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图论讲义第一课时第二课时集合的概念一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。元素与集合的关系：元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。集合通常表示为大写字母 A， B， C。而元素通常表示为小写字母a,b,c。元素a属于集合A,记作aA。假如元素a不属于A，则记作aA。如果两个集合 A 和 B 它们各自所包含的元素完全一样，则二者相等，写作 A = B。集合的特点 无序性 在同一个集合里面的每一个元素的地位都是相同的，所以元素的排列是没有顺序的。 互异性 在同一个集合里面每一个元素只能出现一次，不能重复出现。 确定性 定制集合的标准是确定的而不是含糊的，如全国全体较高的男生，这里的较高没有标准是含糊的。 集合的表示集合的表示方法：常用的有列举法和描述法。 1.列举法常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做列举法。1，2，3，2.描述法常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字符号或式子等描述出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做描述法。x|P（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于的正实数组成的集合表示为：x|0x=0)个结点的有限集。在任意一棵非空树中：(1)有且仅有一个特定的称为根的结点；(2)当n1时,其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,.Tm,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树.二、树的基本概念：树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。结点拥有的子树数称为结点的度。度为0的结点称为叶子或终端结点。度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。树的度是树内各结点的度的最大值。结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。同一个双亲的孩子之间互称兄弟。结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点。以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度，或高度。如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，则称该树为有序树，否则称为无序树。森林是m(m=0)棵互不相交的树的集合二叉树的定义二叉树是另一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有二棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点),并且,二叉树的子树有左右之分,其次序不能任意颠倒。一棵深度为k且有2(k)-1个结点的二叉树称为满二叉树，如图(a)，按图示给每个结点编号，如果有深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。性质：在二叉树的第i层上至多有2的i-1次方个结点(i=1)。性质：深度为k的二叉树至多有2的k次方减1个结点(k=1)。性质：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0=n2+1。性质：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log2(n+1)性质：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1=i=1,则双亲PARENT(i)是结点i/2(2)如果2in,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i(3)如果2i+1n,则结点i无右孩子;否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1最小生成树1、 最小生成树对于连通的带权图(连通网)G，其生成树也是带权的。生成树T各边的权值总和称为该树的权。权最小的生成树称为G的最小生成树(Minimum SpannirngTree)。最小生成树可简记为MST。、生成树和最小生成树的应用生成树和最小生成树有许多重要的应用。【例】网络G表示n各城市之间的通信线路网线路（其中顶点表示城市，边表示两个城市之间的通信线路，边上的权值表示线路的长度或造价。可通过求该网络的最小生成树达到求解通信线路或总代价最小的最佳方案。求最小生成树的方法（一）普里姆（Prim）算法 设G =（V，E） （1） 任意G的一个顶点v1令V1=v1, E1=，G1=(V1,E1)（2） 令 W(ek)=min ,令vk+1表示ek的不属于Vk的端点 k=1，2，3，4，p 则Gp就是G的最小生成树每次添加一边一顶点。例 求下图的最小生成树解（1）取中心顶点作v1 , , (2) min =2 , (3) min , (4) min , ddd(5) min =7, 至此，已经得到了最小生成树，且 （二）破圈法克鲁斯卡尔(Kruskal)算法 在图中任找一圈，把权数最大的一边删去。（即使有多条权数最大，也只删去一条）重复操作，直到图中无圈为止，就得到最小生成树。例 求最小生成树步骤(1) (2) (3) (4)余下的图就是最小生成树。第十六课时第十八课时欧拉简介欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导 欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清他对数学分析的贡献更独具匠心，无穷小分析引论一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为分析学的化身 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说：研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法 欧拉的父亲保罗欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点数学由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了 1725年约翰伯努利的儿子丹尼尔伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A欧拉（数学家和物理学家）笔录欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题 欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：欧拉是我们的导师 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：我死了，欧拉终于停止了生命和计算 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的欧拉还创设了许多数学符号，例如（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），x（1755年），（1755年），f(x)（1734年）等 欧拉是18世纪最优秀的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。1707年4月15日，欧拉诞生于瑞士的巴塞尔。小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学代数学。这本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教。1720年，13岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学。这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界。小欧拉是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生。欧拉大学毕业后到了俄国的首都彼得堡。在他26岁时，担任了彼得堡科学院的数学教授。1735年，年仅28岁的欧拉，由于要计算一个彗星的轨道，奋战了三天三夜，最后用他自己发明的新方法圆满地解决了这个难题。过度的工作，使欧拉得了眼病，就在那一年他右眼失明了。疾病没有吓倒他，他更加勤奋地工作，写出了几百篇论文，大量出色的研究成果，使他在欧洲科学界享有很高的声望。在他59岁时，仅剩的一只左眼视力衰退，只能模糊地看到物体，最后双目失明。但是工作就是他的生命，他决心用加倍的努力，来回答命运对他的挑战。眼睛看不见，他就口述，由他的儿子记录，继续写