由直线X0X+Y0YR2与圆的位置关系引申的一组结论.doc

由直线x0x+y0y=r2与圆的位置关系引申的一组结论宁海县知恩中学 马燕红（315600）在高二解析几何圆锥曲线这一章中，有这样一道题目：已知圆C的方程：x2+y2=r2(r0)，定点M（x0，y0）,直线l：x0x+y0y=r2,有如下两组论断： 第（）组 第（）组a. 点M在圆C内且M不为圆心 直线l与圆C相切b点M在圆C外 直线l与圆C相交c点M在圆C上 直线l与圆C相离由第（）组论断作为条件，第（）组论断作为结论，写出所有可能成立的命题 （将命题用序号写成形如pq的形式）.这道题目只需通过点M的位置比较圆心O（0,0）到l：x0x+y0y=r2的距离d与半径r的大小关系即可.（）若|OM|r；若|OM|= r，则d=r；若|OM| r，则dr，dr，这时直线l:x0x+y0y=r2是与直线OM垂直且与圆C：x2+y2=r2相交的直线，设直线l与圆的交点为A、B，与直线OM的交点为P，连结AM、BM、OA、OB，如图2.|OM|OP|=|OM|d=r2=|OA|2 OAMOPAOAAM 同理OBBM由以上证明可见：直线l:x0x+y0y=r2是过圆外的点M作圆的切线时两个切点的连线，并且由（）可知：|OM|越大，直线l离原点越近.xyOlM(x0，y0)图3PBA当点M（x0,y0）在圆C内时，|OM|r，这时直线l:x0x+y0y=r2是与直线OM垂直且与圆C：x2+y2=r2相离的直线，设直线l与OM交于点P，过圆内点M作OM的垂线交圆于A，B两点，连接AP，BP，OA，OB，则|OP| |OM|=|OM| d=r2=|OA|2=|OB|2 . 如图3.OAMOPA OAAM 同理OBBM由以上证明可见：直线l：x0x+y0y=r2是过A,B两点切线的交点且垂直于OM的直线，并且由（）可知：|OM|越小，直线l离原点越远.从以上三种情况分析得到：点M与直线l的相互制约关系是：点M从圆外运动到圆内，直线l保持垂直于OM从圆内运动到圆外（从相交、相切到相离）. 特别地，当P点在圆心O时，直线l在无限远处；当P点在无限远处时，直线l过圆心O.有了上述的性质，我们猜想在椭圆、双曲线、抛物线的背景下，情况会是怎样的呢？下面就以椭圆为例说明，为了叙述的方便，以下就以结论的形式给出：结论1：若点M（x0，y0）是椭圆上一点，由中学教材中导数知识，易知直线是椭圆的以点M为切点的切线.结论2：若点M（x0，y0）是椭圆外一点，MA，MB是椭圆的两切线，则过切点A、B的直线方程为.xyOM(x0，y0)BA证明：如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则直线MA、MB的方程分别为和直线MA，MB都过点M（x0，y0），由以上两式可知：点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线上，故A、B所在直线方程为.xyOM(x0，y0)BAP结论3：若点M（x0，y0）是椭圆内异于中心的一点，AB为以M为中点的弦，分别以A、B为切点的切线交于点P，则过P且平行于AB的直线方程为：.证明：如图，设点P（m，n），由结论2知：直线AB的方程为点M为弦AB的中点由点差法可得直线AB的方程为方程、表示的是同一条直线，设过点P（m，n）与AB平行的直线方程为：将代入得所求直线方程为，即按照以上思路，我们可得双曲线、抛物线的类似结论.设点M（x0，y0），双曲线方程为，当点M在双曲线上，则直线表示双曲线的以M为切点的切线当点M在双曲线外，则直线表示由M向双曲线引的两条切线，切点弦所在的直线方程当点M在双曲线内，则直线表示过以M为中点弦的两端所引两切线交点，且平行于该弦的直线方程.设点M（x0，