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中科大家教直通车专题1 函数与导数（文科） 作者：佚名 来源：中科大家教直通车一、 课前训练。1函数的定义域是（ ）（A） （B） （C） （D）2若函数，则函数在其定义域上是（ ）A单调递减的偶函数B单调递减的奇函数C单调递增的偶函数D单调递增的奇函数3函数的零点个数为（ ）A0B1C2D34若的图象（ ）A关于直线y=x对称B关于x轴对称C关于y轴对称D关于原点对称5函数，已知在时取得极值，则=（ ）（A）2（B）3（C）4（D）56若函数f（x）=ax3x2+x5在R上单调递增，则a的范围是 7与函数的图象相切，切线斜率为1的切点是 8.设，二次函数的图象下列之一： OOOO-11-11则a的值为（ ）（A）1（B）1（C）（D）9如图，垂直于x轴的直线EF经坐标原点O向右移动. 若E是EF与x 轴的交点，设OE =x)，EF在移动过程中扫过平行四边形OABC的面积为(图中阴影部分)，则函数的图象大致是( )xC第11题图OyFABaEyyyxOxOxOxOyABCDaaaa10函数的图象与函数的图象关于原点对称，则的表达式为（ ）（A）（B）（C） （D）11若函数是偶函数，则函数的图象关于 对称12.函数对于任意实数满足条件，若，则 13设则 14设，函数是增函数，则不等式的解集为 15已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）16、规定记号“”表示一种运算，即，且。若函数的最小值为，则 17. 设函数f(x)3sinx2cosx1。若实数a、b、c使得af(x)bf(xc)1对任意实数x恒成立，则的值等于（ ）A. B. C. 1D. 1二经典例题剖析题型一：函数的图象与性质例1、 函数y1的图象是（ ）例2已知定义在R上的函数y= f(x)满足f(2+x)= f(2x)，且f(x)是偶函数，当x0，2时，f(x)=2x1，求x4，0时f(x)的表达式。例3（2001天津，19）设，是上的偶函数。（1）求的值；（2）证明在上为增函数。例4已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。例5. (06重庆卷) 19. 已知定义域为的函数是奇函数。（）求的值；（）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；例6（2005浙江文20）已知函数和的图象关于原点对称，且。()求函数的解析式； ()解不等式； ()若在上是增函数，求实数的取值范围。题型二：三个两次问题。例7、已知g(x)=-x2-3，f(x)是二次函数，当x-1，2时，f(x) 的最小值，且f(x)+g(x)为奇函数，求f(x)解析式。例8设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明。例9（07广东文20）已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围题型三有解与恒成立问题。例10设函数（）求的最小值；（）若对恒成立，求实数的取值范围例11（06安徽）设数列的前n项和为，点均在函数的图像上.（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m.例12已知函数，. 若，且存在单调递减区间，求a的取值范围； 题型四：抽象函数问题例13、设f(x)是定义在（0，）上的增函数，且对任意的x，y（0，），都有f(xy)f(x)f(y)。（1）求证：当x（1，）时，f(x)0；且f()f(x)f(y).（2）若f(2)1，解不等式f(x2)f(2x)2.题型四：函数的综合应用。例14某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的 优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销量q（万件）与售价p(元/件)的关系如图.(1）写出销量q与售价p的函数关系式；（2）当售价p定为多少时，月利润最多？（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几 个月后还清转让费？例15集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x0，f(x)(1,4，且f(x)在0，+)上是减函数.（1）判断函数f(x)=2-及f(x)=1+3(x0)是否在集合A中？若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)k对于任意的x0总成立.求实数k的取值范围.例16已知函数在区间0，1单调递增，在区间单调递减（1）求a的值；（2）若点在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线的对称点B也在函数f(x)的图象上；（3）是否存在实数b，使得函数的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由专题1 函数与导数（文科）答案一课前训练。1 D 2 B 3 B 4 C 5D6 78. B9 A 10 D 1112.函数对于任意实数满足条件，即的周期为4，1314（2，3）15 是上的减函数，当时，；又当时，且，解得：综上，故选C16、017. 解：令c，则对任意的xR，都有f(x)f(xc)2，于是取，c，则对任意的xR，af(x)bf(xc)1，由此得。选。二经典例题剖析题型一：函数的图象与性质例1、解析一：该题考查对f（x）图象以及对坐标平移公式的理解，将函数y的图形变形到y，即向右平移一个单位，再变形到y即将前面图形沿x轴翻转，再变形到y1，从而得到答案B.解析二：可利用特殊值法，取x0，此时y1，取x2，此时y0.因此选B.答案：B点评：1、选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等。2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为：先判断出函数的标准模型，并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。例2解：由条件可以看出，应将区间4，0分成两段考虑：若x2，0，x0，2，f(x)为偶函数，当x2，0时，f(x)= f(x)=2x1,若x4，2，4+ x0，2，f(2+x)+ f(2x)，f(x)= f(4x)，f(x)= f(x)= f4（x）= f(4+x)=2（x+4）1=2x+7；综上，点评：结合函数的数字特征，借助函数的奇偶性，处理函数的解析式。例3解：（1）依题意，对一切，有，即。对一切成立，则，。（2）(定义法)设，则，由，得，即，在上为增函数。（导数法），在上为增函数点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例4解：这是抽角函数的单调性问题，应该用单调性定义解决。在R上任取x1、x2，设x1x2，f(x2)= f(x1)， f(x)是R上的增函数，且f(10)=1，当x10时0 f(x)10时f(x)1; 若x1x25，则0f(x1)f(x2)1, 0 f(x1)f(x2)1,0, F (x2)x15，则f(x2)f(x1)1 , f(x1)f(x2)1, 0, F(x2) F (x1)；综上，F (x)在（，5）为减函数，在（5，+）为增函数。点评：该题属于判断抽象函数的单调性。抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。例5.解：（）因为是奇函数，所以0，即 又由f（1） f（1）知 （）解法一：由（）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式： 等价于，因为减函数，由上式推得：即对一切有：，从而判别式解法二：由（）知又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式点评：该题属于单调性及奇偶性定义的综合应用，特别是利用单调性定义去掉f这是经典的方法！例6解析：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则点在函数的图象上()由当时，此时不等式无解。当时，解得。因此，原不等式的解集为。（）点评：本题主要考查函数图象的对称、二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。对称利用中点坐标公式，用代换法是这类问题的通法。高考考纲及课本中鲜有提及对称问题，但高考这方面为命题热点要引起重视！题型二：三个两次问题。例7、分析：用待定系数法求f(x)解析式设f(x)=ax2+bx+c（a0）则f(x)+g(x)=(a-1)x2+bx+c-3由已知f(x)+g(x)为奇函数 f(x)=x2+bx+3下面通过确定f(x)在-1，2上何时取最小值来确定b，分类讨论。 ，对称轴（1） 当2，b-4时，f(x)在-1，2上为减函数 2b+7=1 b=3（舍）（2） 当（-1，2），-4b2时 （舍负）（3） 当-1，b2时，f(x)在-1，2上为增函数 (f(x)min=f(1)=4-b 4-b=1 b=3 ，或点评：二次函数在闭区间上的最值通常对对称轴与区间的位置关系进行讨论，是求值域的基本题型之一。在已知最值结果的条件下，仍需讨论何时取得最小值。例8证明：由题意可知，, , 当时，。又, ,综上可知，所给问题获证。点评：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式。例9解: 若 ， ，显然在上没有零点， 所以 令 得 当 时， 恰有一个零点在上； 当 即 时， 也恰有一个零点在上；当 在上有两个零点时， 则 或解得或点评：本题考查二次函数零点存在性问题，数形结合是解决这类问题的钥匙。从07年高考来看这道题同学们很容易错的地方是根本不分类讨论。题型三有解与恒成立问题。例10解：（），当时，取最小值，即（）令，由得，（不合题意，舍去）当变化时，的变化情况如下表：t10递增极大值1m递减在内有最大值在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为点评：本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力例11【分析及解】（）依题意得，即.当n2时，;当n=1时，-21-1-61-5所以.（）由（）得，故=.因此，使得成立的必须满足,即，即,故满足要求的最小整数为10.点评：需要注意的是，在求得参数的范围时，什么时候有等号，什么时候没有等号？例12【分析及解】只研究第（I）问.，则因为函数存在单调递减区间，所以有解.由题设可知,的定义域是 ,而在上有解,就等价于在区间能成立,即, 成立, 进而等价于成立,其中.由得,.于是,由题设,所以a的取值范围是题型四：抽象函数问题例13、分析：由f(xy)f(x)(y)，不难想到f(x)应为对数函数形式，所以f(1)0，由题意条件，f(x)为增函数，据此不难求解。解：（1）令xy1，则由f(xy)f(x)f(y)得f(11)f(1)f(1).即f(1)2f(1)，f(1)0，又由于函数f(x)在（0，）上为增函数，所以对任意x（1，），有f(x)f(1)0，故f(x)0.设x，y（0，），则有 （0，），于是f(x)f(y) f( ) f(y)，即f()f(x)f(y).（2）由于f(2)1，所以ff(2)f(2)f(22)f(4)，由f(x2)f(2x)2，f(x2)f(2x)f(4)， f(x2)f(8x)，又因为函数f(x)在（0，）上为增函数，所以x28x，因x（0，）所以 0x .常用的解题方法有:1，利用奇偶性整体思考;2，利用单调性等价转化;3，利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;题型四：函数的综合应用。例14解：（1）3分（2）设月利润为W（万元），则W(p16）q6.8 =6分当8分当当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元10分（3）设最早n个月后还清转让费，则企业乙最早可望20个月后还清转让费14分例15集合A是由适合以下性质的函数f(x)组成的：对于任意的x0，f(x)(1,4，且f(x)在0，+)上是减函数.（1）判断函数f(x)=2-及f(x)=1+3(x0)是否在集合A中？若不在集合A中，试说明理由；（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f(x)，不等式f(x)+f(x+2)k对于任意的x0总成立.求实数k的取值范围.解:（1）f=2-=-5(1,4，f不在集合A中 又x0, 0(1， 03(3，从而11+3(4f(x)(1,4又f(x)=1+3(在0，+)上为减函数，f(x)=1+3(在集合A中.（2）当x0时，f(x)+f(x+2)=2+( 又由已知f(x)+f(x+2) k对于任意的x0总成立, k因此所求实数k的取值范围是,+)例16解：（1）由函数在区间0，1）单调递增，在区间1，2）单调递减， （2）点，点A关于直线x1的对称点B也在函数f（x）的图象上（3）函数的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，等价于方程个不等实根是其中一个根，有两个非零不等实根三 复习建议基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石.判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充