自控原理 第四章 根轨迹.ppt

第四章根轨迹法 控制系统的稳定性 由其闭环极点唯一确定 系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零 极点在 平面上分布的位置有关 决定系统基本特性的是系统特征方程的根 如果搞清楚这些根在 平面上的分布与系统参数之间的关系 那就掌握了系统的基本特性 为此目的 伊文思在 年提出了根轨迹法 令开环函数的一个参数 开环增益 或另一个感兴趣的参数 从 变化到 与此对应 特征方程的根 便在 平面上描出一条轨迹 称这条轨迹为根轨迹 根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法 它已发展成为经典控制理论中最基本的方法之一 根轨迹定义 开环系统传递函数的某一个参数变化时 闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹 例 如图所示二阶系统 特征方程为 闭环传递函数 系统开环传递函数为 特征根为 特征根为 讨论 当K 0时 s1 0 s2 2 是开环传递函数的极点 当K 0 32时 s1 0 4 s2 1 6 当K 0 5时 s1 1 s2 1 当K 1时 s1 1 j s2 1 j 当K 5时 s1 1 3j s2 1 3j 当K 时 s1 1 j s2 1 j 闭环传递函数为 开环传递函数为 将写成以下标准型 得 闭环传递函数为 开环传递函数为 将写成以下标准型 得 闭环传递函数的极点就是闭环特征方程 的根 根轨迹定义 开环系统传递函数的某一个参数变化时 闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹 上述两式分别称为满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件 我们先以根轨迹增益 当然也可以用其它变量 作为变化量来讨论根轨迹 例4 1 如图二阶系统 当Kg从0 时绘制系统的根轨迹 解 闭环传递函数 特征方程和特征根 讨论 总结 当从0变化到时 系统的根轨迹是连续的 的点称为起点 的点称为终点 本例中有两个分支 终点都在无穷远处 这里是用解析法画出的根轨迹 但对于高阶系统 求根困难 需用图解法画图 显然 只有三角形OAB是等腰三角形时 A点在根轨迹上 点显然不在根轨迹上 定义 满足相角条件的点连成的曲线称为180度等相角根轨迹 同样 满足幅值条件的点连成的曲线称为等增益根轨迹 它是在某一增益的情况下绘制的 180度等相角根轨迹和等增益根轨迹是正交的 其交点满足根轨迹方程 每一点对应一个 由于180度等相角根轨迹上的任意一点都可通过幅值条件计算出相应的值 所以直接称180度等相角根轨迹为根轨迹 在根轨迹上的已知点求该点的值的例子 上例中 若A点的坐标是0 5 j2 则根据幅值条件 一 举例说明根轨迹的概念特征方程的根为 根轨迹定义 开环系统传递函数的某一个参数变化时 闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹 令开环增益 从 变化到 用解析方法求不同 所对应的特征根的值 将这些值标在 平面上 并连成光滑的粗实线 这就是该系统的根轨迹 箭头表示随着 值的增加 根轨迹的变化趋势 根轨迹的基本概念 从系统的根轨迹图 可以获得下述信息 稳定性 因为根轨迹全部位于左半 平面 故闭环系统对所有的 值都是稳定的 稳态性能 因为开环传函有一个位于坐标原点的极点 所以是I型系统 阶跃作用下的稳态误差为0 1 j 当K 0时 S1 0 S2 1 暂态性能 当 25时 闭环特征根为实根 系统是过阻尼状态 阶跃响应为非周期过程 当 25时 两特征根重合 均为 0 5 系统处于临界阻尼状态 当 25时 两特征根变为共轭复根 系统处于欠阻尼状态 阶跃响应为衰减振荡过程 1 j 由以上分析得知 二 绘制系统根轨迹的依据 图示系统的特征方程 绘制根轨迹是求解特征方程的根 特征方程可改写为 根轨迹的基本概念 开环传函 是复变量 的函数 根据上式两边的幅值和相角分别相等的条件 可以得到 这就是满足特征方程的幅值条件和相角条件 是绘制系统根轨迹的重要依据 现进一步将绘制根轨迹的幅值条件和相角条件转换成实用的形式 根轨迹的基本概念 此时 幅值条件和相角条件可写成 根轨迹的基本概念 开环零点 开环极点 注意这个形式和求稳态误差的式子不同 需变换成这种形式 将开环传递函数写成下列标准的因子式 根轨迹的基本概念 三 根据相角条件确定根轨迹上的点 设某一系统的开环零极点如图 在 平面中的任意一点 用相角条件可以判断是不是根轨迹的点 从到各零极点连直线 用量角器量 等各个角 将量好的值代入 式 若等式成立 则就是根轨迹上的点 根轨迹的基本概念 不满足 故不是根轨迹上的点 在绘制根轨迹时 在感兴趣的区段 要比较细致地绘制 可用试探法 根据相角条件确定几个根轨迹上的点 允许有一定的误差 比如 而其它区段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来 绘制根轨迹图时 平面虚轴和实轴的坐标比例应取得一致 2 根轨迹的对称性 一般物理系统特征方程的系数是实数 其根必为实根或共轭复根 即位于复平面的实轴上或对称于实轴 用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐 下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系 根轨迹的特殊点 渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量 能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势 以下的讨论是针对参数的180度根轨迹的性质 1 根轨迹的连续性 闭环系统特征方程的某些系数是增益的函数 当从0到无穷变化时 这些系数是连续变化的 故特征方程的根是连续变化的 即根轨迹曲线是连续曲线 4 根轨迹的起点和终点 根轨迹方程为 时为起点 时为终点 3 根轨迹的支数 n阶特征方程有n个根 当从0到无穷大变化时 n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹 即根轨迹的支数等于系统阶数 当时 只有时 上式才能成立 而是开环传递函数的极点 所以根轨迹起始于开环极点 n阶系统有n个开环极点 分别是n支根轨迹的起点 我们称系统有n m个无限远零点 有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数 那么 n m支根轨迹是如何趋于无限远呢 当时 上式成立 是开环传递函数有限值的零点 有m个 故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处 若n m 那么剩余的n m个终点在哪里呢 在无穷远处 由根轨迹方程知 当时 5 根轨迹的渐近线 若开环零点数m小于开环极点数n 则当系统的开环增益Kg 时趋向无穷远处的根轨迹共有n m条 这n m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定 由根轨迹方程可得 式中 当Kg 由于m n 故s 满足根轨迹方程 上式近似为 两边开n m次方 利用二项式定理 当时 令 设s x jy 利用 1 cos 2k 1 jsin 2k 1 并根据德莫弗 DeMoive 代数定理 cosq jsinq n cos nq jsin nq 上式可写为 这是与实轴交点为 s 斜率为的直线方程 也就是渐近线方程 渐近线与实轴的夹角 称为渐近线的倾斜角 为 5 根轨迹的渐近线 渐近线包括两个内容 渐近线的倾角和渐近线与实轴的交点 倾角 设根轨迹在无限远处有一点 则s平面上所有的开环有限零点和极点到的相角都相等 即为渐近线的倾角 代入根轨迹的相角条件得 幅值条件 例4 2 系统开环传递函数为 试确定根轨迹支数 起点和终点 若终点在无穷远处 求渐近线与实轴的交点和倾角 渐近线与实轴的交点 渐近线与实轴的倾角 零极点分布和渐近线 红线 如图所示 例 求根轨迹 解 在 平面中确定开环零 极点的位置 j 确定实轴上的根轨迹 n 3 m 0 应有三个分支 并且都趋向无穷远处 确定渐近线的位置 6 实轴上的根轨迹 实轴上具有根轨迹的区间是 其右方开环系统的零点数和极点数的总和为奇数 证明 例如在实轴上有两个开环极点p1 p2 复平面上有一对共轭极点p3 p4和一对共轭零点z1 z2 先看试验点s1点 所以s1点满足根轨迹相角条件 于是 p2 p1 为实轴上的根轨迹 成对出现的共轭零点z1 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0 试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0 试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180 再看s2点 不满足根轨迹相角条件 所以不是根轨迹上的点 成对出现的共轭极点p3 p4对实轴上任意试探点构成的两个向量的相角之和为0 同样s3点也不是根轨迹上的点 绘制根轨迹的基本规则 共轭复数极点到的幅角之和为 相互抵消 因此开环共轭复数极点 零点对实轴上根轨迹的位置没有影响 仅取决于实轴上的开环零 极点 若实轴上的某一段是根轨迹 一定满足相角条件 试验点左侧的开环零 极点提供的相角为 而右侧的相角为180 点满足相角条件 所以 之间是根轨迹 绘制根轨迹的基本规则 例 单位反馈 有三个极点 根轨迹有三条分支 j n 3 m 2 有 条根轨迹 条终止于开环零点 在实轴上不同段上取试验点 例4 3 设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹 解 零极点分布如下 红线所示为实轴上根轨迹 为 10 5 和 2 1 注意在原点有两个极点 双重极点用 表示 7 根轨迹的会合点和分离点 若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开 称该点为分离点或会合点 如图所示某系统的根轨迹 由开环极点出发的两支根轨迹 随着的增大在实轴上A点相遇再分离进入复平面 随着的继续增大 又在实轴上B点相遇并分别沿实轴的左右两方运动 当时 一支根轨迹终止于另一支走向 A B点称为根轨迹在实轴上的分离点和会合点 7 根轨迹的会合点和分离点 若干根轨迹在复平面上某一点相遇后又分开 称该点为分离点或会合点 一般说来 若实轴上两相邻开环极点之间有根轨迹 则这两相邻极点之间必有分离点 如果实轴上相邻开环零点 其中一个可为无穷远零点 之间有根轨迹 则这相邻零点之间必有会合点 如果实轴上根轨迹在开环零点与开环极点之间 则它们之间可能既无分离点也无会合点 也可能既有分离点也有会合点 分离点和会合点的求法 由重根法 求极值法和作图法等 重根法 根轨迹在实轴上的分离点或会合点表示这些点是闭环特征方程的重根点 设系统开环传递函数为 即 分离角 在分离点或会合点上 根轨迹的切线和实轴的夹角称为分离角 与相分离的根轨迹的支数k有关 因闭环特征方程为 设时 特征方程有重根 则必同时满足 由此得 即 注意 由上式可求得的点是分离点和会合点必要条件 还需求出这些点对应的增益 若增益为大于零的实数 则所求出的点为分离会合点 极值法 参见教材p118图4 11 若以Kg为纵坐标 以实轴为横坐标 在根轨迹的分离点和会合点上 Kg具有极值 即 求分离回合点的另一个公式 设系统开环传递函数为 因闭环特征方程为 即闭环特征方程为 重根时还满足 实轴上根轨迹区间是 注意 分离点和会合点也可能出现在复平面上 由于根轨迹对称于实轴 所以 复平面上的分离点和会合点必对称于实轴 显然 分离回合点为 0 4725 而 3 5275不是分离回合点 闭环特征方程为 绘制根轨迹的基本规则 例 求分离点上的坐标 系统的特征方程为或 上式的根 因为分离点在 至 之间 故为分离点的坐标 而舍弃 用幅值条件确定分离点的增益 8 根轨迹的出射角和入射角 当开环零 极点处于复平面上时 根轨迹离开的出发角称为出射角 根轨迹趋于复零点的终止角成为入射角 图中有四个开环极点 一个开环零点 为共轭极点 现计算的出射角 设为 在离开附近的根轨迹上取一点s1 则s1点应满足相角条件 当时 即为离开根轨迹上的出射角 则 式中 为除了以外的开环极点到的矢量的相角 为开环零点到的矢量的相角 同样 进入复零点的根轨迹入射角为 式中 为除了以外的开环零点到的矢量相角 为各开环极点到的矢量相角 的出射角应与的出射角关于实轴对称 例4 5 如图 试确定根轨迹离开复数共轭极点的出射角 解 9 根轨迹和虚轴的交点 根轨迹和虚轴相交时 系统处于临界稳定状态 则闭环特征方程至少有一对共轭虚根 这时的增益称为临界根轨迹增益 交点和的求法 在闭环特征方程中令 然后使特征方程的实 虚部为零即可求出和 由劳斯稳定判据求解 绘制根轨迹的基本规则 续例 将代入特征方程 当时 系统出现共轭虚根 此时系统处于临界稳定状态 在确定根轨迹与虚轴的交点 求出分离点 并做出渐近线以后 根轨迹的大概趋势知道了 为了能较精确的画出根轨迹 需在分离点附近取几个试验点 使其满足相角条件 然后连成光滑曲线 最后逐渐靠近渐近线 绘制根轨迹的基本规则 方法一 闭环系统的特征方程为 将代入得 例4 6 开环传递函数为 试求根轨迹与虚轴的交点和 当时 为根轨迹的起点 开环极点 当时 即根轨迹与虚轴的交点为 方法二 用劳斯稳定判据确定的值 劳斯阵列为 劳斯阵列中某一行全为零时 特征方程可出现共轭虚根 劳斯阵列中可能全为零的行有二 共轭虚根为辅助方程的根 1 令 得临界增益为 2 令 得 开环极点 10 闭环系统极点之和与之积 开环传递函数为 闭环系统的特征方程为 即 1 设闭环系统的极点为 则 2 比较 1 2 式得 当n m 2时 即 闭环极点之积为 根据上述10个性质 或准则 可以大致画出根轨迹的形状 为了准确起见 可以用相角条件试探之 当有为零的开环极点 根轨迹作图步骤 一 标注开环极点和零点 纵横坐标用相同的比例尺 二 实轴上的根轨迹 三 n m条渐近线 四 根轨迹的出射角 入射角 五 根轨迹与虚轴的交点 六 根轨迹的分离点 会合点 结合根轨迹的连续性 对称性 根轨迹的支数 起始点和终点 闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹 渐近线 例 开环传递函数为 画根轨迹 出射角 求与虚轴的交点 此时特征方程为 解 求出开环零极点 即 实轴上的根轨迹 0 将代入得 求分离会合点 由特征方程 由图知这两点并不在根轨迹上 所以并非分离会合点 这也可将代入得为复数 渐近线 例 开环传递函数为 画根轨迹 出射角 求与虚轴的交点 此时特征方程为 解 求出开环零极点 即 实轴上的根轨迹 0 将代入得 求分离会合点 由特征方程 由图知这两点都在根轨迹上 所以都是分离会合点 渐近线 例 开环传递函数为 画根轨迹 出射角 求与虚轴的交点 此时特征方程为 解 求出开环零极点 即 实轴上的根轨迹 0 将代入得 求分离会合点 由特征方程 由图知这点在根轨迹上 所以是分离会合点 而且是三重根点 此时分离角为 小结 需掌握绘制根轨迹的十个准则根轨迹的连续性和对称性 根轨迹的支数 起始点和渐进线 根轨迹实轴上的点和根轨迹的分离点 会合点 根轨迹的出射角 入射角和虚轴的交点 闭环极点之积和之和 反馈控制系统的根轨迹分析 例 设一反馈控制系统的开环传函 绘制变化时的系统根轨迹 解 在 平面中标出开环极点 由规则二和三知 根轨迹共有四个分支 从开环极点出发 当时趋向无穷远处 由规则四 实轴上的根轨迹 反馈控制系统的根轨迹分析 渐近线的相角和交点为 求根轨迹的分离点 系统的特征方程 反馈控制系统的根轨迹分析 上式的根为 只有是实际分离点 对应分离点的值可按幅值条件确定 求根轨迹在的出射角 反馈控制系统的根轨迹分析 求根轨迹与虚轴的交点 此处利用劳斯判据 由特征方程 列劳斯表 反馈控制系统的根轨迹分析 令 得 根据行的系数写出辅助方程 将代入 得 作根轨迹图在分离点附近取n个试验点 知分离角为90 在附近取n个试验点 反馈控制系统的根轨迹分析 确定闭环极点 在上例中给定一对主导极点的阻尼比 1 画出线 反馈控制系统的根轨迹分析 线的根轨迹交点的坐标就是时 系统的一对闭环主导极点 主导极点处对应的值用幅值条件求 用试探法可找到另两个闭环极点 当时 系统的闭环传函为 反馈控制系统的根轨迹分析 根轨迹法分析系统的一般步骤 绘制系统的根轨迹图 分析根轨迹图 估计系统增益对闭环零 极点分布的影响 根据闭环零 极点的分布估算系统暂态响应指标 对高阶系统要尽可能准确地找出它的闭环主导极点 反馈控制系统的根轨迹分析 参数根轨迹绘制方法例 已知系统框图 绘制以为参数的根轨迹 反馈控制系统的根轨迹分析 解 1 系统的开环传递函数 特征方程 2 以为参变量 特征方程可写为 即 绘制的根轨迹 反馈控制系统的根轨迹分析 3 开环极点闭环极点 4 实轴上的根轨迹 5 渐近线倾角 6 会合点求 得为实际会合点 该点 7 出射角 Matlab参考书推荐 现代控制工程 美 KatsuhikoOgats 卢伯英译 电子工业出版社MATLAB控制系统设计 欧阳黎明著 国防工业出版社 三 用Matlab绘制根轨迹 num 0001 开环传递函数分子系数 降幂排列den 1320 开环传递函数分母系数 降幂排列r rlocus num den 例子 系统的开环传递函数为 试利用Matlab画出系统的根轨迹 解 打开Matlab 创建一个m文件 输入下列程序片段 例4 13 已知系统开环传递函数为 1 画出系统的根轨迹 2 计算使系统稳定的k值范围 3 计算系统对于斜坡输入的稳态误差 解 1 画根轨迹 求出射角 得 该系统有三条根轨迹 一条从原点起始 终止于开环零点 1处 另两条从原点以的出射角起始 分别终止于 3和无穷零点处 会合分离点 由方程得解得在根轨迹上 因此是会合点 不在根轨迹上 舍去 求与虚轴交点系统特征方程为劳斯表为当时 由辅助方程 可求出根轨迹与虚轴的交点为 2 由劳斯表可知当时 系统稳定 3 系统含有三个积分环节 属 型系统 型系统对于斜坡输入的稳态误差为零 例4 14 已知单位反馈系统的开环传递函数为 1 画出系统的根轨迹 2 计算当增益k为何值时 系统的阻尼比是 并求此时系统的闭环特征根 3 分析k对系统性能的影响 并求系统最小阻尼比所对应的闭环极点 当时 阻尼角 表示角的直线为OB 其方程为 代入特征方程整理后得 令实部和虚部分别为零 有解得由图可知当时直线OB与圆相切 系统的阻尼比 特征根为 对于分离点 由幅值条件可知对于会合点 有由根轨迹图可知 当时 闭环系统有一对不等的负实数极点 其瞬态响应呈过阻尼状态 当时 闭环系统有一对共轭复数极点 其瞬态响应呈欠阻尼状态 当时 闭环系统又有一对不等的负实数极点 瞬态响应又呈过阻尼状态 由坐标原点作根轨迹圆的切线 此切线就是直线OB 直线OB与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比 由上可知 此时系统的闭环极点为 例4 15 设系统A和B有相同的被控对象 且有相同的根轨迹 如下图所示 已知系统A有一个闭环零点 系统B没有闭环零点 试求系统A和B的开环传递函数和它们所对应的闭环方块图 系统A和B的闭环传递函数分别为 解 由于两系统的根轨迹完全相同 因而它们对应的开环传递函数和闭环特征方程式也完全相同 由上页图可知系统A和B的开环传递函数为 特征方程为 由此可知 系统A是一单位反馈系统 前向通路的传递函数为 系统B的前向通路传递函数为 反馈通路传递函数为 由于系统A和B有相同的被控对象 因此 系统的A的前向通路传递函数可写为 闭环方块图如下图 a 所示 系统B的闭环方块图如下图 b 所示 根轨迹相同的系统 开环传递函数和闭环极点都相同 但闭环零点却不一定相同 例4 16 已知单位反馈系统的根轨迹如下图所示 1 写出该系统的闭环传递函数 2 试用适当的方法使系统在任意K值时均处于稳定的状态 解 由根轨迹图知系统的开环传递函数为 单位反馈系统的闭环传递函数为 提示 加入比例微分控制后 系统增加了开环零点 在系统中加入零点后 将使根轨迹左移 有利于系统的稳定性 从下图可以看出 a越小 根轨迹越左 稳定性越好 a6时 根轨迹有一部分在s右半平面 clearall num1 0013 den1 1600 num2 0015 den2 1600 num3 0017 den3 1600 h1 tf num1 den1 h2 tf num2 den2 h3 tf num3 den3 rlocus h1 h2 h3 作业 4 7 4 10 4 11 小结 条件稳定系统的分析 临界稳定增益的确定 瞬态性能分析和开环系统参数的确定 阻尼角和等阻尼线 超调量 调整时间与闭环极点的关系 根据性能指标确定二阶及高阶系统的开环放大系数 开环零 极点对根轨迹形状的影响 用Matlab绘制根轨迹的方法 主根轨迹图 利用根轨迹 可以对闭环系统的性能进行分析和校正由给定参数确定闭环系统的零极点的位置 分析参数变化对系统稳定性的影响 分析系统的瞬态和稳态性能 根据性能要求确定系统的参数 对系统进行校正 一 条件稳定系统的分析 开环极点 0 4 6 零点 实