三角函数的图象与性质.ppt

1 4三角函数的图像与性质 执教 克州一中阿吉买买提 2 下面我们借助正弦线 几何法 来画出y sinx在 0 2 上的图象 S x0 sinx0 1 4 1正弦函数 余弦函数的图像 为了更直观地研究三角函数的性质 可以先作出它们的图象 3 知道如何作出y sinx的图象的一个点 就可以作出一系列的点 例如 在单位圆中 作出对应于的角及相应的正弦线 相应地 把x轴上从0到2 这一段分成12等份 把角x的正弦线向右平移 使它的起点与x轴上表示数x的点重合 再用光滑的曲线把这些正弦线连结起来 既得到正弦函数y sinx在 0 2 区间上的图象 如图所示 链接 4 最后我们只要将函数y sinx x 0 2 的图象向左 右平移 每次2 个单位 就可以得到正弦函数y sinx x R的图象 如图所示 正弦函数的图象叫做正弦曲线 sinecurve 正弦曲线 以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线 也可以利用图形计算器 计算机作出正弦曲线 5 用描点法 代数法 作出正弦函数在 0 2 上的图象 然后由周期性就可以得到整个图象 1 列表 2 描点 3 连线 五点法 由上图可以看出 函数y sinx x 0 2 的图象上起着关键作用的点有以下五个 0 0 1 0 1 2 0 6 观察正弦和余弦曲线 如下图 的形状和位置 说出它们的异同点 y cosx y sinx 它们的形状相同 且都夹在两条平行直线y 1与y 1之间 但它们的位置不同 正弦曲线交y轴于原点 余弦曲线交y轴于点 0 1 由cox sin x 可知y cosx图象向左平移个单位得到 余弦函数的图象叫做余弦曲线 y cosx图象的最高点 0 1 与x轴的交点 0 0 图象的最低点 1 7 事实上 描出五点后 函数y sinx x 0 2 的图象形状就基本确定了 因此在精确程度要求不高时 我们常常找出这五个关键点 然后用光滑曲线将它们连结起来 就得到函数的简图 今后 我们将经常使用这种 五点 画图 法 例1画出下列函数的简图 1 y 1 sinx 2 y cosxx 0 2 8 例2用 五点法 画出下列函数的简图 y sin2xx 0 2 描点画图 然后由周期性得整个图象 如图所示 y sin2x y sinx 两图象有何关系 9 练习1 画出下列函数的简图 并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系 1 y sinx 1 2 y 2sinx y sinx 1 y sinx y sinx 1的图象可由正弦曲线向下平移1个单位 10 y sinx y 2sinx 2 画出下列函数的简图 并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系 2 y 2sinx y 2sinx的图象可由正弦曲线上的每一点的纵坐标变为原来的2倍 横坐标不变 11 2 画出下列函数的简图 并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系 1 y 1 cosx 2 y cos x y 1 cosx的图象可由余弦曲线向上平移1个单位 可由余弦曲线上每一点向左平移个单位得到 y 1 cosx y cosx y cosx y cos x 12 周期性的有关概念 那么函数f x 就叫做周期函数 periodicfunction 非零常数T叫做这个函数的周期 period 一般地对于函数f x 如果存在一个非零常数T 使得定义域内的每一个x值 都满足f x T f x 最小正周期 对一个周期函数f x 的所有周期中存在最小的正数 那么这个最小正数就叫做这个函数的最小正周期 正弦函数和余弦函数都是周期函数 2k k z且k 0 都是它们的周期 它们最小的正周期都是2 正切函数也是周期函数 其最小的正周期是 1 4 2正弦函数 余弦函数的性质 13 说明 当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值 函数值就重复出现时 这个函数就叫做周期函数 设f x 是定义在实数集D上的函数 若存在一个常数T T 0 具有下列性质 1 对于任何的x D 有 x T D 2 对于任何的x D 有f x T f x 成立 则f x 叫做周期函数 若函数f x 不是当x取定义域内的 每一个值 时 都有f x T f x 成立 则T就不是f x 周期 今后本书所说的周期 如果不加特别说明 一般都是指函数的最小的正周期 14 要重视 T 0 且为常数这一条件 若T 0 则f x T f x 恒成立 函数值不变没有研究价值 若T为变数 则失去了周期的意义 若函数y f x 的周期为T 则y Af x 的周期为 其中A 为常数 且A 0 0 若在函数的定义域内至少能找到一个x 使f x T f x 不成立 我们就断然函数f x 不是周期函数或T不是函数f x 的周期 15 y sinx x R y cosx x R 定义域 值域 周期性 x R y 1 1 T 2 我们得到正弦 余弦函数定义域 值域 周期 y sinx y cosx 16 正弦 余弦函数的奇偶性 y sinx sin x sinx y sinx 是奇函数 cos x cosx y cosx 是偶函数 定义域关于原点对称 y sinx 17 正弦函数的单调性 y sinx x R 增区间为 其值从 1增至1 减区间为 其值从1增至 1 18 余弦函数的单调性 y cosx x R 增区间为 0 其值从 1增至1 减区间为 0 其值从1增至 1 2k 2k k z 2k 2k k z 19 正弦 余弦函数的对称轴 对称中心 y sinx y cosx 函数 轴 中心 20 1 先用 五点法 画一个周期的图象 列表 例1用 五点法 画出下列函数的简图 1 y 2cosxx R 2 y sin2xx R 描点画图 然后由周期性得整个图象 如图所示 y 2cosx y cosx 两图象有何关系 21 例2求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合 1 y cos 解函数的y cos的最大值为1 因为使cosz取得最大值的z的集合为 z z 2k k z 令z 由于 2k 得x 6k 所以 使函数y cos取得最大值时自变量x的集合为 z z 6k k z 练习函数y sinx的值域是 A 1 1 B 1 C D B 22 解函数的y 2 sin2x的最大值为2 1 3 因为使sinz取得最小值的z的集合为 令z 2x 由于2x 2k 得 所以 使函数y 2 sin2x取得最小值时自变量x的集合为 例2求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合 2 y 2 sin2x 练习求下列函数的最小值及取得最小值时自变量x的集合 1 y 2sinx 2 y 2 cos 23 例3不通过求值 指出下列各式大于0还是小于0 1 sin sin 2 cos cos 又y sinx在上是增函数 又y cosx在 0 上是减函数 解 1 24 1 sin2500 sin2600 2 cos cos 练习1不求值 分别比较下列各组中两个三角函数值的大小 1 sin2500与sin2600 2 cos与cos 练习2利用函数的性质 比较下列各题中两个三角函数值的大小 1 sin103045 与sinsin164030 2 sin5080与sin1440 3 cos7600与cos 7700 4 cos与cos 4 cos cos sin103045 sinsin164030 2 sin5080 sin1440 3 cos7600 cos 7700 25 解 1 y 2sin x 2sinx 例4求下列函数的单调区间 1 y 2sin x 2 y sin 2x 所以单调增区间为 函数在上单调递增 函数在上单调递减 单调减区间为 26 例4求下列函数的单调区间 2 y sin 2x 所以单调增区间为 单调减区间为 解 2 令z 2x 函数y sinz的单调增区间为 函数y sinz的单调减区间为 27 所以单调增区间为 3 y sin x 解 3 令z x 函数y sinz的单调增区间为 函数y sinz的单调减区间为 所以单调减区间为 28 1 了解正弦函数图象 代数描点法 几何描点法 余弦函数图象 代数描点法 几何描点法 平移变换法 的画法 除了它们共同的代数描点法 几何描点法之外余弦数图象还可由平移变换法得出 这节课讲授的 五点法 是比较常用的方法 应重点掌握 2 掌握正 余弦函数的性质 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 对称轴 对称中心 会求最小正周期 回顾总结 求函数的单调区间 直接利用相关