有关图形的折叠.doc

有关图形的折叠1（2000广西）把一张宽AD=2的矩形纸片ABCD如图那样折叠，使每次折叠后，点A都落在CD边上如图，将矩形纸片放在平面直角坐标系中，使AD边落在y轴上，AD的中点与原点O重合设某次折叠A的落点为A，折痕线为EF，EF交x轴于点G过点A作x轴的垂线，交x轴于点H，交EF于点T（1）请试作两次你认为最适当的折叠，并写出各次所得到的点T的坐标；（2）设DA=x，点T的纵坐标为y，求y与x之间的函数关系式；（3）求点T（，m）到点A的距离TA，并证明T（，m）到CD的距离等于TA的长。2如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕为EF、HG，使HD与BF在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕也相互平行3如图，A、B两点的坐标分别是（3，0），（0，4），M是y轴上一点，沿AM折叠，AB刚好落在x轴上AB处，求直线AM的解析式4如图，ABCD的周长为26，AB=5，点E在AD上，把边AB沿BE折叠到边BC上，使点A与点A重合，求DE的长5如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C的位置上（1）折叠后，DC的对应线段是_，CF的对应线段是_；（2）若1=60，求2、3的度数；（3）若AB=4，AD=8，求折痕EF的长度？6（2009天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OB=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BDOB，求此时点C的坐标7在ABC中，BAC=45，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD=2，CD=3，试求四边形AEMF的面积8如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长9如图，ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线AC折叠点B落在E处，连接DE四边形ACED是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？10如图：在梯形ABCD中，CDAB，将ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，连接CE求证：四边形AECD为菱形11（2003随州）已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，DCBC沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC上，记为A若AD=4，BC=6，求AB的长12如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长13如图，已知ABC中，BAC=140，现将ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，求DAE的度数14如图，一张直角三角形纸片ABC，已知C=90，AC=8，BC=6将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D，与边AB交于点E（1）求ABC的面积；（2）求AB的长；（3）求折痕DE的长15如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，C点的坐标是（4，0）（1）写出A，B两点的坐标；（2）若E是线段BC上一点，且AEB=60，沿AE折叠正方形ABCO，折叠后B点落在平面内F点处请画出F点并求出它的坐标16如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B处；沿BG折叠，使点D落在点D处，且BD过F点（1）试判断四边形BEFG的形状，并证明你的结论；（2）当BFE为多少度时，四边形BEFG是菱形？17（2002滨州）如图，矩形A1BlC1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；（2）连接B1B；判断B1BG的形状，并写出判断过程18在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=16（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图），设DE与BC相交于点F，求BF的长；（2）将矩形纸片如图折叠，使点B与点D重合，折痕为GH求GH的长19（2009鄂州）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CEEO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；（2）令m=，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由20（2006襄阳）如图1所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，将重合部分BFD剪去，得到ABF和EDF（1）判断ABF与EDF是否全等并加以证明；（2）把ABF与EDF不重合地拼在一起，可拼成特殊三角形和特殊四边形，在图2中，按要求将拼图补画完整要求：任选一图用尺规作图，保留作图痕迹；其余两图画图工具不限21如图的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度（1）如图，数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm小明用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图所示，求折叠进去的宽度；（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典你能用一张41cm26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由22如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸已知标准纸的短边长为a（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”纸按如下步骤折叠：第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕AE；第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF则AD：AB的值是_；（2）求“2开”纸长与宽的比_；（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长23如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点C的坐标是（4，0）（1）直接写出A、B两点的坐标：A_，B_；（2）若E是BC上一点且AEB=60，沿AE折叠正方形ABCO，折叠后点B落在平面内点F处，请画出点F并求出它的坐标；（3）若E是直线BC上任意一点，问是否存在这样的点E，使正方形ABCO沿AE折叠后，点B恰好落在x轴上的某一点P处？若存在，请写出此时点P与点E的坐标；若不存在，请说明理由24（2006宜宾）如图，矩形纸片OABC放在直角坐标系中，使点O为坐标原点，边OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，且OA=5，OC=3，将矩形纸片折叠，使点O落在线段CB上，设落点为P，折痕为EF（1）当CP=2时，恰有OF=，求折痕EF所在直线的函数表达式；（2）在折叠中，点P在线段CB上运动，设CP=x（0x5），过点P作PTy轴交折痕EF于点T，设点T的纵坐标为y，请用x表示y，并判断点T运动形成什么样的图象；（3）请先探究，再猜想：怎样折叠，可使折痕EF最长？并计算出EF最长时的值（不要求证明）25如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=10（1）求矩形ABCD的周长；（2）E是CD上的点，将ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处求DE的长；点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若PAF是等腰三角形，求PB的长（3）M是AD上的动点，在DC 上存在点N，使MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和26（1）如图1，把ABC沿DE折叠，使点A落在点A处，试探索1+2与A的关系（不必证明）（2）如图2，BI平分ABC，CE平分ACB，把ABC折叠，使点A与点I重合，若1+2=130，求BIC的度数；（3）如图3，在锐角ABC中，BFAC于点F，CGAB于点G，BF、CG交于点H，把ABC折叠使点A和点H重合，试探索BHC与1+2的关系，并证明你的结论27如图，把一张矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F（1）线段BF与DF相等吗？请说明理由（2）若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的点G正好重合，连接DG，试判断四边形BGDF的形状，并说明理由（3）若AB=4，AD=8，在（1）、（2）的条件下，求线段DG的长28（2011威海）如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到MNK（1）若1=70，求MKN的度数；（2）MNK的面积能否小于？若能，求出此时1的度数；若不能，试说明理由；（3）如何折叠能够使MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值29已知：如图，一等边三角形ABC纸片的边长为2a，E是AB边上一动点，（点E与点A、B不重合），过点E作EFBC，交AC于点F，设EF=x（1）用x的代数式表示AEF的面积；（2）将AEF沿EF折叠，折叠后与四边形BCFE重叠部分的面积为y，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围30将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中（如图），若斜边所在的直线为y=2x+4点B是OA上的动点，折叠直角三角形纸片OAB，使折叠后点B与点B重合，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（1）若B与点O重合，直接写出点C、D的坐标；（2）若B与点A重合，求点C、D的坐标；（3）若BDOB，求点C、D的坐标答案与评分标准一解答题（共30小题）1（2000广西）把一张宽AD=2的矩形纸片ABCD如图那样折叠，使每次折叠后，点A都落在CD边上如图，将矩形纸片放在平面直角坐标系中，使AD边落在y轴上，AD的中点与原点O重合设某次折叠A的落点为A，折痕线为EF，EF交x轴于点G过点A作x轴的垂线，交x轴于点H，交EF于点T（1）请试作两次你认为最适当的折叠，并写出各次所得到的点T的坐标；（2）设DA=x，点T的纵坐标为y，求y与x之间的函数关系式；（3）求点T（，m）到点A的距离TA，并证明T（，m）到CD的距离等于TA的长考点：相似三角形的判定与性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）。专题：综合题；压轴题；操作型。分析：（1）根据折叠的性质易得答案，（2）连接AA，在RtAGT中，易得RtGHTRtAHG，进而有GH2=HTAH，而AH=1，GH=，且点T在第四象限，故可得所求的函数关系式；（3）由点T（，m）在抛物线y=上，得m的值，延长AT交AB于点M，连接AT在RtAMT中，由勾股定理可得AT的大小；比较可得答案解答：解：（1）T（0，0），T（2，1）或T（1，），T（3，）等（4分）（2）连接AA，由折叠的对称性知，EF垂直平分AA于点G，（5分）在RtAGT中，GHAT，RtGHTRtAHG，GH2=HTAH，（7分）而AH=1，GH=，HT=（8分）点T在第四象限，点T的纵坐标为，所求的函数关系式为y=（x0）（9分）（3）由点T（，m）在抛物线y=上，得m=（10分）延长AT交AB于点M，连接AT在RtAMT中，AT=（11分）点T（，）到CD的距离为TA，TA=AH+HT=1+=（12分）点T（，m）到CD边的距离等于TA的长（指出EF是AA的中垂线，得TA=TA，再求得TA=TA=的给本小题满分）点评：本题主要考查弦切角定理，相似三角形的判定及平行线的性质，难度较大2如图，把长方形ABCD的两角折叠，折痕为EF、HG，使HD与BF在同一直线上，已知长方形的两组对边分别平行，试说明两条折痕也相互平行考点：翻折变换（折叠问题）。分析：首先由ADBC，根据两直线平行，内错角相等，可得DHF=BFH，又由折叠的性质，即可得：FHG=DHG=DHF，HFE=BFE=BFH，即可证得FHG=HFE，根据内错角相等，两直线平行，即可得两条折痕也相互平行解答：解：ADBC，DHF=BFH，由折叠知：FHG=DHG=DHFHFE=BFE=BFH，FHG=HFE，EFHG，即两条折痕也相互平行点评：此题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质解此题的关键是注意数形结合思想的应用3如图，A、B两点的坐标分别是（3，0），（0，4），M是y轴上一点，沿AM折叠，AB刚好落在x轴上AB处，求直线AM的解析式考点：一次函数综合题。分析：因为A、B两点的坐标分别是（3，0），（0，4），可求出AB的长，AB=AB，可求出OB的长，BM=BM，设OM=x，可表示出BM=4x，根据勾股定理可求出M点的坐标，进而可求出AM的解析式解答：解：ABM由ABM折叠而成，BM=BM，A、B两点的坐标分别是（3，0），（0，4），AB=5，AB=AB=5，OB=53=2设OM的长是x，BM=4xx2+22=（4x）2x=1.5M点的坐标为（0，1.5）设AM的解析式为：y=kx+b，过（3，0）和（0，1.5），直线AM的解析式为：y=0.5x+1.5点评：本题考查一次函数的综合题，本题的关键是求出M点的坐标，根据勾股定理可求出M点的坐标，从而设出函数式，根据两点可确定函数式4如图，ABCD的周长为26，AB=5，点E在AD上，把边AB沿BE折叠到边BC上，使点A与点A重合，求DE的长考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质。专题：操作型。分析：根据周长可求得AD=135=8，由折叠的性质可得AE=AE=AB，则DE=ADAE=85=3解答：解：ABCD的周长为26，AB=5，AD=135=8，由折叠的性质可得AE=AE，AE=AB，AE=AB=5，DE=ADAE=85=3点评：图形在折叠的过程，会出现全等的图形相等的线段、相等的角，是隐含的条件注意合理利用5如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C的位置上（1）折叠后，DC的对应线段是BC，CF的对应线段是CF；（2）若1=60，求2、3的度数；（3）若AB=4，AD=8，求折痕EF的长度？考点：翻折变换（折叠问题）。分析：（1）确定对应关系即可解决；（2）2=BEF由ADBC得1=2，所以2=BEF=60，从而得3=60；（3）过点F作FGAD于点G则AE=FC=GD在ABE中，设AE=x，则BE=8x，根据勾股定理求出x，可得EG的长在EFG中运用勾股定理求解解答：解：（1）折叠后，DC的对应线段是BC，CF的对应线段是CF；（2）ADBC，1=2=60又2=BEF，3=1806060=60；（3）作FGAD于点G1=2=BEF，BE=BF=DEAE=CF=DG设AE=x，则BE=8x根据勾股定理有（8x）2=x2+42解得x=3EG=833=2EF=2即折痕的长度为2点评：此题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应关系6（2009天津）已知一个直角三角形纸片OAB，其中AOB=90，OA=2，OB=4如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D（）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，设OB=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；（）若折叠后点B落在边OA上的点为B，且使BDOB，求此时点C的坐标考点：相似三角形的判定与性质；二次函数综合题；平行线的性质；直角三角形全等的判定；勾股定理；翻折变换（折叠问题）。专题：综合题；数形结合。分析：（）因为折叠后点B与点A重合，那么BC=AC，可先设出C点的坐标，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标；（）方法同（）用OC表示出BC，BC然后在直角三角形OBC中根据勾股定理得出x，y的关系式由于B在OA上，因此有0x2，由此可求出y的取值范围；（）根据（）（）的思路，应该先得出OB，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证RtCOBRtBOA来实现BCO和CBD是平行线BD，OB的内错角，又因为OBA=CBD，因此BCO=OBA，即CBBA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OBC中求出OC的值，也就求出C点的坐标了解答：解：（）如图，折叠后点B与点A重合，则ACDBCD设点C的坐标为（0，m）（m0），则BC=OBOC=4mAC=BC=4m在RtAOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，即（4m）2=m2+22，解得m=点C的坐标为（0，）；（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，BCDBCDOB=x，OC=y，BC=BC=OBOC=4y，在RtBOC中，由勾股定理，得BC2=OC2+OB2（4y）2=y2+x2，即y=x2+2由点B在边OA上，有0x2，解析式y=x2+2（0x2）为所求当0x2时，y随x的增大而减小，y的取值范围为y2；（）如图，折叠后点B落在OA边上的点为B，且BDOBOCB=CBD又CBD=CBD，OCB=CBD，CBBARtCOBRtBOA，OC=2OB在RtBOC中，设OB=x0（x0），则OC=2x0由（）的结论，得2x0=x20+2，解得x0=84x00，x0=8+4点C的坐标为（0，816）点评：本题综合考查了运用轴对称、相似三角形的性质和勾股定理的知识进行计算的能力折叠型动态问题是近年来中考试题中的热点问题，它可以考查学生的综合能力，如想象能力、动手操作及创新意识能力等等，对于这类问题，通常从原图中选取满足条件的基本图形进行分析、解决问题7在ABC中，BAC=45，ADBC于D，将ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD=2，CD=3，试求四边形AEMF的面积考点：翻折变换（折叠问题）。专题：计算题；证明题。分析：（1）根据折叠的性质可得到1=3，2=4，AE=AE，由BAC=45可判断出EAF的度数，进而可判断出四边形AEMF的形状；（2）由图形翻折变换的性质可知，BE=BD，CF=CD，设正方形AEMF的边长是x，在RtBMC中利用勾股定理可求出x的值，由正方形的面积公式即可求出其面积解答：解：（1）ADBCAEB是由ADB折叠所得，1=3，E=ADB=90，BE=BD，AE=AD又AFC是由ADC折叠所得2=4，F=ADC=90，FC=CD，AF=ADAE=AF 又1+2=45，3+4=45，EAF=90，四边形AEMF是正方形（2）根据题意知：BE=BD，CF=CD设正方形AEMF的边长是x，BM=x2； CM=x3在RtBMC中，由勾股定理得：BC2=CM2+BM2，即（2+3）2=（x3）2+（x2）2，解得x=6或x=1（舍去），EM=6，S正方形AEMF=EM2=62=36故答案为：正方形，36点评：本题考查的是正方形的判定定理及性质、勾股定理、图形翻折变换的性质，能根据题意画出图形是解答此题的关键8如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长考点：翻折变换（折叠问题）。专题：计算题。分析：由翻折易得DB=AD，利用直角三角形ACD，勾股定理即可求得CD长解答：解：由题意得DB=AD；设CD=xcm，则AD=DB=（8x）cm，C=90，在RtACD中，AD2CD2=AC2，即（8x）2x2=36，解得x=；即CD=cm点评：翻折前后对应边相等，利用勾股定理求解即可9如图，ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线AC折叠点B落在E处，连接DE四边形ACED是什么图形？为什么？它的面积是多少？周长呢？考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。专题：计算题。分析：作DFAC于F，EHAC于H，根据矩形的性质得到AD=BC=3cm，DCAB，则3=5，AC=5cm，利用等积法科计算出DF=cm；再根据折叠的性质得到BC=CE，AB=AE，4=5，于是有3=4，AD=EC，AE=DC，易证得ADCCEA，则DEAC，且AD不平行EC，可判断四边形ACED是等腰梯形；利用勾股定理计算出AF，然后分别可求出等腰梯形的面积和周长解答：解：作DFAC于F，EHAC于H，如图，四边形ABCD是矩形，AB=4cm，AD=3cm，AD=BC=3cm，DCAB，3=5，AC=5cm，而SADC=DFAC=ADDC，DF=cm，又把矩形沿直线AC折叠点B落在E处，BC=CE，AB=AE，4=5，3=4，AD=EC，AE=DC，在ADC与CEA中，ADCCEA（SAS），DF=EH，又DFEH，四边形DFHE是平行四边形，DEAC，且AD不平行EC，四边形ACED是等腰梯形；在RtADF中，AF=，FH=ACAFCH=52=，四边形ACED的面积=（+5）=cm2；四边形ACED的周长=3+3+5+=cm所以四边形ACED是等腰梯形；它的面积是cm2；周长是cm点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等也考查了矩形的性质以及等腰梯形的判定10如图：在梯形ABCD中，CDAB，将ADC沿AC边所在的直线折叠，使点D落在点E处，连接CE求证：四边形AECD为菱形考点：菱形的判定。专题：证明题。分析：先由ADCAEC，证得CD=CE，DCA=ACE，再根据CDAB，得到DCA=CAE，则EA=EC，根据“四条边都相等的四边形是菱形”行证明解答：证明：ADCAEC，CD=CE，DCA=ECA（2分），又梯形ABCD中，CDAB，DCA=CAE（3分）CAE=ACE（4分）AE=CE，CD=AE（5分）四边形AECD为平行四边形，AE=CE，四边形AECD为菱形（6分）点评：考查了菱形的判定菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：定义；四边相等；对角线互相垂直平分11（2003随州）已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，DCBC沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC上，记为A若AD=4，BC=6，求AB的长考点：翻折变换（折叠问题）；梯形。专题：综合题；操作型。分析：根据折叠的性质得到ABDABD，进一步得到AD=AD=4，AB=AB，BDC=ADB=45度发现等腰直角三角形，再进一步根据勾股定理进行计算解答：解：ABD和ABD重合ABDABDADB=CDB，DA=DA=4ADC=C=90BDC=ADB=45ADBCDBC=ADB=45DC=BC=6AC=CDDA=64=2AB=2点评：此题主要是综合运用了全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理12如图，把矩形ABCD纸片折叠，使点B落在点D处，点C落在C处，折痕EF与BD交于点O，已知AB=16，AD=12，求折痕EF的长考点：翻折变换（折叠问题）。分析：连接BE，利用折叠的性质证明四边形BEDF为菱形，设DF=FB=x，在RtABD中，由勾股定理求BD，在RtADF中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求EF解答：解：连接BE，由折叠可知，EF垂直平分BD，又ABCD，BOFDOE，OF=OE，四边形BEDF为菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形），设DF=FB=x，则AF=16x，在RtABD中，由勾股定理得：BD=20，在RtADF中，由勾股定理得：AD2+AF2=DF2，即122+（16x）2=x2，解得x=，根据菱形计算面积的公式，得BFAD=EFBD，即12=EF20，解得EF=15cm点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等综合运用勾股定理，菱形的面积公式13如图，已知ABC中，BAC=140，现将ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，求DAE的度数考点：翻折变换（折叠问题）。专题：数形结合。分析：在ABC中，BAC=140，可知B+C=180140=40，又BAD+CAE=B+C=40，继而可求出DAE的度数解答：解：在ABC中，BAC=140，B+C=180140=40，根据翻折的性质，BAD=B，CAE=C，BAD+CAE=B+C=40，DAE=BACDACCAE=14040=100点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等14如图，一张直角三角形纸片ABC，已知C=90，AC=8，BC=6将该纸片折叠，若折叠后点A与点B重合，折痕DE与边AC交于点D，与边AB交于点E（1）求ABC的面积；（2）求AB的长；（3）求折痕DE的长考点：翻折变换（折叠问题）。专题：探究型。分析：（1）直接根据三角形的面积公式解答即可；（2）根据勾股定理可直接解答；（3）连接BD，根据折叠的性质可知，AD=BD，AE=BE，设CD=x，则AD=BD=8x，在RtBCD中利用勾股定理即可求出BD的长，同理，在RtBDE中利用勾股定理即可求出DE的长解答：解：（1）ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，SABC=ACBC=86=24；（2）ABC是直角三角形，AC=8，BC=6，AB=10；（4分）（3）连接BD，设CD=x，ADEBDE，AE=BE=5，AD=BD，设CD=x，则AD=BD=8x，在RtBCD中，BD2=CD2+BC2，即（8x）2=x2+36，（5分）解得，DC=，AD=BD=8=，（6分）同理，在RtBDE中，DE=（7分）故答案为：24，10，点评：本题考查的是图形折叠的性质，熟知图形折叠的性质是解答此题的关键15如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，C点的坐标是（4，0）（1）写出A，B两点的坐标；（2）若E是线段BC上一点，且AEB=60，沿AE折叠正方形ABCO，折叠后B点落在平面内F点处请画出F点并求出它的坐标考点：翻折变换（折叠问题）；作图基本作图。分析：（1）题较简单，根据正方形的性质写出即可（2）题中，首先是个作图题，由于翻折前后的三角形全等，那么可分别以A、E为圆心，AE、BE长为半径作弧，两弧的交点即为F点；求F点的坐标需要作出F点到两坐标轴的距离，然后根据给出的已知条件AEB=60解直角三角形便可求出F点的坐标了解答：解：（1）由于四边形ABCO是正方形，且C（4，0）；故A（0，4），B（4，4）（2）以AE为对称轴作B点的对称点F，则点F即为所求的点；连接AF，EF，过F作FMx轴于M，FHy轴于H在RtAHF中，AF=AB=4，HAF=30，故HF=AFsin30=4=2，AH=AFcos30=4=2，OH=OAAH=42，F（2，42）点评：此题考查了图形的翻折变换、正方形的性质以及解直角三角形的相关知识，难度适中16如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B处；沿BG折叠，使点D落在点D处，且BD过F点（1）试判断四边形BEFG的形状，并证明你的结论；（2）当BFE为多少度时，四边形BEFG是菱形？考点：翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质。专题：综合题。分析：（1）由题意，EFB=EFB，BEFG，EFB=BEF，BEF=EFB，BE=BF，同理BF=FG，BE=FG，四边形BEFG是平行四边形；（2）当BFE=60时，BEF为等边三角形，BE=EF，平行四边形BEFG是菱形解答：证明：（1）由题意，EFB=EFBBEFG，EFB=BEFBEF=EFBBE=BF（4分）同理BF=FGBE=FG四边形BEFG是平行四边形（6分）（2）当BFE=60时，BEF为等边三角形，BE=EF平行四边形BEFG是菱形（9分）点评：此题主要考查平行四边形、菱形的判定17（2002滨州）如图，矩形A1BlC1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；（2）连接B1B；判断B1BG的形状，并写出判断过程考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理的逆定理；平行四边形的性质。专题：综合题。分析：（1）本题的关键是证EFGB，可根据平行线A1D1，B1C1以及折叠的性质，来得出2=3，从而求出EFBG；（2）应该是直角三角形，根据直角三角形的判定，如果得出B1F=BF=FG即可得出三角形B1BG是直角三角形，根据折叠的性质，B1F=BF，关键是证BF=FG，可根据（1）中3=4，以及A1D1B1C1，来求出3=6，进而求出FB=FG解答：（1）证明：显然，BEGF，根据对称性得1=2，3=4A1D1B1C11+2=3+41=2=3=4EFBG四边形BEFG是平行四边形；（2）解：B1BG是直角三角形，理由：A1D1B1C14=63=6BF=FGB1F与BF关于EF对称B1F=BFB1F=BF=FGB1BG是直角三角形点评：此题主要考查图形的折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化18在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=16（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图），设DE与BC相交于点F，求BF的长；（2）将矩形纸片如图折叠，使点B与点D重合，折痕为GH求GH的长考点：翻折变换（折叠问题）。专题：几何图形问题。分析：由翻折，找着重合的部分，得到相等的边，相等的角，设出未知数，用未知数表示出相关的量，应用勾股定理，列出方程可求得答案解答：解：过点H作HEAD，垂足为E，（1）设BF=x，则FC=16x，BD为折痕，ADB=EDB，又ADB=DBC，DBC=BDE，DF=BF=x，RtDCF中，x2=（16x）2+122，解得x=；BF=（2）过点G作GO垂直于BC，解：（先算出HC的长度，并设为x），因为折叠，所以DH=BH，又因为矩形ABCD所以利用勾股定理得，HC2+DC2=BH2，x2+1212=（16x）2，解得x=3.5，在直角三角形GOH中AG=HC=3.5，所以OH=9，HO2+GO2=GH2，99+122=GH2，GH=15点评：本题考查了翻折变换问题；找准相等的量，结合勾股定理进行解题是做这类题目的关键19（2009鄂州）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CEEO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；（2）令m=，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）根据折叠的条件得到EO=EF，在直角CEF中，斜边大于直角边，因而EFEC故EOEC（2）四边形CFGH与四边形CNMO的面积可以用直角CEF的面积，可以证明四边形CFGH与四边形CNMO的面积相等因而就可以求出m的值（3）已知OC=1，可以得到C点的坐标是（0，1），易证EFQ是等边三角形，已知QF=就可以求出Q点的坐标，把C，Q点的坐标代入函数y=mx2+bx+c，就可以求出b，c的值，就可以得到函数的解析式（4）过Q作y轴的垂线，已知E，Q点的坐标，可以根据三角形相似，求出OA的长，就可以求出P点的横坐标，进而求出P点的坐标若PBK与AEF相似，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出BK的值，即得到K的坐标解答：解：（1）EOEC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在RtEFC中，EF为斜边，EFEC，故EOEC（2）m为定值，理由如下：S四边形CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=（EO+EC）（EOEC）=CO（EOEC），S四边形CMNO=CMCO=|CEEO|CO=（EOEC）CO，（3）CO=1，EF=EO=，cosFEC=，FEC=60，EFQ为等边三角形，作QIEO于I，EI=，IQ=，IO=，Q点坐标为抛物线y=mx2+bx+c过点C（0，1），Q，m=1，可求得，c=1，抛物线解析式为（4）由（3），当时，AB，P点坐标为，BP=AO方法1：若PBK与AEF相似，而AEFAEO，则分情况如下：时，BK=，K点坐标为或；时，K点坐标为或（0，1）故直线KP与y轴交点T的坐标为方法2：若BPK与AEF相似，由（3）得：BPK=30或60过P作PRy轴于R，则RTP=60或30当RTP=30时，当RTP=60时，点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等20（2006襄阳）如图1所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，将重合部分BFD剪去，得到ABF和EDF（1）判断ABF与EDF是否全等并加以证明；（2）把ABF与EDF不重合地拼在一起，可拼成特殊三角形和特殊四边形，在图2中，按要求将拼图补画完整要求：任选一图用尺规作图，保留作图痕迹；其余两图画图工具不限考点：作图应用与设计作图。专题：作图题。分析：由折叠的性质求证ABFEFD；拼成等腰三角形的作法：以点A为圆心，AF的长为半径画弧，以点B为圆心，BF的长为半径画弧，与前弧交于点G，连接AG，BG，则ABG是所求的三角形解答：解：（1）全等证明：由折叠的性质知，ED=CD=AB，又E=A=90，EFD=AFB，ABFEFD；解：（2）点评：本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定，作三角形与已知三角形全等21如图的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度（1）如图，数学课本长为26cm，宽为18.5cm，厚为1cm小明用一张面积为1260cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图所示，求折叠进去的宽度；（2）现有一本长为19cm，宽为16cm，厚为6cm的字典你能用一张41cm26cm的矩形纸，按图所示的方法包好这本字典，并使折叠进去的宽度不小于3cm吗？请说明理由考点：翻折变换（折叠问题）。分析：（1）由图给出的矩形，用折叠进去的宽度表示出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积为1260cm2列出方程，求解即可；（2）此题应分两种情况考虑：矩形纸的长和字典的宽方向一致，矩形纸的长和字典的长的方向一致；解法一致，以为例，可先假设折叠进去的宽度为3cm，然后求出此时矩形纸的长和宽，若大于41cm26cm，就能使折叠进去的宽度不小于3cm，反之则不能解答：解：（1）设折进去的宽度为xcm，列方程得（26+2x）（18.52+1+2x）=1260988+128x+4x2=1260x2+32x68=0x1=2 x2=34（舍去）折进去的宽度为2cm（2）分两种情况：当字典长与矩形的宽方向一致时，若要包好这本字典，所需矩形纸的宽为：19+32=2526，长为：162+32+6=4441；所以不能包好这本字典；当字典长与矩形纸的长一致时，因为4426，所以不能包好这本字典；综上可知：所给的矩形纸不能包好这本字典点评：此题结合了矩形面积的求法考查了图形的折叠问题，能够得到折叠进去的宽度和矩形纸的长、宽的关系，是解决问题的关键22如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸已知标准纸的短边长为a（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”纸按如下步骤折叠：第一步：将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B处，铺平后得折痕AE；第二步：将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF则AD：AB的值是；（2）求“2开”纸长与宽的比；（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC