7.16 位移与时间的关系.doc

戴氏教育蜀汉路校区 俞蔼函 教师：陈老师 时间：2012-7-161.6匀变速直线运动位移与时间的关系Ovt图1ABC1. 从速度图象求匀速直线运动的位移匀速直线运动的速度不随时间变化，所以其速度图象是平行于时间轴的直线。由匀速直线运动的位移公式x = v t结合速度图象可知，匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积（如图1中矩形OABC的面积）来表示。2. 从速度图象求匀变速直线运动的位移对于匀变速直线运动，上述结论也成立。Ovt图2ABCD图2中的倾斜直线AB表示一个做匀变速直线运动的速度图线。为了求出物体在时间t内的位移，我们把时间划分为许多小的时间间隔。设想物体在每一时间间隔内都做匀速直线运动，而从一个时间间隔到下一个时间间隔，物体的速度跳跃性地突然变化。因此，它的速度图线由图2中的一些平行于时间轴的间断线段组成。由于匀速直线运动的位移可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示，因此上面设想的物体运动在时间t内的位移，可用图2中的一个个小矩形面积之和（即阶梯状折线与时间轴之间的面积）来表示。如果时间的分割再细些，物体速度的跃变发生得更频繁，它的速度图象就更接近于物体的真实运动的图象，阶梯状折线与时间轴之间的面积就更接近于倾斜直线AB与时间轴之间的面积。当时间间隔无限细分时，间断的阶梯线段就趋向于倾斜直线AB，阶梯状折线与时间轴之间的面积就趋向于倾斜直线AB与时间轴之间的面积。这样，我们就得出结论：匀速直线运动的位移也可以用速度图象图线与时间轴之间的面积来表示。运用类似的分析方法可以得出，上述结论不仅对匀变速直线运动适用，对一般的变速直线运动也是适用的。3. 用公式表达匀变速直线运动位移与时间的关系由上述分析可知，做匀变速直线运动的物体在时间t内的位移x，可以用图2中梯形OABC的面积S表示。而 ，把面积及各条线段换成所代表的物理量，上式变成，将代入，可得匀变速直线运动的位移公式。图2中梯形OABC的面积S也可表示为矩形AOCD的面积S1和三角形ABD的面积S2之和，即S= S1+ S2，而，（式中k表示直线AB的斜率），故 。把面积、各条线段及斜率k换成所代表的物理量，也可得匀变速直线运动的位移公式 。匀变速直线运动的位移公式反映了位移与初速度、加速度、时间之间的关系，是计算位移的常用公式。应用此式时，也要注意符号法则，若取初速度的方向为正方向，位移和加速度都是代数量，都带有符号。4. 用公式表达匀变速直线运动位移与速度的关系由匀变速直线运动的速度公式和位移公式，消去时间t，可得 ，这就是匀变速直线运动的速度位移关系式。匀变速直线运动的速度位移关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系，在不涉及时间或不需要求时间的情况下，用这个公式分析求解问题通常比较简便。与其他匀变速直线运动的规律一样，该式在应用时也必须注意符号法则，当取初速度的方向为正方向时，加速度和位移也都带有符号。5. 两个物体加速度的比较如果已知两个物体在相同时间内从静止开始做匀加速直线运动的位移之比，怎样根据运动学的规律由此求出加速度之比？由匀变速直线运动的位移公式 ，因v0=0，故有 ，t相同，即 。6. 对匀变速直线运动规律的再认识到目前为止，我们已经学习了涉及匀变速直线运动规律的四个公式或关系式，它们是：匀变速直线运动的速度公式 匀变速直线运动的位移公式 匀变速直线运动的速度位移关系式由平均速度求位移的公式 以上四个公式或关系式共涉及匀变速直线运动的初速度v0、末速度v、加速度a、时间t和位移x五个物理量，每个式子涉及其中的四个物理量。四个公式或关系式中只有两个是独立的，即由任意两式可推出另外两式。而两个独立方程只能解出两个未知量，所以解题时需要三个已知条件才能求解。式中v0、v、a和x均为矢量，应用时要规定正方向（通常将v0的方向规定为正方向），并注意各物理量的正、负。顺便指出，在v0、v、a、t和x五个物理量中，匀变速直线运动的速度公式涉及到除x外的四个，位移公式涉及到除v外的四个，速度位移关系式涉及到除t外的四个，由平均速度求位移的公式涉及到除a外的四个。那么，还应该有一个涉及到除v0外的四个物理量的关系式，那就是，不过此式并不常用。7. 关于初速度为0的匀加速直线运动因v0=0，由公式，可得，这就是初速度为0的匀加速直线运动的位移公式。因v0=0，由关系式，可得，这就是初速度为0的匀加速直线运动的速度位移关系式。对于初速度为0的匀加速直线运动，除了上一节讲到的物体在时刻t、2t、3t、 n t的速度之比v1v2v3vn=123n之外，还有如下的一些比例关系：因加速度a为定值，由，可得。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物体通过位移x、2x、3x、 nx时的速度之比v1v2v3vn=。因加速度a为定值，由可得。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物体在时间t、2t、3t、 nt内通过的位移之比x1x2x3x n =122232n2。由上式可得x1(x2x1) (x3x2)(x nx n-1)=135(2n1)。这就是说，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，从开始计时的连续相等的时间内，物体通过的位移之比等于从1开始的连续奇数比，即xxxxN= 135(2n1)。因加速度a为定值，由可得。所以，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，物体通过位移x、2x、3x、 nx所需的时间之比t1t2t3t n =。由上式可得t1(t2t1) (t3t2)(t nt n-1)=()()()。这就是说，在物体做初速度为0的匀加速直线运动时，从开始计时起，通过连续相等的位移所需的时间之比ttttN =()()()。Oxt图2238. 匀变速直线运动的位移图象本节教材“说一说”栏目要求画出匀变速直线运动的位移图象的草图，运用初中数学中学到的二次函数知识，该草图如图223所示，图线为通过原点的抛物线的一部分。这是匀加速直线运动的位移图象，抛物线的开口向上；当物体做匀减速直线运动时，抛物线的开口向下。对于“我们研究的是直线运动，为什么画出来的位移图象不是直线”的疑问，可作如下解释：位移图象描述的是物体的位移与时间的关系，它并不表示物体运动的轨迹。例题分析例1 物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为x时的速度为v，求位移为时的速度v为多大？提示 物体在做匀加速直线运动的过程中，加速度不变。本题没有涉及时间，也不需要求时间，故可根据速度位移关系式求解。解析 由匀变速直线运动的速度位移关系式，又v0=0，可得，即，所以 ，得位移为时物体的速度 。 点悟 本题也可先由，求得，再由，求得。显然，采用比例法求解要简便一些。例2 一物体做匀变速直线运动，某时刻速度的大小为4m/s，后速度的大小变为10m/s。在这1s内该物体的（ ）A. 位移的大小可能小于4mB. 位移的大小可能大于10mC. 加速度的大小可能小于4m/s2D. 加速度的大小可能大于10m/s2提示 分成匀加速直线运动和匀减速直线运动两种情况讨论。解析 对于匀变速直线运动，有, ，选取初速度的方向为正方向，则v0=4m/s, 又t=1s。若物体做匀加速直线运动，则v=10m/s, 故 m=7m; m/s2=6m/s2；若物体做匀减速直线运动，则v=10m/s, 故m=3m; m/s2=14m/s2，即位移、加速度的大小分别为3m、14m/s2，负号表示它们的方向与初速度方向相反。可见，本题正确选项为A、D。点悟 当物体的运动状态无法确认时，须根据可能情况分别加以讨论。要注意培养思维的广阔性，克服片面性。同时，要注意矢量的正负号仅表示方向，不表示大小。例3 有一个做匀变速直线运动的质点，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别为24和64，连续相等的时间为4，求质点的初速度和加速度大小。提示 由匀变速直线运动的位移公式求解。解析 两段连续相等的时间t=4s，通过的位移分别为x1=24m, x2=64m。设质点运动的初速度为v0，加速度为a，对前一过程和整个过程分别应用匀变速直线运动的位移公式，可得x1= v0t+at2， x1+ x2= v02t+a(2t)2,由以上两式解得质点的加速度m/s2=2.5m/s2，质点的初速度 m/s=1m/s。点悟 在应用匀变速直线运动的规律解题时，要注意研究过程的选取，尽可能少设未知量。本题若分别对两段连续相等的时间应用位移公式，则将涉及中间时刻的速度，须多设一个未知量，从而多建立一个方程才能求解。本题也可直接由公式s=at2，得，解出加速度a，然后再由位移公式得到初速度v0。例4 火车以54km/h的速度前进，现在需要在车站暂停。如果停留时间是1min，刹车引起的加速度大小是30cm/s2，启动时发电机产生的加速度大小是50cm/s2，火车暂停后仍要以原速前进，求火车由于暂停所延迟的时间。 提示 火车由于暂停所延迟的时间等于其实际运行时间与预定运行时间之差。解析 火车因暂停而减速的时间为t1=s=30s，火车暂停后加速到原速所需的时间为=50s。火车从开始减速到恢复原速所通过的路程为s=s1+s2=，这段路程火车正常行驶所需的时间为s=40s。所以，火车由于暂停所延迟的时间为t=(t1+t2+t3)t=(30+60+50)s40s=100s。点悟 解答运动学问题，分析物体的运动过程是求解的关键。对于匀变速直线运动问题，一般的解题思路是：明确研究对象，建立运动途图景，规定坐标方向，列出运动方程。分析题意时，要弄清物理量中哪些是未知的，哪些是已知的，然后根据匀变速直线运动的公式或关系式列出方程，正确求解。其中，加速度是解决一般问题的关键。例5 一物体由静止开始做直线运动，先以加速度a1做匀加速直线运动，接着又以大小为a2的加速度做匀减速直线运动直到停止。已知通过全程所经历的时间为t，求该物体的总位移。提示 物体的总位移等于匀加速和匀减速两个运动阶段的位移之和。解析 设物体在匀加速和匀减速两个运动阶段的位移分别为x1、x2，经历时间分别为t1、t2。在匀加速运动阶段，因初速度为0，故有；在匀减速直线运动阶段，因末速度为0，“倒过来”看就是初速度为0的匀加速运动，故有。因a1t1=a2t2，故，又t1+ t2=t，可得 ，。从而，该物体的总位移。课后作业【巩固教材稳扎稳打】1关于物体运动的下述说法中正确的是 ( )A物体运动的速度不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等B物体运动的速度大小不变，在相等时间内位移相同，通过路程相等C匀速直线运动的物体的速度方向不会改变的运动D在相等的时间内通过的路程相等，则此运动一定是匀速直线运动2某一施工队执行爆破任务，已知导火索的火焰顺着导火索燃烧的速度是0.8 cm/s，为了使点火人在导火索火焰烧到爆炸物以前能够跑到离点火处120 m远的安全地方去，导火索至少需要多少厘米才行。（假设人跑的速率是4 m/s）( )A30 B150 C24 D123两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔内 ( )A加速度大的，其位移一定也大B初速度大的，其位移一定也大C末速度大的，其位移一定也大D平均速度大的，其位移一定也大4一物体以5 m/s的初速度、-2 m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，在4 s内物体通过的路程为 ( )A4 m B36 m C625 m D以上答案都不对【重难突破重拳出击】1某质点的位移随时间的变化规律的关系是：s=4t+2t2,s与t的单位分别为m和s，则质点的初速度与加速度分别为 ( ) A4 m/s与2 m/s2 B0与4 m/s2 C4 m/s与4 m/s2 D4 m/s与02汽车甲沿着平直的公路以速度v0做匀速直线运动当它经过某处的同时，该处有汽车乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追赶甲车，根据上述已知条件 ( ) A可求出乙车追上甲车时乙车的速度B可求出乙车追上甲车时乙车的路程C可求出乙车从开始起动到追上甲车时所用的时间D不能求出上述三者中的任一个3汽车从静止起做匀加速运动，速度达到v时立即做匀减速运动，最后停止，全部时间为t，则汽车通过的全部位移为 ( ) Avt B C2vt D4关于速度和加速度的关系，下列说法正确的是 ( )A加速度很大，说明速度一定很大B加速度很大，说明速度的变化一定很大C加速度很大，说明速度的变化率一定很大D只要有加速度，速度就会不断增加5从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动直至停车，汽车从开出到停止总共历时20s，行进了50 m。则汽车的最大速度为 ( )A5m/s B2m/s C3m/s D1m/s6一辆汽车以2m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过2秒（汽车未停下）。汽车行驶了36m。汽车开始减速时的速度是多少？ ( )A9m/s B18m/s C20m/s D12m/s7一个物体由静止开始做匀加速直线运动，第1 s末的速度达到4 m/s，物体在第2 s内的位移是 ( )A6 m B8 m C4 m D16 m8光滑斜面的长度为L，一物体由静止从斜面顶端沿斜面滑下，当该物体滑到底部时的速度为v，则物体下滑到处的速度为 ( )A B C D【巩固提高登峰揽月】15辆汽车，每隔一定的时间以相同的加速度从车站由静止开始沿平直的公路开出当最后一辆汽车起动时，第一辆汽车已离开车站320m求： (1) 最后一辆汽车起动时，第四辆汽车离开车站的距离 (2) 如果每隔5s钟发出一辆汽车，求汽车的加速度A的大小2升降机由静止开始以加速度A1匀加速上升2s后，速度达到3m/s，接着匀速上升10s后再以加速度A2做匀减速运动，3s停下来求：