第二章 实数 全章教案.doc

2.1数怎么又不够用了教学目标：1、通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性； 2、会用自己的语言说明一个数不是有理数。教学重点：借助图形判断一条线段是否是有理数线段。教学难点：寻找有理数线段的方法。教学过程：一、问题引入 有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形。（1） 设大正方形的边长为a，a满足什么条件？（2） A可能是整数吗？说说你的理由。（3） A可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴交流。 通过一个简单的动手活动引入新课，把学生的思维和学习的积极性调动起来，然后紧接着提出本节课的主要问题，引起学生的思考和讨论，让学生体会到现实生活中确实存在着不是有理数的数。 教师应鼓励学生充分进行思考、交流，并适时给予引导：“12=1，22=4，32=9，.越来越大，所以a不可能是整数”“=，结果都为分数，所以a不可能是分数”“两个相同的最简分数的乘积仍然是分数“等。结论：在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。二、做一做（1） 如图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？（2） 设该正方形的边长为b，b满足什么条件？（3） b是有理数吗？数a、b确实存在，但都不是有理数。 进一步丰富无理数的实际背景，使学生体会到无理数在现实生活中是大量存在的。教师可以引导学生自己举一些类似的无理数的例子。三、随堂练习 1、如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ 来源:21世纪教育网2、下面各正方形的边长不是有理数的是（ ）（A）面积为25的正方形 （B）面积为的正方形 （C）面积为27的正方形 （D）面积为1.44的正方形21世纪教育网 3、（1）若长方形的长、宽分别是12、9，那么它的对角线的长是有理数吗？为什么？来源:21世纪教育网 （2）若长方形的长、宽分别是7、5，那么它的对角线的长是有理数吗？为什么？ 4、下图中阴影部分是正方形，求出此正方形的面积。此正方形的边长是有理数吗？为什么？ 5、下图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A、B、C、D、E、F得线段AB、BC、CD、DE、EF、FA，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度不是有理数的是哪些？6、式子x2=a，当a是什么数时，x一定不是有理数？ 7、如图，RtABC的三边分别为a、b、c。 （1）根据所给a、b的值，求出c2的值。 a=1，b=2， c2 =， a=1，b= ， c2 =， a=3，b=4， c2 =， a=，b= ， c2 =， a=5，b=6， c2 =， a=9，b=12， c2 =， a=，b=，c2 =， a=0.6，b=0.8， c2 =， （2）分析上述c2的结果，我们知道，c是整数的有，c是分数的有，c既不是整数又不是分数的有（填上序号）四、小结1、无理数产生的实际背景和引入的必要性；2、会用自己的语言说明一个数不是有理数；3、借助图形判断一条线段是否是有理数线段。21世纪教育网2.2 平方根(一)教学目标：(一)教学知识点1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.(二)能力训练要求1.加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平.2.鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神.(三)情感与价值观要求1.让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲.2.训练学生动脑、动口、动手能力.教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点：了解算术平方根的概念、性质.教学过程：.新课导入上节课我们学习了无理数、了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数.比如在a2=2中，2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a，则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们就来一起研究这个问题.讲授新课师在讲新课之前，我们先回忆一下勾股定理，请同学们回答.生勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方.师下面请大家根据勾股定量，结合图形完成填空. 根据下图填空x2=_y2=_z2=_w2=_师请大家思考后回答.生x2=2,y2=3,z2=4,w2=5.师请大家再分析一下，x，y，z，w中哪些是有理数？哪些是无理数？生x，y，w是无理数，z是有理数.师为什么呢？生因为没有任何整数或分数的平方等于2，3，5，所以x，y，z不是有理数，而22=4，所以z=2.师这位同学分析得非常正确，那么大家能不能把上图中的x，y，z，w表示出来呢？请大家仔细看书后回答.生x=,y=,z=,w=.师若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“”读作“根号a”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即=0.师下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根.例1求下列各数的算术平方根：(1)900；(2)1；(3)；(4)14. 解：(1)因为302=900，所以900的算术平方根是30，即=30；(2)因为12=1，所以1的算术平方根是1，即=1；(3)因为所以的算术平方根是，即；(4)14的算术平方根是.通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？生是通过平方来求的.师对.由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法，目的是让大家明白算术平方根的概念，以及从计算中进一步体会一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算.在以后的步骤中可以简化.例2自由下落的物体的高度h(米)与下落时间t(秒)的关系为h=4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？解：将h=19.6代入公式h=4.9t2得t2=4,所以t=2(秒)即铁球到达地面需要2秒.师下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点.生甲算术平方根是整数或分数，即为有理数.生乙不对，那是不是有理数？若是则是，分数还是整数？生丙因为没有任何一个整数或分数的平方等于14，所以不是有理数，而是无理数.师大家的分析都有道理，我提示一下从符号方面考虑.生甲噢，算术平方根是正数，如，2.生乙不对，还有零呢.正数的算术平方根是正数，零的算术平方根为零.师非常正确，那负数的算术平方根是否为负数呢？若(2)2=4.则=2对吗？或者=2对吗？生甲不对.因为算术平方根的定义是一个正数的x的平方等于a，这个正数x就叫做a的算术平方根，所以算术平方根不可能是负数.师由此看来，定义中的a和x都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为(a0)为非负数，这是算术平方根的性质.课堂练习(一)P32随堂练习1、2题.(二)补充练习. 一、填空题1.若一个数的算术平方根是，则这个数是_.2.的算术平方根是_.3.正数_的平方为的算术平方根为_.4.(1.44)2的算术平方根为_.5.的算术平方根为_，=_二、求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.4)2；(2)(3.9)2；(3)2.25；(4)2.课时小结本节课学习了算术平方根的概念，理解了求一个正数的平方和求算术平方根是互为逆运算，求一个非零数的算术平方根，以及算术平方根的性质，即算术平方根是非负数.活动与探究1.一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍？2.一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？解：设原来的正方形边长为a，面积为S1，后来的正方形面积为S2.1.S1=a2，S2=na2(a)2后来的边长(a)为原来边长的倍.2.S1=a2，S2=100a2=(10a)2后来的边长10a为原来边长的10倍.学习目标：1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系；重、难点：学习重点：平方根和算术平方根的联系与区别学习难点：平方根的概念和求数的平方根。 学习过程：（一）自学释疑引入：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？，则x等于多少呢？预习基础题：1. 若一个数的算术平方根是，则这个数是 。2求下列各数的算术平方根： （1）900；（2）1；（3）；（4）14.3.（ ）2 =9；（ ）2 =；（ ）2 =0.25.（二）知识梳理：通过预习回答：1.一个正数的平方根有_个，它们互为_.一个正数的正的平方根，记作“ ”，正数的负的平方根记作“ ”，这两个平方根合起来记作“ ”，读作“正、负根号”。2. 在求平方根时，被开方数为负数行吗？在中，a的取值有什么限制吗？3. 任何一个非负数的平方根和算术平方根有什么关系？零的平方根和算术平方根有什么关系？4. 回答：（1）9的平方根是什么？5的平方根是什么？（2）0的平方根是什么？0的平方根有几个？（3）4，8，36有平方根吗？为什么？（4）由此，你得到了什么结论？思考下面几个问题：1. 平方等于4的数有几个？是哪些数？2. 平方等于零的数有几个？是哪些数？有平方等于负数的数吗？3. 平方等于它本身的数有哪些？4. 平方根和算术平方根有联系与区别？（三）知识综合运用基础题：1. 求下列各数的平方根。（1） 100 （2） （3） 0.25 （4） -162. 求下列各数的平方根和算术平方根。（1） （2） 提高题：计算：（1） ；（2） ；（3）。思考题：1.表示什么意思，这里的a可取什么样的数呢？该怎样理解？这里的x又可取什么样的数呢？2. 用大小完全相同的300块正方形地板砖，铺一间长18米，宽6米的长方形会议室的地面，求每块正方形地板砖的边长。（四）当堂训练：1 下列说法正确的是 25的平方根是5；-36的平方根是-6；平方根等于0的数是0；64的平方根是82下列说法不正确的是( ) (A)0的平方根是0 (B)的平方根是 (C)非负数的平方根是互为相反数 (D)一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数3. 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ） (A) a+1 (B) (C) a2+1 (D) 4.为何值，有意义？5. 已知a-1的平方根是，a+b-1的平方根为，求a+2b的平方根。立 方 根学习目标：1学会用根号表示一个数的立方根，会用立方运算求某些数的立方根；2知道一个数的立方根的惟一性；3能够分清一个数的立方根与平方根的区别；重、难点： 学习重点：立方根与平方根的区别。学习难点：立方根的概念和求法。学习过程：（一） 自学释疑：引入：已知球的体积计算公式是，怎么由体积v求的半径R的值？预习基础题：计算下列各式的值：= ；= ；= ；= ；= 。问题：回忆平方根的概念，并联系上面的问题，请归纳得出立方根的概念。（二）知识梳理：探 究： 1.请用平方根的概念归纳出立方根的概念。2. 立方等于9的数有几个？是哪些数？有立方等于-9的数吗？如果有的话，是多少？3. 正数的立方根是正数还是负数？负数的立方根呢？0呢？4对于任意一个数a，立方根等于a的数有几个？怎样将它们表示出来？5. 立方根等于它本身的数有哪些？6. 求一个数a的立方根的运算叫做 。7. 立方根与平方根之间的联系与区别：平方根立方根概念记法性质（三）立方根的应用 基础题：1. 求下列各式的值：（1） ；（2） ；（3）； （4） 2. 填空：的平方根是 ；-8的立方根是 ；的平方根是 ；-27的立方根是 ；64的平方根是 ；64的立方根是 。提高题：= ；= ；= ；0.81的平方根是 ；的立方根是 。思考题：1表示a的立方根，那么等于什么？呢？2与有何关系？3. 讨论：（！）讨论()等于多少？()等于多少？（2）等于多少?等于多少？ (四)当堂训练：1.求下列各式的值（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）2. 判断题：（1）64的立方根是（ ） （2）是的立方根 （ ）（3） （ ） （4）立方根等于它本身的数是0和1（ ）（5）（）的立方根是（ ）（6）的立方根是 （ ）（7）125的立方根是5 （ ）（五）拓展延伸：求下列各式中的x(1) ； (2) ；(3) ； (4) 公园有多宽教学目标(一)教学知识点1.能通过估算检验计算结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.2.掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感.(二)能力训练要求1.能估计一个无理数的大致范围，培养学生估算的意识.2.让学生掌握估算的方法，训练他们的估算能力.(三)情感与价值观要求估算也是现实生活中一种常用的解决问题的方法，比如在工厂工人师傅要做一个正方体，使它的体积为900立方米，现有边长为5米，8米，10米的三种正方形材料，问用哪一种材料作为正方体的表高比较合适，而工作师傅在领材料之前并不晓得材料的规格，那么在领材料时必须经过估算大致确定用哪一种材料，这就是估算的用处.这样的例子随处可见，有时问题是突然出现.因此有必要对学生进行这方面的训练，使他们在以后的工作中能处世不惊、沉着应战，用学到的知识去顺利解决实际生活中的难题.教学重点1.让学生理解估算的意义，发展学生的数感.2.掌握估算的方法，提高学生的估算能力.教学难点掌握估算的方法，并能通过估算比较两个数的大小.教学过程一.导入新课同学们，请大家说出咱们班男生和女生的平均身高.你又是怎样得出结果的呢？（我猜的.）“猜”字的意思就是根据自己的判断而估计得出的结果，它并不是准确值，但也不是无中生有，是有一定的理论根据的，本节课我们就来学习有关估算的方法.二.讲授新课问题：某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000米2.(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？(3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800米2，你能估计它的半径吗？(误差小于1米)提示：要想知道公园的宽大约是多少，首先应根据已知条件求出已知量与未知量的关系式，那么它们之间有怎样的联系呢？（因为已知长方形的长是宽的2倍，且它的面积为40000米2，根据面积公式就能找到它们的关系式.可设公园的宽为x米，则公园的长为2x米，由面积公式得：2x2=400000 x2=200000。所以公园的宽x就是面积200000的算术平方根）.在估算时我们首先要大致确定数的范围，因此有必要做一些准备工作.请大家先计算出20以内正整数的平方和10以内正整数的立方.并加以记忆，对我们的估算很有帮助.12=1；22=4；32=9；42=16；52=25；62=36；72=49；82=64；92=81；102=100；112=121；122=144；132=169；142=196；152=225；162=256；172=289；182=324；192=381；202=400.13=1；23=8；33=27；43=64；53=125；63=216；73=343；83=512；93=729；103=1000.下面我们可以进行估算，请同学们分组讨论而后回答.（1）公园的宽没有1000米，因为1000的平方是1000000，而200000小于1000000，所以它没有1000米宽.大家能不能具体确定一下公园的宽是几位数呢？因为100的平方是10000，1000的平方是1000000，而200000大于10000小于1000000，所以公园的宽比100大而比1000小，是三位数.大家在估算时就可用这样的方法大致估算一下是几位数，这样使范围缩小，为下一步的估算作准备.由此看来公园的宽大约是几百米，下面请大家继续讨论做(2)题.因为400的平方等于160000，500的平方为250000，所以公园的宽x应比400大比500小.所以x应为400多，再继续估算，估计十位上的数字是几.因为440的平方为193600，450的平方为202500，所以x应比440大比450小，故十位上的数为4.因为题目要求误差小于10米，好应精确到十位，所以我们估算出十位上的数就行了，即公园的宽x应为440米，现在我们可以根据刚才的估算来总结一下步骤.1.估计是几位数.2.确定最高位上的数字(如百位).3.确定下一位上的数字.(如十位)4.依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到小数点后的某一位.在以后的估算中我们就可按这样的步骤进行.再看(3)题，先列出关系式.（设半径为x米，则有x2=800x2=255.即x2255因为102=100，1002=10000，所以x应是两位数，又因为152=255，162=256，所以x就比15大比16小，应为15点几，所以应为15米.）在题目中要求误差小于1，而不是精确到1，所以15米和16米都满足要求，即x应为15米或16米.2.议一议(1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.0.066；96；60.4(2)你能估算的大小吗？(误差小于1).解：（1）因为0.652=0.4225，0.662=0.4356，而0.43大于0.4225小于0.4356，所以应大于0.65小于0.66，所以估算错误.（2）第2个错.因为10的立方是1000，900比1000小，所以900的立方根应比1000的立方根小，即小于10，所以估算错误.（3）第3个错.因为60的平方是3600，而2536小于3600，所以应比60小，所以估算错误.第(2)小题请大家按总结的步骤进行.(1)先确定位数因为1的立方为1，10的立方为1000，900大于1小于1000，所以应是一位数.(2)确定个位上数字.因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9.3.例题讲解例1（课本40页例1）例2通过估算，比较的大小分析：因为这两个数的分母相同，所以只需比较分子即可.解：因为54,即()222，所以2，所以.即.补例3已知的整数部分为a，小数部分为b.求的值.补例4已知的整数部分和小数部分分别为，求的值三、.课堂练习(一)随堂练习 (二)补充练习：比较与3.4的大小.解：因为3.4的平方为11.56，所以12大于11.56，即3.4.四.课堂小结本节课主要是让学生掌握估算的方法，形成估算的意识，发展学生的数感，并能用估算来比较大小.实 数（第1课时）学习目标：1、会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力；2、会进行实数范围内的相关运算。学习重、难点：学习重点：理解实数的概念。学习难点：会进行实数范围内的相关运算。学习过程：一 自学释疑：1. 实数的相反数、倒数、绝对值的意义是什么？2. 如何在数轴上表示的点？3. 在数轴上，如何表示有理数的大小？如何表示实数的大小？预习基础题：1. 判断正误（1） 无理数都是无限小数。 ( ) (2) 无限小数都是无理数。( )(3)不带根号的都是有理数。( ) (4) 带根号的都是无理数。( )2. 求下列各数的相反数和绝对值。（1）3- （2） （3）问题：实数的运算法则和有理数的运算法则一样吗？实数的绝对值、倒数、相反数的意义与有理数一样吗？二 知识梳理：（一）实数的概念和分类：问题一：实数怎样分类？利用定义给实数分类。问题二：模仿有理数的分类方法给实数进行分类。（二）实数的绝对值、相反数和倒数问题一：如果a表示一个正实数， 就表示一个负实数，a与-a互为 。0的相反数是 。问题二：如果a表示一个非零的实数，怎样表示它的倒数？问题三：的倒数是 ，的倒数是 。（三）实数是与数轴上的点一 一对应的。三 实数的应用基础题：1.把下列各数填入相应的集合内-7.5，4，0.31，。（1）有理数集合： （2）无理数集合： （3）正实数集合： （4）负实数集合： 2求下列各数的相反数、倒数和绝对值。（1）3.8； （2）； （3）；（4）； （5）。提高题：求下列各式中的x：（1）； （2）；（3）求满足的整数。并说明的集合意义是什么。思考题：（1） 在数轴上作出对应的点；（2） 在数轴上作出对应的点。当堂训练：1. 求下列各数的相反数，绝对值，倒数，2.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简。实 数（第2课时）学习目标：1、会比较两个实数的大小；2、知道在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，能根据问题的要求取其近似值， 转化为有理数进行计算。3、知道实数与数轴上的点一一对应。学习重难点：学习重点：实数的运算律和运算法则。学习难点：实数的运算律和运算法则。学习过程：一 自学释疑：预习基础题：如果a、b、c是三个实数，请你用