边际与弹性专题讲座.doc

1 经济分析中常用的五大经济学函数1）总成本函数 （Total Cost Function）在经营活动中的总成本（用字母C表示）与产品的产量（用字母表示）密切相关，经过抽象简化，可以看成仅是产量的函数，即 在不考虑产品积压，假设供求平衡的条件下，为产品的产量为产品的销售量。 其中：表示固定成本，如设备维修费、企业管理费等等，表示可变成本，如购买原材料、动力费等等。 平均成本：2）总收入（或称总收益）函数 （用字母R表示）（Total Receipt Function）当产品的单价（price）为p，为销售量时 3）总利润函数 （用字母L表示）（Total Gain Function） 4）需求函数 （用字母表示）（Demand Function） 5）供给函数 （用字母表示）（Supply Function） 6）复利公式 设银行存款的年利率为r，开始存钱为，则t年后， 年复利公式： 月复利公式： 连续复利公式（即：按天、时或更少的时间）：如果当初的没有存入银行，则当初的相当于现在的值： 2边际与边际分析在经济问题中，常常会使用变化率的概念，变化率又分为平均变化率和瞬时变化率平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数在内的平均变化率为，如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限： 在经济学中，一个经济函数的导数称为该函数的边际函数在点处的导数称为在点处的变化率，也称为在点处的边际函数值它表示在点处的变化速度现设是一个可导的经济函数，于是当很小时由于产品的最小单位是1，故，当或时，分别给出 或 因此边际函数值的经济意义是：经济函数在点处，当自变量再增加1个单位时，因变量的改变量的近似值，或近似于经济函数值与之差但在应用问题中解释边际函数值的具体意义时，常略去“近似”两字，因为产品的最小单位为1，不存在小数【例1】 设函数，试求在时的边际函数值解 因为，所以 该值表明：当时，改变一个单位(增加或减少一个单位)，约改变10个单位(增加或减少10个单位)下面介绍经济学中常用的三个边际概念3-2-1边际成本某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用总额它由固定成本和可变成本两部分组成平均成本是生产一定量产品，平均每单位产品的成本边际成本是总成本的变化率在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，成本是产量的函数设总成本函数，为产量，则平均成本函数为 ， 生产个单位产品时的边际成本函数为 称为当产量为时的边际成本西方经济学家对它的解释是：当生产个单位产品前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产个单位产品后增加的那个单位产品所花费的成本这两种理解均算正确，我们一般使用后一种说法【例2】 已知生产某产品Q件的成本为(元)，试求：(1)边际成本函数； (2)产量为1000件时的边际成本，并解释其经济意义； (3)产量为多少件时，平均成本最小？解 (1)边际成本函数： (2)产量为1000件时的边际成本： 它表示当产量为1000件时，再生产1件产品需要的成本为60元；(3)平均成本： ， ，令0，得Q = 3000(件)由于0，故当产量为3000件时平均成本最小【例3】 某工厂生产个单位产品的总成本为产量 的函数 ，求：(1)生产900个单位时的总成本和平均成本；(2)生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率；(3)生产900个单位时的边际成本；解 (1)生产900个单位时的总成本为 平均成本为 (2)生产900个单位到1000个单位时的总成本的平均变化率为(3)生产900个单位时的边际成本为 3-2-2 边际收益和边际利润总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入平均收益是生产者出售一定量产品，平均每单位产品所得到的收入，即单位商品的售价边际收益为总收益的变化率总收益、平均收益、边际收益均为产量的函数设为价格，（有时也用表示，但要注意与完全不同！）为销售量，则总收益函数为： 若需求函数为，则总收益函数为 ， 故平均收益函数为 ， 即价格可视作从需求量(这里需求量即为销售量)上获得的平均收益边际收益为 的经济意义为：表示销售量为个单位时，多销售一个单位产品或少销售一个单位产品时收益的改变量由经济学知识，总利润是总收益与总成本之差，设总利润为，则总利润函数为 (其中为商品量) 那么边际利润函数为 它的经济意义是：表示销售量为单位时，再销售一个单位商品时利润的改变量【例4】 设某产品的需求函数为：，其中为价格，为销售量，当销售量为15个单位时，求总收益、平均收益与边际收益；解 因为需求函数为，则总收益函数为： ，故销售量为15个单位时，有总收益 ，平均收益 ，边际收益 【例5】 某工厂生产一批产品的固定成本为2000元，每增产一吨产品成本增加50元，设该产品的市场需求规律为Q = 1100 10P(P为价格)，产销平衡，试求：(1)产量为100吨时的边际利润； (2)产量为多少吨时利润最大？解 由于 故总收入为 ，总成本为 ， 故总利润为 (1)边际利润为 当产量为100吨时，边际利润为 (元)(2)令得Q = 300(吨)由于，故当产量为300吨时，利润最大同样，还有边际需求和边际供给，一共5个边际函数。3弹性与弹性分析前面所谈的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率在实际问题中，有时仅知道函数的改变量及绝对改变率是不够的例如，设有A和B两种商品，其单价分别为10元和100元同时提价1元，显然改变量相同，但提价的百分数大不相同，分别为10%和1%前者是后者的10倍，因此有必要研究函数的相对改变量以及相对变化率，这在经济学中称为弹性它定量地反映了一个经济量(自变量)变动时，另一个经济量(因变量)随之变动的灵敏程度，即自变量变动百分之一时，因变量变动的百分数定义 设函数在点处可导，且函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比当时的极限 称为函数在点处的弹性，记作，即 由定义知，当时，可见，函数的弹性具有下述意义：函数在点处的弹性表示在点处当改变1%时，函数在的水平上近似改变在应用问题中解释弹性的具体意义时，常略去“近似”二字由定义还可见，函数的弹性与量纲无关，即与各有关变量的计量单位无关这使得弹性概念在经济中具有广泛应用例如，显然各种商品的计量单位不尽相同，但比较不同商品的需求弹性并不受到计量单位的限制函数在点的弹性反映了对的变化反映的强烈程度或灵敏度的表达式可改写为 ， 故在经济学中，弹性又可解释为边际函数与平均函数之比3-1需求弹性在经济学中常用到需求弹性（指需求弹性对价格），它也是经济类考生必考的重点内容“需求”是指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量设表示商品价格，表示需求量函数，那么需求函数：定义需求弹性（注意它与基本的弹性定义差一个符号，这仅仅是需求弹性的特点） 一般说来，商品价格低，需求大；商品价格高，需求小因此，一般需求函数是单调减少函数，而，这就是为什么加上一个负号的原因，这也是符合教育部对经济类考生的命题规范的，所以，读者切忌乱改上诉定义及其有关符号。需求弹性是刻划商品价格变动时需求变动的强弱 在解题时，我们要常常用到下列形式： 3-2弹性分析（指需求弹性的分析） 1），称为高弹性，降价或提价使总收益没有明显影响；2），称为单位弹性，降价可使总收益增加，提价可使总收益减少；2），称为低弹性，降价可使总收益减少，提价可使总收益增加。【例6】 设某商品需求函数为，求： (1)需求弹性函数；(2)，时的需求弹性, 并说明其经济意义.解 (1)由已知有 ，则 (2) ，说明当时，价格上升1%，需求量则下降1%可见此时价格与需求变动的幅度相同；，说明当时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，此时需求变动的幅度小于价格变动的幅度；，说明当时，价格上涨1%，需求减少1.2%此时需求变动的幅度大于价格变动的幅度弹性的四则运算： （1）加法性质：设与于处的弹性为与，则在处的弹性为证明 按弹性定义有 推论 设在处的弹性为，则在处的弹性为(2)设与于处的弹性为与，则在处的弹性为 证明 按弹性定义有即函数的乘积的弹性等于各自弹性的和(1) 乘法性质：设与于处的弹性为与，则在处的弹性为吗 即函数的商的弹性等于分子的弹性减去