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有趣的数学故事杭寿华 (海安县墩头中学226691)第一个一百分：童第周（1902-1979）是我国实验胚胎学的主要创造人。他十七岁才到学校读书，十八岁考入一所教会学校的三年级当插班生。由于基础差，他在中学读书时十分吃力，第一学期总平均分数只有四十五分。学校令其退学或留级，经过再三请求，校长才允许他跟班试读一学期。他每天早晨天不亮就起床苦读，晚上跑到马路上靠路灯自修。试读结束时，他的总平均分数达到七十多，几何还考了一百分。童第周二十八岁时留学比利时，他的老师布拉舍多年来从事剥除青蛙卵膜的手术，却没有搞成。童第周知道这种手术很难做，但他知难而上，不声不响地搞成了。这下子震动了他的欧洲同行。老师高兴地说：“童小子真行！”1978年夏天，几个文艺界的同志曾问童第周：解放前，有哪些事情使他特别高兴？他回答说：“有两件事，我一想起来就很高兴。一件是我在中学时，第一次取得一百分。那件事使我知道我并不比别人笨，别人能办到的事， 我经过努力也能办到。世界上没有天才，天才是劳动换来的。另一件，就是我在比利时第一次完成剥除青蛙卵膜的手术。那件事使我相信：“中国人也不比外国笨。外国人认为很难办到的事，我们照样能办到。”祖 冲 之 ： 祖冲之生于公元429年，卒于公元500年。祖籍是现在的河北省涞源县，他是南北朝时代南朝宋齐之间的一位杰出的科学家。他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐，并且是一位文学家 祖冲之在数学方面的主要贡献是关于圆周率的计算，他算出圆周率3.14159263.1415927，这一结果的重要意义在于指出误差的范围，准确到小数第七位，是当时世界上最先进的成就 祖冲之还和儿子祖暅圆满解决了球体积的计算问题，得到正确的球体积公式帕 斯 卡 ： 帕斯卡（16231662年）是法国数学家、物理学家和哲学家16岁的时候就发现了著名的“帕斯卡定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”，对射影几何学作出了重要贡献19岁时，发明了一种能做加法和减法运算的计算器，这是世界上第一台机械式的计算机他对连续不可分量、微分三角形、面积和重心等问题的深入研究，对微积分学的建立起到了积极的作用帕斯卡对数学的最大贡献是创立概率论，为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡广泛应用了算术三角形（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称贾宪三角或杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律以及这个三角形的构造及其许多有趣的性质。帕斯卡在物理学方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著思想录和致乡人书对法国散文的发展产生了重要的影响。 小数点的代价： 1967年8月23日，前苏联的联盟一号宇宙飞船在返回大气层时，突然发生了恶性事故-减速速降落伞无法打开。前苏联中央领导研究后决定：向全国实况转播这次事故。当电视台的播音员用沉重的语调宣布，宇宙飞船两个小时后将坠毁，观众将目睹宇航员弗拉迪米科马洛夫殉难的消息后，举国上下顿时被震撼了，人们沉浸在巨大的悲痛之中。 在电视台上，观众看到了宇航员科马洛夫镇定自若的形象，他面带微笑地对母亲说：妈妈，您的图像我在这里看得清清楚楚，包括您的头上的每根白发，您能看清我吗？能，能看清楚。儿啊，妈妈一切都很好，你放心吧！这时，科马洛夫的女儿也出现在电视屏幕上，她只有12岁。科马少夫说：女儿，你不要哭。我不哭女儿已泣不成声，但她强忍悲痛说：爸爸，您是苏联英雄，我想告诉您，英雄的女儿会像英雄那样生活的！科马洛夫叮嘱女儿说：学习时，要认真对待每一个小数点。联盟一号今天发生的一切，就是因为地面检查时忽略了一个小数点 时间一分一秒地过去，距离宇宙飞船坠毁只有7分钟了，科马洛夫向全国的电视观众挥挥手说：同胞们，请允许我在这茫茫的太空中与你们告别。 这是一次惊心动魄的告别仪式。科马洛夫永远地走了，他留下了对亲人对祖国永恒的爱。但更震撼人心的是他对女儿说的那番话。它警示着人们：对待人生不能有丝毫的马虎，否则，即使是一个细枝末节，也会让你付出深重的甚至是永远无法弥补的代价 。第一个算出地球周长的埃拉托色尼： 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼(约公元前275前194)。 埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。 细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。 埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。 数学之神阿基米德： 阿基米德公元前年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古。父亲是位数学家兼天文学家。阿基米德从小有良好的家庭教养，岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城去学习。在这座号称智慧之都的名城里，阿基米德博阅群书，汲取了许多的知识，并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研几何原本。 后来阿基米德成为兼数学家与力学家的伟大学者，并且享有力学之父的美称。其原因在于他通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演泽方法推出许多杠杆命题，给出严格的证明。其中就有著名的阿基米德原理，他在数学上也有着极为光辉灿烂的成就。尽管阿基米德流传至今的著作共只有十来部，但多数是几何著作，这对于推动数学的发展，起着决定性的作用。 砂粒计算，是专讲计算方法和计算理论的一本著作。阿基米德要计算充满宇宙大球体内的砂粒数量，他运用了很奇特的想象，建立了新的量级计数法，确定了新单位，提出了表示任何大数量的模式，这与对数运算是密切相关的。 圆的度量，利用圆的外切与内接边形，求得圆周率为： ，这是数学史上最早的，明确指出误差限度的值。他还证明了圆面积等于以圆周长为底、半径为高的正三角形的面积；使用的是穷举法。 球与圆柱，熟练地运用穷竭法证明了球的表面积等于球大圆面积的四倍；球的体积是一个圆锥体积的四倍，这个圆锥的底等于球的大圆，高等于球的半径。阿基米德还指出，如果等边圆柱中有一个内切球，则圆柱的全面积和它的体积，分别为球表面积和体积的 。在这部著作中，他还提出了著名的阿基米德公理。 抛物线求积法，研究了曲线图形求积的问题，并用穷竭法建立了这样的结论：任何由直线和直角圆锥体的截面所包围的弓形（即抛物线），其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四。他还用力学权重方法再次验证这个结论，使数学与力学成功地结合起来。 论螺线，是阿基米德对数学的出色贡献。他明确了螺线的定义，以及对螺线的面积的计算方法。在同一著作中，阿基米德还导出几何级数和算术级数求和的几何方法。平面的平衡，是关于力学的最早的科学论著，讲的是确定平面图形和立体图形的重心问题。浮体，是流体静力学的第一部专著，阿基米德把数学推理成功地运用于分析浮体的平衡上，并用数学公式表示浮体平衡的规律。 论锥型体与球型体，讲的是确定由抛物线和双曲线其轴旋转而成的锥型体体积，以及椭圆绕其长轴和短轴旋转而成的球型体的体积。 丹麦数学史家海伯格，于年发现了阿基米德给厄拉托塞的信及阿基米德其它一些著作的传抄本。通过研究发现，这些信件和传抄本中，蕴含着微积分的思想，他所缺的是没有极限概念，但其思想实质却伸展到世纪趋于成熟的无穷小分析领域里去，预告了微积分的诞生。 正因为他的杰出贡献，美国的E.T.贝尔在数学人物上是这样评价阿基米德的：任何一张开列有史以来三个最伟大的数学家的名单之中，必定会包括阿基米德，而另外两们通常是牛顿和高斯。不过以他们的宏伟业绩和所处的时代背景来比较，或拿他们影响当代和后世的深邃久远来比较，还应首推阿基米德。 有趣的21： 我们知道，整数被2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9或11整除的特点易掌握，什么样的数能被7整除？这可是一个难题，下面，我将介绍一些关于整数被7整除的有趣而又有用的知识。 先从37=21谈起。 有一个道理是很明显的。如果有一个整数的末位数是1，这个数又比21大的话，我们将这个数减去21，得数（它的末位数肯定是0）如果能被7整除，先前那个数肯定也能被7整除；如果得数不能被7整除，先前那个数肯定也不能被7整除，即在这种情况下，判断得数能不能被7整除，最末位上的0可以舍去不管。如果给定的整数的末位数不是1，而是其他数，也可以依此类推，例如给定整数末位数是6，我们可将此数减去216=126，也即先从该整数中去掉末位数6，再从所余数中减去62=12。由此我们得到一个一般原则：去掉末位数，再从剩下的数中减去去掉的末位数的2倍。 以考查15946能不能被7整除为例，去掉末位数6，再计算1594-26得1582，此时，如果1582能被7整除，则115946就能被7整除；如果1582不能被7整除，则15946就不能被7整除。 继续对1582用此法判断可得154，再作一次就得7，由于最后得到的是7（或7的倍数），故知15946能被7整除。 这是一种简捷可靠的判断一个整数能不能被7整除的方法，我们称它?quot;去一减二法，它的意思就是前面说的：去掉末位一个数，再从剩下的数中减去去掉的数的2倍。 再举一个例子，让我们来考查841945是否能被7整除。我们将逐次用去一减二法。结果写出来（末位数是0时可以将0舍去）便是：84194584184841824。故知841945不能被7整除。 实际解题时，只需心算就行了，不必将上面的式子逐个写出，解题中也可以随机应变地运用一些技巧，例如，如果一眼就看出末位两位或前两位数是14，35，56，84，91等7的倍数时，可以直接舍去，如84194519451841，立即就可以断定841945不能被7整除。在上面的心算中，我们两次舍去了84这个7的倍数。 还有一种判断整数能不能被7整除的方法，这种方法也可以用来判断整数是否能被11或13整除，由于这种方法的基础是71113=1001，所以我们将它为1001法。 还以15946为例，我们将15946从左往右数到第一位与第四位（中间相隔两位）上的数都减去1，则得5936，实际上相当于减去101001，减去的是7的倍数，因此要考查15946是否能被7整除，只须考查5936是否能被7整除就行了，再从5936的第一位和第四位上都减去5，得931，则15946能不能被7整除的问题变成了考查931能不能被7整除，如果我们把大于7的数字都减去7，实际上就是要考查231是否能被7整除，这时只须用一次去一减二法得21，就能判定15946能被7整除了。 又如，用1001法考查841945能不能被7整除，由于 1001841=841841，所以841945-841841=945-841=104（即多次用1001法的结果），因此我们只须考查104是否能被7整除即可，此时用去一减二法得2，故知841945不能被7整除。 这里要注意，因为1001=71113，所以1001法不光能用来判断7的整除性，还可以用来判断11和13的整除性，由于104不能被11整除而能被13整除，所以我们可以判定841945不能被11整除而能被113整除。这是一个很有用的知识。 利用1001法进行判断时，如果位数较多（数字较长），可以先将整数从右到左每三个数一节地分开，再从右边数起按下面办法计算（下式的证明要用到同余式的知识，此处从略，有兴趣的读者可参看有关初等数论的书）： 第一节 - 第二节 + 第三节 - 第四节 +，计算所得的数如果是7，11或13的倍数，原数就能被7，11或13数整除；如果算得的数不是7，11或13的倍数，则原数就不能被7，11或13整除。 例如，我们考查64763881，从右往左分节得881，763，64，于是计算得881-763+64=182，由于182能被7和13整除，而不能被11整除，所以64763881能被7和13整除而不能被11整除。 为了开阔思路、增加兴趣，使读者掌握得更好些，笔者拟了道趣题作为上述方法的练习。 如果我们在21的2与1之间添加进去若干个0，使它变成：2001，现在问：这种2001的数中，是否有能被21整除的？如果没有，那是为什么？如果有，那么有多少个？ 这个题目如果思路得当，小学生都能解答；如果弄得不好，大学生也做不出来。一个很自然的想法是，我们不妨在21的2与1之间添加进去几个0试试看，当添加进去6个0钡?0000001，这是一个八位数，按1001法分节计算得： 001-000+20=21， 由于21能被7整除，故20000001必能被7整除，同时考虑到20000001的各位数字之和为3，故这个数必能被3整除，因此20000001必能被21整除，所以形如2001的数中，能被21整除的数是有的，这种数有多少个呢？如果我们再添加进去6个0的话得20000000000001，按1001法分节计算得 001-000+000-000+20=21， 又得到一个形如