x 解析 是方程的解 将代入 得 所以0 x 0 x 2 a b x b a 202 a b 点拨 分式方程中分母不能为 0 例 2 分式方程的解是 2 63 1 11xx 解 先将方程的分母分解因式 2 63 1 11xx 去分母得 1 3 1 1 6 xxx 整理得 解方程得 043 2 xx4 1 x1 2 x 经检验 当时是原方程的根 是增根 舍去 4 1 x1 2 x 所以原方程的根是 4 x 规律总结 检验增根只需要将解出的未知数的值代入所乘的最简公分母检验 不等于0是原 方程的解 等于0就是增根 例 3 若关于x的分式方程33 2 x m x x 无解 试求 m 的值 解 去分母 得 m x 2 因为关于x的分式方程33 2 x m x x 无解 所以 x 3 0 即 x 3 当 x 3 时 m x 2 1 点拨 分式方程无解 说明将分式方程化为整式方程后 得到的根使最简公分母等于 0 根据这一点来解决问题即可 例 4 2010 辽宁丹东市 进入防汛期后 某地对河堤进行了加固 该地驻军在河堤加固 的工程中出色完成了任务 这是记者与驻军工程指挥官的一段对话 答案 解 设原来每天加固x米 根据题意 得 9 2 6004800600 xx 解得 300 x 检验 当300 x 时 20