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第十三章能量法 13 1概述在弹性范围内 弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量 称为弹性应变能 简称应变能 物体在外力作用下发生变形 物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功 即 W 13 2杆件变形能计算 一 轴向拉伸和压缩 二 扭转 三 弯曲 纯弯曲 横力弯曲 13 3变形能的普遍表达式 即 线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和 所有的广义力均以静力方式 按一定比例由O增加至最终值 任一广义位移与整个力系有关 但与其相应的广义力呈线性关系 例 试求图示悬臂梁的应变能 并利用功能原理求自由端B的挠度 解 例题 悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用 设EI为常数 试求梁的应变能 当F和M0分别作用时 用普遍定理 13 4互等定理 位移发生点 荷载作用点 功的互等定理 位移互等定理 例 求图示简支梁C截面的挠度 F 例 求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移 F 13 5卡氏定理 若只给以增量 其余不变 在作用下 原各力作用点将产生位移 变形能的增加量 略去二阶小量 则 如果把原有诸力看成第一组力 把看作第二组力 根据互等定理 所以 推导过程使用了互等定理 所以只适用线弹性结构 横力弯曲 桁架杆件受拉压 轴受扭矩作用 13 6单位载荷法莫尔积分 莫尔定理 莫尔积分 例 试用莫尔定理计算图 a 所示悬臂梁自由端B的挠度和转角 13 7计算莫尔积分的图乘法 在应用莫尔定理求位移时 需计算下列形式的积分 对于等直杆 EI const 可以提到积分号外 故只需计算积分 直杆的M0 x 图必定是直线或折线 顶点 顶点 二次抛物线 例 试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角 L F 解 1 求自由端的挠度 m 1 2 求自由端的转角 例 试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角 q M 解 1 简支梁的最大挠度 2 求最大转角最大转角发生在两个支座处 例 试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A B截面的转角 CL12TU34 解 例 试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角 CL12TU35 解 例 试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移 CL12TU36 解 例 图示梁 抗弯刚度为EI 承受均布载荷q及集中力X作用 用图乘法求 1 集中力作用端挠度为零时的X值 2 集中力作用端转角为零时的X值 CL12TU37 F 解 1 F 2 例 图示梁的抗弯刚度为EI 试求D点的铅垂位移 CL12TU38 解 例 图示开口刚架 EI const 求A B两截面的相对角位移 AB和沿P力作用线方向的相对线位移 AB CL12TU39 解 例 用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面
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