上海高考数列大题整理.doc

（2012春）22. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列满足（1）设是公差为的等差数列.当时，求的值；（2）设求正整数使得一切均有（3）设当时，求数列的通项公式.22、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。 求； 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为； 求数列的通项公式。22、 ； 任意，设，则，即 假设（矛盾）， 在数列中、但不在数列中的项恰为。 ， 当时，依次有， 。23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分, 第3小题满分6分对于给定首项，由递推式得到数列，且对于任意的,都有，用数列可以计算的近似值(1) 取，计算的值（精确到），归纳出，的大小关系；(2) 当时，证明；(3) 当时，用数列计算的近似值，要求，请你估计，并说明理由【解】(1) ，猜想；(2) ，因为，所以，所以由式，所以(3) 由(2),所以只要即可,于是，因为，所以所以20. (本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出n为何值时，取得最小值，并说明理由。解析：(1) 当n=1时，a1=-14；当n2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以数列an-1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；解不等式SnSn+1，得，当n15时，数列Sn单调递增；同理可得，当n15时，数列Sn单调递减；故当n=15时，Sn取得最小值23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。（1） 若，是否存在，有说明理由； （2） 找出所有数列和，使对一切,并说明理由；（3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。23解法一（1）由，得， 2分整理后，可得，、，为整数， 不存在、，使等式成立。 5分（2）若，即， （*）（）若则。 当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。 7分（）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，矛盾。综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。10分【解法二】设 则（i） 若d=0，则 （ii） 若（常数）即，则d=0，矛盾综上所述，有， 10分（3） 设.，. 13分取 15分由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）若p为偶数，则am+1+am+2+am+p为偶数，但3k为奇数故此等式不成立，所以，p一定为奇数。当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=当为偶数时，存在，使3k成立 1分当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分当p=5时，则am+1+am+2+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在故不是所有奇数都成立. 2分17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列的前项和为，且（为正整数）.（1）求数列的通项公式；（2）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.解： （1）， 当时，. 潜在的知识与方法需求（数列与函数的关系） 由 - ，得. 数学模式识别能力（ . 准备知识需求（等式的性质） 又 ，解得 . 能力需求（计算能力） 数列是首项为1，公比为的等比数列. 显现的知识与方法需求（等比数列的定义）（为正整数）. 显现的知识与方法需求（等比数列的通项公式） （2）由（1）知， 显现的知识与方法需求（无穷等比数列各项和） . 显现的知识与方法需求（等比数列前n项和）由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得 . 准备知识（不等式性质） 数列单调递增， 当时，数列中的最小项为， 潜在的知识与方法需求（数列与函数的关系） 必有，即实数的最大值为. 数学模式识别能力（等式恒成立的条件）21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。已知为首项的数列满足: .(1)当时，求数列的通项公式；（2）当时，试用表示数列前100项的和；（3）当（是正整数），正整数时，求证：数列，成等比数列当且仅当。21（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。在直角坐标平面上的一列点，简记为。若由构成的数列满足，其是为方向与轴正方向相同的单位向量，则长为点列。（1）判断，是否为点列，并说明理由；（2）若为点列，则点在点的右上方。任取其中连续三点、。判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若为点列，正整数满足，求证：21解（1），显然有，是点列。3分（2）在中，。5分点在点的右上方，为点列，则。为钝角，为钝角三角形。8分（3）证明， 同理 12分由于为点列，于是， 由、可推得，15分，即。16分20、若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，试写出的每一项（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和【解析】（1）设的公差为，则，解得 ， 数列为 （2）， ， 当时，取得最大值的最大值为626 （3）所有可能的“对称数列”是： ； ； ； 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时， 对于，当时， 当时，21（满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格第1列第2列第3列第列第1行1111第2行第3行第行 （1）设第2行的数依次为，试用表示的值； （2） 设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，； （3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问） 能否找到的值，使得（2） 中的数列的前项 （） 成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由 能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由21（1），所以 4分（2）， ，7分由 得 10分（3）先设成等比数列，由，得 ，此时 ，所以是一个公比为的等比数列 13分如果，为等比数列，那么一定是等比数列由上所述，此时， ，由于，因此，对于任意，一定不是等比数列16分综上所述，当且仅当且时，数列是等比数列 设和分别为第列和第列的前三项，则 13分若第列的前三项是等比数列，则由，得，16分同理，若第列的前三项是等比数列，则当时，所以，无论怎样的，都不能同时找到两列数（除第1列外），使它们的前三项都成等比数列(18分)21（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k). （3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.22. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 第3小题满分6分. 已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.（1）若，求；（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？ 22. 解（1）. 4分 （2）， 8分 ， 当时，. 12分 （3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列. 14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围. 16分研究的结论可以是：由， 依次类推可得 当时，的取值范围为等. 18分20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？20解：（1）设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中a1=250，d=50，则 令 即到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08， 则bn=400(1.08)n1由题意可知有250+(n1)50400 (1.08)n1 0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.在直角坐标平面中，已知点，其中是正整数，对平面上任一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，为关于点的对称点.（1）求向量的坐标；（2）当点在曲线C上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当时，.求以曲线C为图象的函数在上的解析式；（3）对任意偶数，用表示向量的坐标.22解（1）设点，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1关于点P2的对称点A2的坐标为，所以， （2）解法一的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到.因此，曲线C是函数的图象，其中是以3为周期的周期函数，且当解法二设若当 （3）由于，20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。 某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆