抢渡长江论文(8.17-8.19).doc

抢渡长江论文摘要本文以“抢渡长江”为主题，旨在解决游泳者如何寻找最佳的竞渡路线。问题一：游泳者的速度和水流速度在游泳过程中大小、方向均是不变的，根据物理学中速度合成可知，合速度也是不变的。利用直线运动时间最短原理、矢量合成与分解原理（正交分解）和matlab软件，我们计算出2002年游泳者中第一名游泳者以的速度沿与水流方向成的路线到达终点。当游泳者以的速度前进，并且到达终点时，其所用原理同上述原理相似，求得所用时间为。问题二：游泳者速度始终垂直于江岸，则，设渡江所需时间为t，则t完全取决于江面宽度，而游泳者能否到达终点则取决于起点与终点间的水平距离。可知，当游泳者速度始终垂直于江岸，且江面宽度为定值时，越小，水的流速越大，对游泳者的速度要求越高。问题三：本小题讨论的是水流速度随着游泳者离岸边的距离分成了三段的情况，但是在每一段中水流速度是恒定不变的，所以在问题三中我们只要利用matlab和lingo软件计算出每一段宽度中游泳者所用的最短时间及其相对应的路线，然后叠加所得即为游泳者所应选择的最佳路线和最理想成绩。问题四：本小题讨论的是流速随着游泳者离岸边距离连续变化的情况，利用微分原理将长江的宽度分成一个个小段，然后用每一小段的中间位置的流速代替该段连续变化的流速。并求出每一小段的游泳者所用的时间和路线，然后将每一小段的时间相加近似为所求的渡江最短时间，将每一小段的路线连接起来即为竞渡最佳路线。关键词：抢渡长江 矢量合成与分解 mathlab软件 lingo软件 微分 最佳路线 一、问题重述1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米。 回答以下问题:1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2. 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3. 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ： 游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。5. 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。6. 你们的模型还可能有什么其他的应用？ 二、问题分析问题一：游泳者速度和方向不变，根据物理中速度合成可知，合速度也是保持不变的。根据两点之间直线最短原理以及速度分解原理，我们将合速度的方向与起始点之间的线段保持在同一条直线上。问题二：当游泳者始终以和岸边垂直的方向游时，游泳者能够以该速度用最少的时间到达对岸，但能否到达指定地点取决于起点与终点间的水平距离。通过计算当起点与终点间的水平距离为时，游泳者的最小速度为，所以速度为的游泳者不能到达终点。在这两次比赛中，到岸比例如此悬殊的最关键原因是起点到终点的水平距离有很大的差距，导致对游泳者的最小游泳速度的要求不同。问题三：将江面分成三个区域，每个区域内的流速不变，游泳速度的方向也不改变，在区域内部的游泳路径是直线。要想得到最短时间，必须综合考虑三个区域的时间之和作为目标函数进行优化。由于区域1和区域3对称，可以合并考虑，简化为两个区域的综合优化问题。问题四： 利用微分思想，将连续问题离散化。我们将0,200分为n等分，每个区域的宽度为常数，在小区间内，将流速看成常数，取小区间中间的流速作为代表，设小区间内方向角也不变，在各小区间内的游泳轨迹为直线。在江中间一段，采取问题三中的方法解决。最后200米与前200米对称。三个区域合起来考虑，使渡江总时间最少。问题五：应用该模型，根据上述问题给予游泳者以实用的游泳建议，并写一篇主题策略文章。问题六：发散思维，展开想象，联系实际，写出应用领域。三、模型假设 1）.假设1934年，2002年的水温，水流，水深都基本不变；2）.运动员身体健康，都拥有足够横渡长江的体力，在水流不变的游泳过程中速度大小和方向均能保持不变； 3）.假设长江两岸平行垂直距离为，江面没有任何障碍物；4）.前三问不变；四、符号说明:游泳者速度与水速的夹角 ：游泳者的速度 ：水的速度：水流速度和游泳者速度的合速度:合速度与水流速度的夹角 :江面宽度1160米: 是终点与起点的水平距离1000米，：每一段游泳者所游角度，：每一段游泳者所通过水平距离，：每一段游泳者所通过竖直距离五、模型的建立与求解问题1-1: 第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向，假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，竞渡区域两岸为平行直线，且竞渡区域每点的流速均为。 1160m1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀起点: 武昌汉阳门先判断角的类型，第一名游泳者所用时间，要大于所以角为钝角，作出如下图（一）图（一）对进行正交分解，得到：竖直方向的分速度：， 水平方向的分速度：根据：速度时间=路程，可得： （1）将，代入（1）式，由matlab软件求得结果(程序见附录1) ： 也就是， 再根据图（一），由正切定理，得 利用matlab软件求得（程序见附录二）： 所以他按与水速方向成的路线前进。问题1-2：试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。仍根据上题对速度正交分解的原理，列出： （2）将，代入（2）式，（程序见附录三），得到：，也就是，也就是，。 从最优解角度讲，游泳者最好选择与水流方向夹角为，所用时间大约是15分10秒。问题2-1：游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据游泳者垂直方向游泳，即，水速已知，且水平距离恒定，所以: 泳种世界纪录保持者400m自由泳3分40秒07彼得曼800m自由泳7分32秒12张琳1500m自由泳14分31秒02孙杨 图（二）已知1500米世界纪录约为14分31秒，合，很显然，要想达到如此高的速度很难，连专业运动员都很难做到。在这两次比赛中，到岸比例如此悬殊的最关键原因是起点到终点的水平那么游泳者要到达对岸，速度必须为 ，而第一问中所给速度为，,因此游泳者不能成功到达终点。问题2-2：1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件？1934年，游泳距离是米，44人参赛有40人完成， 完成者所占百分比为90.9%，所以假设有最小速度，根据相似三角形，可得：，而2002年186人仅34人完成，成功者所占百分比为18.3%，根据相似三角形可以得到： 选手条件：选手的速度必须要达到1.43m/s，并且要选择正确的速度方向。，问题3：试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。江水在不同流域中的的水流速度如下：，由此可以把游泳者游泳路线分成三段：0到200米为第一段，用时为；200到960米为第二段，用时为；960到1160米为第三段，用时为，总时间为t。游泳者的游泳路程可分为水平方向的距离，竖直方向的距离；将游泳者速度进行，得 竖直方向分解：水平方向分解：游泳者游泳路程水平方向的距离=， 竖直方向的距离= 而且水平方向总距离为1000m，可以得到 ：由此我们建立模型如下：目标函数： ；约束条件： 由lingo软件运行结果（程序见附录4），得：总用时t= 904.02s（15分4秒），也就是，。写出分界坐标（0,0），（96.83,200），(903.17,991.27)，(1000,1160) 由两点式得到：y= ,根据此式画出下图： 图（三） 问题4：流速沿离岸边距离为连续分布，如下： 由式可知，y取不同值时，水的流速不同，所以先利用微分原理将0到200米分一个个小段，这里我们将第一段和第三段进行20等分，然后用每一小段的中间位置的流速代替该段连续变化的流速，并求出每一小段的游泳者所用的时间和路程。而对于200，960这一段有宽度760米，v2.28，角度不变。而式的原理和式一样，所以可一起求。 对于第一段和第三段，可以对时间进行求和得到， 第二段时间为tt，总时间为：。将游泳者速度进行竖直方向分解：水平方向分解：游泳者在第一段流域中游过的水平距离表示为：，（第三段同第一段游过的水平距离相同）游泳者在第二段流域中游过的水平距离表示为：有上述分析，我们可以建立如下模型，即：所以由lingo软件（见附录6）可以求出最优时间t=881.75s（14分42秒）。再由lingo软件（见附录6）所得到的数据利用matlab软件（见附录7）做出下图（渡江线路图2） 图（四）问题5：给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。渡江作为一项历史悠久的运动，为广大游泳爱好者所热衷，但是许多参加者往往无法顺利到达终点，究其原因，速度和选择方向往往是关键，如问题二中的讨论，若达不到一定的速度，则不管选择怎样的角度，都无法到达终点；题中也说到有些游泳者因为线路选择错误，有再快的速度也难达到自己的目标。所以要想成功，关键是选择横渡时的角度，即要确定竞渡者的速度方向。大多数选手没有参加过竞渡活动，因此在下水后往往会因为不适应湍急的水流，而失去了方向，从而远离目的地。人在江河里游泳，不仅自身有个速度，江河也有个速度，两个速度的合成才是人在江河中最终的速度，但是有些没有经验的人往往会忽视水的流速，简单的认为水是静止的，才造成题中大部分选手未完成比赛。 游泳渡江之前最好先下水大致感觉一下水速的大小和方向，若水速比较稳定，则可据自己的速度，通过上述问题一的计算，便可确定自己游泳的方向，并且容易控制自己的游泳进程。若水速不稳定，则应按照一条曲线来竞渡，根据第三.四问的计算，若人自身的速度始终沿着一个方向，则可以较快的速度到达终点，为此，可选择一定的参照物，如桥梁，对岸的建筑物等，来固定自己游泳的方向，即使游泳过程有所偏差也可不断调整自己的方向，以达到预期目的。广大游泳爱好者参加竞渡，要有一定的身体条件和心理条件，但最重要的是有一种数学思维，选择一个合适的竞渡角度，结合自己的优势就可事倍功半。问题6：所建模型还可能有什么其他的应用？根据第三，第四题所建的模型，可以将其应用到航空航天，沙漠探险，航海， 光的折射模型等领域，比如针对飞机飞行，空中存在的气流好比水的流速，飞机要到达目的地，也必须调整速度的大小与方向，这点飞机上有专门应用仪器，所以此模型有很强的实用性。六模型的优缺点分析 由上述结果可知，模型四中的总时间要比模型三中的总时间要少，说明模型四的方案更加优化，但是由于模型四中的游泳者要不断变化速度方向，所以这样做过于繁琐，实际操作较为困难。毕竟在长江中还有太多不确定的因素，如：涡流，水草等，要求选手完全做到模型四中显然是不可能的。 模型优点：集合了线性与非线性和连续与非连续的优化功能；可以使模型更加具有说服性和严谨性。 模型缺点：模型趋于理想化，不符合实际情况。七参考文献1刘卫国，MATLAB程序设计教程教程，北京：中国水利水电出版社，2010.22 朱道元等，数学建模案例精选，北京：科学出版社，2003.33 赵静，但琦等，数学建模与数学实验，北京：高等教育出版社，20004启帆，谈之奕，何勇，数学建模，杭州：浙江大学出版社，1999.85范金城，梅长林，数据分析，北京：科学出版社，2010.2,1081096何哲明，罗佑新,最低成本工艺的lingo优化方法：常德出版社，2002（3） 7 姜启源等.数学模型M . 北京 高等教育出版社,2003.8韩中庚.数学建模方法及其应用M .北京 高等教育出版社，2005附录1:首先建立Untitled1.m文件运行得到s a: 2x1 sym v: 2x1 sym再输入：s.aans = -1.0916028087210428093184043443117 2.0499898448687504291442390389678接着输入：s.vans = -1.5415543398923271937704967523179 1.5415543398923271937704967523179然后转换：s.a*(180/pi)ans = -62.544233844342246196412812560249 117.45576615565776004860078374965附录2：首先建立Untitled2.m文件运行得到satan(29/25)然后转换：x=atan(29/25)*(180/pi)x = 49.2364 附录3：首先建立Untitled3.m文件运行得到s a: 2x1 sym t: 2x1 sym再输入：s.aans = 2.1267681758633934027469448799744 2.7334988798371771406651932676756接着输入：s.tans = 910.45952780019993399825020762252 1948.6282870398272954095101735892然后转换：s.a*(180/pi)ans = 121.85484047970927846044644685866 156.61794911840841225017623490500附录4：min=t1+t2+t3;1.5*sin(a1)*t1=200;1.5*sin(a2)*t2=760;1.5*sin(a3)*t3=200;(1.5*cos(a1)+1.47)*t1=x1;(1.5*cos(a2)+2.11)*t2=x2;(1.5*cos(a3)+1.47)*t3=x3;x1+x2+x3=1000;a1=1.57;a1=1.57;a2=1.57;a3=3.14;Local optimal solution found. Objective value: 904.0228 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost T1 164.9264 0.000000 T2 574.1700 0.000000 T3 164.9264 0.000000 A1 2.200094 0.000000 A2 2.060583 0.000000 A3 2.200094 0.000000 X1 96.83405 0.000000 X2 806.3319 0.000000 X3 96.83405 0.000000 附录5：xlabel(x);ylabel(y);title(渡江线路图);grid online(0,96.83405,0,200);hold online(96.83405,903.1660,200,960);hold online(903.1660,1000,960,1160);hold on附录6：model:sets:fd/1.20/:a,t;endsetsmin=2*sum(fd(i):t(i)+tt;for(fd(i):1.5*sin(a(i)*t(i)=10);sum(fd(i):(0.114*i-0.057+1.5*cos(a(i)*t(i)*2+(2.28+1.5*cos(b)*tt=1000;1.5*sin(b)*tt=760;bnd(1.57,b,3.14);for(fd(i):bnd(0,a(i),3.14);data:ole(shuju1.xls,a)=a;ole(shuju1.xls,t)=t;EnddataLocal opt