§2 两类曲线积分.doc

2 两类曲线积分(数学二、三不要求)【考试要求】1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2. 掌握计算两类曲线积分的方法.3. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.4. 会用曲线积分求一些几何量与物理量.一、基本概念1. 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)(1) 定义: ，其中为坐标面内的一条光滑曲线， 为将进行任意分割时各小弧段长度中的最大值，为各小弧段上任取的一点.类似地可定义: .(2) 性质(与重积分类似) 线性: (为常数). 可加性: ，其中. 中值定理: 若在上连续，则至少存在一点，使得，其中为曲线的长度. 对称性:若关于轴对称，则其中为对应于的部分.若关于轴对称，则其中为对应于的部分.若关于，具有轮换对称性(即，互换后，不变)，即关于直线对称，则. 积分与积分路径方向的无关性:若的两个端点为与，则.注 三元函数在空间曲线上对弧长的曲线积分有类似的结果.2. 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)(1) 定义: 其中为坐标面上的有向光滑曲线弧，为将进行任意分割时各小弧段长度的最大值， 为各有向小弧段上任取的一点.(2) 性质(与对弧长的曲线积分类似，以下仅列出两条) 其中. 其中为取反方向的曲线弧.注 类似地可定义，并有类似的性质.二、重要结论1. 对弧长的曲线积分的计算方法化为定积分(1) 在参数方程下，若，则.(2) 在直角坐标系下，若，则.若，则.(3) 在极坐标系下，若，由于，所以.注1 将的参数方程代入被积表达式即可，为弧微分.注2 定积分的下限应小于上限，即.注3 对有类似的结果.2. 对坐标的曲线积分的计算方法化为定积分(1) 在参数方程下，若为起点的参数，为终点的参数，则(2) 在直角坐标系下，若起点的横坐标为，终点的横坐标为，则.特别地，若(为常数，)，则;若(为常数，)，则.注1 将曲线的方程代入被积表达式即可.注2 定积分的下限是起点的参数，上限是终点的参数，积分下限不一定小于积分上限.注3 对有类似的结果.注4 两类曲线积分的计算过程:(1) 画出积分曲线的图形;(2) 选取适当的坐标系，并写出曲线的参数方程;(3) 将的方程代入被积表达式化为定积分并计算其值.3. 两类曲线积分之间的关系其中，是平面上有向曲线弧的切向量的方向余弦.类似地有其中，是空间有向曲线弧的切向量的方向余弦.4. 格林公式设闭区域由分段光滑的封闭曲线围成，函数与在上具有一阶连续的偏导数，则 ，其中是的边界曲线取正向.注1 使用格林公式前要注意验证条件，特别要注意的方向.注2 若不是封闭曲线，则在使用格林公式时要添加适当的辅助线，一般是添加平行于坐标轴的直线，这样会使计算简单.注3 若是由曲线与所围成的复连通区域，且在上，则，其中与互为反方向.注4 格林公式的几何意义: ，其中为由所围成闭区域的面积.5. 平面上的曲线积分与路径无关的条件设函数，在单连通区域上具有一阶连续的偏导数，则以下四个命题等价:(1) 在内与路径无关;(2) 对任意的点，均有;(3) ，其中为任一简单分段光滑闭曲线;(4) 在内存在函数，使得，且,此时称为二元变上限的函数或称为二元函数全微分的原函数，是内一个适当的点，利用在折线上的第二类曲线积分求得，也可以利用下面的不定积分方法求出.设(将看作常数),令(将看作常数)，解出代入上式即得.6. 曲线积分的应用(1) 表示曲线弧的弧长.(2) 表示占有平面上曲线，线密度为的曲线形构件的质量.(3) 当时，表示以为准线，母线平行于轴的柱面的面积.(4) 曲线形构件的质心坐标 ，.(5) 曲线形构件的转动惯量，.(6) 变力沿曲线所作的功，其中变力，为质点运动的曲线.注 以上关于平面上的曲线积分的结论都可以推广到空间上的曲线积分.(7) 环流量向量场沿有向闭曲线的环流量为，其中为流体流动时经过的曲线.三、典型例题题型1 计算对弧长的曲线积分例1 计算，其中为从经至的折线.解 画出的图形,利用直角坐标计算.因为在上所以例2 计算，其中为内摆线(星形线).解 画出的图形,利用直角坐标计算较复杂,将用参数方程表示为,于是注 可利用对称性简化为计算其中为沿星形线位于第一象限部分的积分.例3 计算，其中为圆周，直线及轴在第一象限内所围成图形的边界曲线.解 画出的图形,在直线与上选为参数, 在上选为参数,利用可加性得例4 计算，其中是曲面与平面的交线.解 取为参数,将表示为由方程组确定的隐函数的求导法可得于是由于被积函数关于是偶函数,关于坐标面对称(即用代替时,被积函数与的方程都不变), 所以例5 计算，其中为.解 曲线的极坐标方程为即因为积分曲线和被积函数均关于及轴,轴对称,所以题型2 计算对坐标的曲线积分例1 计算,其中为曲线，其方向从原点经到.解 画出的图形, 利用可加性得例2 计算，其中是从点到点的直线段.解 是空间直线段,它的参数方程为代入被积表达式得例3 计算，其中为曲线上由点经点到点的有向曲线弧.解 的参数方程为代入被积表达式得题型3 格林公式的应用例1 计算，其中为沿着的上半圆周从经再到的闭曲线.解 画出的图形,利用格林公式得例2 计算，其中分别为 (1) 连接,与的有向折线; (2) 抛物线弧:.解 因为积分曲线不是封闭的,所以不能直接使用格林公式,而直接化为定积分计算有较大困难,因此先添加辅助线,与原曲线构成闭合曲线,再使用格林公式及曲线积分的性质即可.(1) 由格林公式得 （2）作辅助线 由格林公式得 例3 计算，其中是以为中心，半径为的圆周取逆时针方向.解 当时, 在上的曲线积分不满足格林公式的条件,取一足够小的椭圆(足够小) 使位于内,且取逆时针方向.由与构成一条封闭曲线,利用格林公式有即 题型4 曲线积分与路径无关例1 设曲线积分与路径无关，其中为连续可导函数， ，求.解 先求,再求因为曲线积分与路径无关,所以即又因为,取折线计算例2 设函数在坐标面上具有一阶连续的偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的恒有，求.解 因为曲线积分与路径无关,所以 即 上式两边对求导得即例3 设当时，有连续的导数，求,其中点与分别为与.解 因为当时所以所求曲线积分在上半平面()与路径无关,取点则 例4 设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则等于( ).（A） （B） （C） （D）解 由曲线积分与路径无关的条件得 即 且解上述一阶线性非齐次方程,得通解 将代入上式得特解 故（B）正确.题型5 二元函数全微分求积例1 证明:在坐标面上，为某个二元函数的全微分，并求这样一个二元函数.证明 因为在坐标面上, 所以在坐标面上，为某个二元函数的全微分,即下面求.方法1 利用曲线积分求.或 方法2 利用不定积分求.设为所求函数,则而所以故取则例2 计算，其中为上从点到点的有向曲线段.解 因为当时, 所以在区域内，被积函数为某个二元函数的全微分.事实上所以 题型6 曲线积分的应用例1 求曲面的边界曲线的质心(设曲线的线密度).解 画图.曲线的质量为 设曲线的质心为由对称性可知因为所以 从而 质心坐标为例2 在变力的作用下，一质点由坐标原点沿直线运动到椭球面上的点处，问，取何值时，力所作的功最大，并求最大值.解 直线的参数方程为 因为点在椭球面上,所以作辅助函数解方程组得唯一可能的极值点由实际意义, 唯一可能的极值点即为取得最大值的点,最大值为题型7 证明题例1 设为正值连续函数，为取逆时针方向