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长沙事业单位行测答题技巧：逻辑中数学思维的运用-容斥问题【导读】数学是逻辑的基础，在很多考生在做逻辑题目的时候，有时也需要借助一些数学思维，其中比较典型的就是逻辑中的容斥问题。所谓容斥问题，是指根据两个集合间的关系(一般考相容或相斥)的情况来判断集合整体数字的最大情况或最小情况。在逻辑中，关于容斥问题的考查根据出题形式主要有两种：第一种为结论型(即直接推出结论)，第二种则为冲突型(即问选项与题干冲突的或相符的)。本文将就这两种题型分别进行阐述。一、何为容斥?在讲授两种题型之前，我们首先要了解一下容斥的含义，所谓容斥，是根据集合间的关系来讲的，在数学中，集合间的关系共分为五种，分别问全同、全异、交叉、包含、包含于。容，即指一个集合的范围一定是完全在另一个集合的范围里面的，比如中国人和人的集合，中国人的范围一定在人的范围里面，那么就可以说它们之间是包含的关系，也可以说是相容的;再比如土豆和马铃薯，土豆的集合范围和马铃薯是一样的，那么也可以说土豆(马铃薯)范围一定在马铃薯(土豆)的范围里面，它们之间是全同的关系，但也可以说是相互相容的。根据前文的两个例子，所谓的容，其实包含了集合间五种关系的三种，即全同、包含和包含于。斥，即两个集合范围相互排斥，即两个集合间的关系是一种全异关系，比如桌子和椅子，它们的范围就是相互排斥的关系。了解完容斥问题的含义，它对我们做题有什么帮助呢?其实容斥问题是考查集合范围最大(多)情况和最小(少)情况的核心点，比如给一群人，这群人里面有10个女生和15个游泳爱好者，并且女生和游泳爱好者涉及到这群人所有人了，那么这群人的最多和最少是什么呢?对于这个问题，很多人一眼就可以看出来，最多一定是25个人，最少是15个人。对于这个一眼就可以知道答案的题目，很多人都觉得很简单，但是这个简单的背后我们需要思考它的深层次原因，为什么最多就是25个人，最少就是15个人。这里面就需要借助数学的考查方法。当给出几个集合的时候，这几个集合所覆盖的面积越大，所得数字就越大，这几个集合所覆盖的面积越小，多得数字就越小。比如：当女生和游泳爱好者的范围这样子分布(包含)的时候，这两个集合的面积是最小情况(由于这两个集合女生的数字是10人，游泳爱好者的爱好是15人，所以最少的数字得取到15，即两个集合中的最大的数字)，即所得数字就是最少的情况。所以可以这样说，当两个集合的范围为(包含或包含于或全同)的时候，整体集合的最小数字取几个集合中最大范围集合的数字即可(比如上图取的是15，即这群人最少有15人。)根据上文的阐述，如果题目中给出几个集合，当几个集合的关系为全异的时候，各个集合的数字加和所得数字即是整体的最大数字;当几个集合的关系为包含(包含于、全同)的时候，几个集合间数字最大的即为整体最小数字的情况。二、结论型题目在了解完什么是容斥之后，再面对结论型题目就显的比较简单了。所谓结论型题目，一般是题干中给出一群人，这群人中给出几个集合，并问最大数字和最小数字分别是什么。例如：1.一个房间中，一批人在聊天。其中，一个沈阳人，三个南方人，两个广东人，两个人是作曲家，三个人是诗人。假设以上介绍涉及了房间中所有的人，那么房间中最少可能是几个人?最多可能是几个人?A.最少可能是4人，最多可能是9人B.最少可能是3人，最多可能是8人C.最少可能是4人，最多可能是11人D.最少可能是5人，最多可能是9人解析：这个题目是典型的容斥问题结论型题目的考查方法，根据容斥问题的解题思路，当集合间的关系为全异时，加和所得数字为整体最多数字，当集合间关系为包含时，单个集合的最大情况的数字为整体最少数字。所以，要想知道最多多少人，最少多少人，第一步就是要找出各个集合间的关系。而集合间的关系又有可确定的关系和不可确定的关系，根据题目，可确定的关系为沈阳人、南方人、广东人，即和地方有关系的身份，而不可确定的关系为作曲家和诗人。所以就根据可确定的情况，和地方有关系的一定是4个人，而不可确定的关系包括很多种，但是无论包括多少种，最多依然是全异的情况，即为5个人，最少即为包含的情况，3个人。所以整体最多的情况就是可确定的情况和不可确定的最多情况全异加和所得数字为9人，整体最少的情况就是确定的情况和不可确定的情况的的包含或全同关系，取大数即为4人，故正确答案为A。以图示表示：根据上题，我们可以整理出结论型容斥问题的基本答题思路：第一步：找出题干中确定具有关系的集合和不确定具有关系的集合第二步：在第一步的基础上，若求最多，即对确定具有关系所得数字加不确定具有关系的最大情况所得数字为整体最大情况;若求最少，即在确定具有关系的数字和不确定具有关系的集合中取大数所得数字为整体最小数字。三、冲突型容斥问题除了结论型容斥问题之外，在朴素逻辑中，也有一种容斥问题的常考题型，即为冲突性容斥问题，冲突型的容斥问题的出题形式一般是题干中给出几个集合，问选项中符合题干信息的或者与题干信息冲突的。例如：2. 某大学哲学系逻辑学专业共有30名本科生，男女各一半，其中20人喜欢公理集合论，25人喜欢模型论。那么以下都是不可能的，除了：A.10个男生喜欢公理集合论而不喜欢模型论B.10个喜欢模型论的男生不喜欢公理集合沦C.15个喜欢模型论的女生不喜欢公理集合论D.15个喜欢公理集合论的男生只有5个喜欢模型论解析：这道题目属于典型的冲突型的容斥问题，根据题干的信息，一共有30名，男、女各15人，其中20人喜欢公理集合论，25人喜欢模型论。题目中问的是“以下选项中不可能的，除了”，这种问法具有迷惑性，但是仔细分析就可以发现题目中让选的是可能的，即符合题干信息的，要想选出符合题干信息的，那么排除不符合题干信息的选项即可。A项中10个男生喜欢公理集合论而不喜欢模型论，这个选项的重点信息是10个男生不喜欢模型论，即有十个男生和模型论是全异关系，根据容斥关系，说明人数是35个人，但是题目中一共才有30个人，故A项超出了题干的数字范围;同理，C项是35人，也超出了题干的数字范围;同理D项中15个男生只有5个喜欢模型论，说明有10个不喜欢模型论，即和A项一样，故也排除，所以本题的答案为B项。根据上题，关于冲突型的容斥问题，我们一般的做题方法是排除法，通过排除错误选项来确定正确选项，在考量一个选项是否排除的时候