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对于单摆问题的思考 制作人 苏晨PB04203233 从高中课本中 我们就曾学到 当单摆摆角很小时 其运动可视为简谐振动 可以用简单的线性微分方程来表述 但当摆角很大时其运动方程又该如何表示呢 单摆的运动方程可写成 此方程为非线性方程 其中为单摆的固有频率 下面将分大 小角度来讨论该方程 小角度摆动当摆角 很小 在无阻力作用下自由摆动 单摆运动可看作简单的周期运动 如图1所示将 式中的sin 用泰勒公式展开因为摆角 很小 故可只取展开式的第一项 此时 式可简化为线性方程 是我们常讨论的形式 图1 大角度情况当单摆的摆角 很大时 则就不能简单近似 这时需求求解非线性方程 图2为初始摆角 由逐渐增加到接近时单摆运动周期的变化情况 图2 t 90 180 t t t t 90 90 90 90 180 180 180 180 由图2可以看出 当 0接近180时 单摆的周期将迅速趋向无穷大 这意味着 0 的位置是单摆运动中的一个不稳定平衡点 显然 当单摆的能量正好为摆球到达不稳定平衡点所需能量E0时 摆球接近该点又不超越该点的时间是无穷大 当摆的能量大于E0时 摆球的运动将不再是摆动 而是围绕悬挂点的转动 由此图也可以看出 摆角越小 系统的线性特性越明显 参考书目 力学 杨维纮著 中国
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