2013年MBA数学--解析几何知识点与例题详解.doc

第9章 解析几何考点：平面直角坐标系，直线方程与圆的方程，两点间距离公式与点到直线的距离公式一、 知识点1.直线的方程1）倾斜角：范围， 。2） ，3）直线方程的几种形式斜截式：y=kx+b不含y轴和平行于y轴的直线点斜式： 不含y轴和平行于y轴的直线两点式：不含坐标轴，平行于坐标轴的直线截距式：不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式：Ax+By+C=0 A、B不同时为0几种特殊位置的直线：x轴：y=0y轴：x=0平行于x轴：y=b平行于y轴：x=a原点：y=kx或x=04）直线系：（待定系数法的应用）（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k为参数y-y0=k（x-x0） 特别：y=kx+b，表示过（0、b）的直线系（不含y轴） 注意：运用斜率法时注意斜率不存在的情形。（2）平行直线系：y=kx+b，k为定值，b为参数。Ax+By+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系Bx-Ay+入=0表示与Ax+By+C垂直的直线系2.两直线的位置关系L1：y=k1x+b1L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0L2：A2X+B2Y+C2=0L1与L2组成的方程组平行k1=k2且b1b2无解重合k1=k2且b1=b2有无数多解相交k1k2有唯一解垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0有唯一解3.几个距离公式：1）点到直线距离：（已知点（p0(x0,y0)，L：Ax+By+C=0）注：若直线为，即2）点到直线的距离为（这是斜率法经常用到的）3）两行平线间距离：L1=Ax+By+C1=0 L2：Ax+By+C2=04)点间的距离公式4.圆1)圆的方程 一般式： 配方得：圆心为：（，），半径为标准式：， 圆心为（，），r为该圆半径。2)点与圆的位置关系点在圆内：点在圆上：点在圆外：3)直线与圆的位置关系设直线到圆心的距离为d，圆的半径为r，则： d r 直线与圆相离 d = r 直线与圆相切（有一个交点） d R+r 两圆相离 4 d = R+r 两圆外切 3 R-r d R+r 两圆相交 2 d = R-r 两圆内切 1 d R-r 两圆内含 05.对称：1）点关于点对称：p(x1,y1)关于M（x0,y0）的对称2）点关于线L的对称：设p(a、b)，线L是两点所成线段的垂直平分线。3）直线关于直线对称：找直线上两个点关于直线的对称点4）圆关于直线对称：只需要找出圆心关于直线的对称点即为对称后的圆的圆心，半径不变。二、经典例题1. 已知直线,若,且,则此直线通过的象限是:A 第二,三,四象限 B第一,三,四象限 C第一,二,四象限D第一,二,三象限 E 以上结论均不正确答案：C。本题考查直线的特种。. 因此可得.因此截距为正.可知直线过第一,二,四象限,选择C。2. 过点,垂直于直线的直线的方程是A B C D E 答案：A。本题考查两直线垂直的性质。两直线垂直斜率互为负倒数，所以垂直于直线的直线的斜率为,因此直线方程为, 选择A3.直线与直线的交点位于第一象限,则的取值范围是: A B C D E 以上结论均不正确答案：选D。本题考查直线与直线的位置关系。由题：, 由此可得.第一象限说明: ，故选择D4圆上到直线的距离等于1的点的个数有 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答案：选A。本题考查直线与圆的位置关系。依题意圆心到直线距离为2，圆的半径为2，则有1个点即切点满足条件，即选A5 方程|x1|y1|1所表示的图形是（ ）（A）一个点；（B）四条直线；（C）长方形；（D）正方形 （E）圆答案：选D。分类讨论去掉绝对值符号，可以发现是个以为中心的正方形，故选D6直线关于直线对称的直线方程是(A) (B) (C) (D) (E) 以上结论均不正确答案：选D。本题考查了直线关于直线的对称方程问题。（法一：利用相关点法)设所求直线上任一点，则它关于对称点为 在直线上,化简得（法二：排除法）根据直线关于直线对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线与直线交点为在所求直线上，故选D.7已知定点A(0,2),点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是（A） （B） （C）（1，1） （D）（1，1） （E）以上都不对答案：选A。本题考查点根据垂直求交点。当AB与垂直时，AB最短，从而B为8. 已知两点,则线段的中垂线方程是A B C D E 答案：选C。本题考查中垂线问题。由已知：AB中点的坐标是，AB的斜率为，故中垂线的斜率是4，且过点，则可得中垂线方程，选C9. 两条直线与的位置关系是( )A 平行 B 相交 C 重合 D 位置关系和无关E 以上结论均不正确答案：选A。本题考查直线与直线的位置关系。由直线方程可得到两直线的斜率相同，故平行。10. 直线和互相垂直,则（ ）A B C D E 答案：选D。本题考查两直线垂直的性质。由题知：两直线互相垂直，故斜率的乘积为1，可得出a=11. 已知直线与两坐标轴交点为,则以线段为直径的圆的方程是:A B C D E 以上结论均不正确答案：选B。本题考查圆的方程。,因此两坐标轴交点分别为，可得直径长度为. 圆心为.因此圆为 选择B12.点关于直线的对称点是（A） （B） （C） （D） （E）答案：C。本题考查对称问题。设对称点为则故选C13圆和直线相交于两点。（1） （2）答案：D。本题考察直线与圆的位置关系。有两个交点，则圆心到直线的距离小于半径或直线上有一点在圆内。因为直线即过定点（2,1），而定点在圆内，所以无论为多少直线与圆永远相交。故选D。14设区域D为，在D内的最大值是（A） 4 （B） （C） （D）6答案：选C。本题考查最值问题。当相切时达到最大。设直线方程为x+y=k，根据相切性质，圆心到直线距离等于半径，得或（舍），选C15直线l:x+y=2.与圆：的交点为A，B，求AB的长（ ）A.2 B. C. D.4 E.6答案：C。本题考查垂径定理求弦长。圆点到直线的距离为：，弦长为AB=16：由曲线所围成的平面图形的面积是（ ）A、1 B、2 C、 D、 E、答案：B，本题考查绝对值的性质及直线方程。如图所示，由曲线所围成的平面图形是正方形ABCD，且四边的方程分别是 ，正方形的边长a=， 因此得到所围面积，即选B 17：以直线y+x=0为对称轴且与直线y-2x=2对称的直线方程为（ ）A、 B、 C、D、 E、以上均不正确答案：选B，本题考查直线关于直线对称的直线方程的求解。如图所示，所求的直线过y+x=0，且与直线y-2x=2的交点为，设直线的斜率为k，则由夹角相等可得，解得k=， 因此，所求直线的方程为：， 即，故选B 18：如图，正方形ABCD的面积为1，（1） AB所在的直线方程为，（2） AD所在的直线方程为答案：选A，本题考查直线方程与坐标轴交点。由条件（1），AB所在的直线方程为，则可得AD所在的方程为因此正方形ABCD的面积： 即条件（1）是充分的；由条件（2），AD所在的直线方程为，则A（1，0），D（0,1）所以AD=，所以即条件（2）不充分综上，选A 19过点P（3,2）且与两坐标轴截距相等（截距不为零）的直线的方程为（ ）A.x+y=5 B.x+y=-5 C.x-y=5 D.x-y=-5 E.以上都不对答案：A。本题考察直线的方程的求解。根据题意可设直线的方程为x+y=a，因为过P点，代入可得a=5，所以选A。20经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程为（ ）A、 B、 C、D、 E、答案：选C，本题考查直根据已知条件求解直线方程。由题知，直线和的交点坐标为，且直线的斜率，从而所求直线的斜率，用点斜式方程得到：，即，选C21已知直线过点，当直线L与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、 E、以上均不对答案：选 D。本题考查直线与圆的位置关系。设直线的方程为，直线与圆有两个交点，可知圆心到直线的L的距离小于半径，圆的标准方程是，圆心为，半径是1，故，解得，故选D。22（1）点A（1，0）关于直线的对称点是（2）直线与直线垂直答案：A。本题考查直线对称和垂直的问题。条件（1）A（1,0）关于x-y+1=0的对称点为（0-1,1+1）即（-1,2）因此a=-4充分。条件（2）根据直线垂直的性质，a(2+a)+5(a+2)=0，解得a=-2或a=-5.不充分，选A。23光线经过照射在上，反射后经过，求反射光线所在直线方程为（ ）A、 B、 C、D、 E、以上均不对答案：选C，本题考查点关于直线对称的性质。由题，根据光的反射原理，先找P点关于直线的对称点为，那么所在的直线方程就是反射光线所在的方程，即，故选C24已知动点在圆上运动，的最小值是（ ）A、 B、 C、 D、 E、-3答案：选C，本题考查直线与圆中的最值问题。由题，p在圆上运动，因此求并不容易，令则，而k恰为直线的斜率，下面就是找出直线与圆的位置关系，显然直线过原点，那么当与圆相切时，k取到最值，即方程有两个相等的实数根，解得，即最小值，选C.25已知定点A，B，直线与线段AB有公共点，那么实数a的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、E、答案：选E，本题考查直线的斜率。由题，结合图形可看出，直线过定点，直线从A旋转到B的过程中经过y轴，而直线PA的斜率是，PB的斜率是，所以选E.26圆上到直线的距离等于1的点的个数有（ ）A、1 B、2 C、3 D、4 E、5答案：选C，本题考查直线与圆的位置关系。由题，圆心到直线的距离，且5-4=1，所以圆上到直线的距离为1的点的个数是3个，选C27设直线nx+(n+1)y=1（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为，则A1 B. C. D. E.以上均不对答案：C。本题是一个综合性题目，涉及知识有直线，三角形面积和数列的前n项和的求解。由直线可得在坐标轴中的横纵轴截距分别为，所以，故答案为C。28若x，y满足，则x-2y的最大值是（ ）A、10 B、9 C、0 D、 E、答案：选A，本题考查直线与圆中的最值问题。令x-2y=k，则当直线与圆相切时x-2y才取得最值，此时，所以解得k=10或k=0，故x-2y的最大值是10，选A29一束光线经过点射到直线上，反射后穿过点；（1） 入射光线的方程为：；（2） 入射光线的方程为：；答案：选A，本题考查直线关于直线对称的性质。由题，据光的反射原理，点关于直线的对称点，可得到，连接的直线就是入射光线，即，那么条件（1）充分，条件（2）不充分，故选A30直线L与直线关于直线对称，则直线L的方程是（ ）A、 B、 C、 D、 E、以上均不对答案：选C，本题考查直线关于直线对称的性质。关于直线对称，那么只要令原方程中的x换成-y，将-y换成x即可，则即，选C。31.经过圆的圆心C，且与直线xy0垂直的直线方程是( )A、xy10B、xy10 C、xy10D、xy10E、以上均不对 答案：C，本题考查直线与直线垂直的性质。由题，圆的方程是，所以圆心的坐标是，且与直线xy0垂直，故斜率是1，所以直线的方程是，即xy10，选C。32.直线经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.A、 B、 C、 D、或E、以上均不对答：D，本题考查直线方程的性质。由题设直线方程为:,又过P(2,3),所以,求得a=5，那么直线方程为x+y-5=0.；当直线过(0,0)时,此时斜率为，所以直线方程为y=x综上，所求直线方程为或，选D。33. 设直线l过点A(1，3)，且和直线3x4y120平行。直线l的方程是（ ）A、 B、 C、 D、E、以上均不对答案：A，本题考查直线与直线平行的性质。由题，因为直线3x4y120的斜率又直线l过点A(1，3)，所以l的方程为：，即，选A。34. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆和圆的解析式，圆C1与C2的位置关系是（ ）A、 相离 B、相切 C、相交 D、重合 E、不能判断答案：A，本题考查圆与圆的位置关系。由题，圆的是圆心是，半径为2；圆的圆心是，半径为2；又两圆的圆心距大于两圆的半径之和，故两圆相离，选A。35. 已知直线与圆相交于A，B两点那么的长为（ ）A、1 B、2 C、3 D、4 E、6答案：B，本题考查直线与圆相交的性质。如图所示，由，消去y，得解得 所以选B。36. 若经过两点A(1，0)、B(0，1)的直线与圆C：相切，则a的值为（ ）A、 B、 C、 D、 E、答案：D，本题考查直线与圆相切的性质。由题意，过AB两点的直线方程为，即，圆心到直线的距离与半径相等，即，化简得，选D。37. 已知直线：xy40与圆C：，则C上各点到直线的距离的最小值为（ ）A、 B、2 C、3 D、 E、以上均不对答案：A，本题考查直线与圆的位置关系。由题，圆心到直线的距离大于圆的半径，所以直线与圆相离，那么圆上的点到直线最短的距离是，选A。38. 直线过点A（-4，2），且直线与x轴的交点到（1，0）的距离是5，那么直线的方程是（ ）A、 B、 C、 D、E.以上均不对答案：C，本题考查直线方程的性质。