《数理金融理论与模型》习题解答.doc

数理金融理论与模型习题解答第一章 金融市场第一章 练习题 解答1. 已知一家上市公司在下一年度分红为2元/股，该公司业绩年均增长率为5%，并且红利分配以同样的增长率增加，并且假设每年的贴现率都为10%，那么这家上市公司现在的股票内在价值是多少？解答：2. 下表给出了“2005年记账式(四期)国债”的基本信息，假设2010年3月19日观察到的到期收益率曲线为水平直线4%，则问这一天“2005年记账式(四期)国债”的价值应该是多少？债券名称2005年记账式(四期)国债债券简称05国债(4)债券代码010504发行额(亿元)339.20发行价(元)100.00发行方式利率招标期限(年)20.00发行票面利率(%)4.11上市场所上海证券交易所计息日2005-05-15到期日2025-05-15发行起始日2005-05-15发行截止日2005-05-19发行单位财政部还本付息方式半年付息到期收益率(%)3.8903剩余期限(年)15.0795发行对象在证券登记公司开立股票和基金账户,在国债登记公司开立一级债券账户的各类投资者。解答：3. 请简要叙述利用复制技术与无套利原理对金融衍生品定价的原理与步骤，认真体会为什么由这个方法定出来的价格称为无套利价格。并仔细回顾本章中如何利用复制技术和无套利原理进行衍生品定价，以及推导期权的价格性质。解答： 见第二节内容4. 请利用构造股票和储蓄存款组合复制远期合约的方式，以及无套利原理证明股票远期的定价公式，请分别就股票不支付红利与支付红利的情形构造组合，并给出无套利定价公式。解答：Case 1：无红利支付情形：组合一：一个远期合约多头；组合二：一份不支付红利的标的股票多头和存款（即借款）；记两个组合的价值函数分别为和，则显然两个组合在时刻的价值为，即时刻的价值可以完全复制。由无套利原理可知对任意，都有，即：由于签订远期合约不需要支付任何成本，当时也没有任何收入，所以这个合约在当时的价值应该等于零，也就是说对于任意，都有，从而可以得到远期执行价格的定价公式为：Case 2：支付连续红利q情形：组合一：一个远期合约多头；组合二：份支付红利的标的股票多头和存款（即借款）；记两个组合的价值函数分别为和，则显然组合一在时刻的价值为。由于股息连续累计，t时刻的1份股票在T时刻的价值为，从而组合二在时刻的价值为，即时刻的价值可以完全复制。由无套利原理可知对任意，都有，即：由于签订远期合约不需要支付任何成本，当时也没有任何收入，所以这个合约在当时的价值应该等于零，也就是说对于任意，都有，从而可以得到远期执行价格的定价公式为：5. 假设投资者在2010年3月12日签订一份股票远期合约，合约的到期日为2010年9月12日，标的股票当日价格为5元每股，若一年期银行存款利率为单利3%，则这份合约的执行价格应该是多少？若到2010年7月12日股票价格涨到了6元，而一年期银行存款利率仍然为3%，那么在这一天该远期合约多头的价值是多少？解答：2010年3月12日： 对应 t=0，此时S0=5，r=3%，T=0.5，从而这份远期合约的执行价格应该是：2010年7月12日：对应 t=1/12，此时St=6，r=3%，T-t=5/12，从而次远期合约多头价值为：6. 假设2010年6月17日的半年期与一年期无风险利率分别为单利2.5%与3%，则这一天确定的36远期单利是多少？解答：以连续复利表示的两个即期利率为：则连续复利表示的36远期利率是：则36远期单利是：7. 请利用复制技术和无套利原理证明欧式看涨期权与欧式看跌期权价格关于执行价格分别呈现单调递减与单调递增的关系。解答：只证明看涨期权：不妨设组合一：一个执行价格为看涨期权多头；组合二：一个执行价格为看涨期权多头；则，。分一下三种情形：，和分别讨论，均可得：即 ，从而 ，即8. H公司和L公司都需要从银行B借入期限为3年，本金为1000万人民币的贷款，银行B向两家公司提供的贷款利率为：固定利率浮动利率H公司5.0SHIBOR+0.2%L 公司6.5SHIBOR+0.7%H公司需要的是浮动利率贷款，L公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换，其中银行B作为中介获得的报酬是0.1的利差，而且要求双方平分互换收益。解答：H公司需要的是浮动利率贷款，能够获得的浮动利率是SHIBOR+0.2%L公司需要的是固定利率贷款，能够获得的固定利率是6.5总的利率是(SHIBOR+0.2%)+6.5=SHIBOR+6.7%如果两公司利用各自的比较优势，能够获得的总利率是：(SHIBOR+0.7%)+5.0= SHIBOR+5.7%因此，利用比较优势，如果H公司以固定利率借款，L公司以浮动利率借款，然后二者进行利率互换，可以节省1%的总利率。这个节省下来的成本0.1留给银行B，剩下的0.9%二者平分，即都获得0.45%的成本节省。因此，利率互换合约设计如下：H公司：以5.0固定利率借款，并且向公司L支付SHIBOR的利率；L公司：以SHIBOR+0.7%浮动利率借款，并且向公司H支付x%的利率；因此，对于公司H，有： x%=5.3%对于公司L，有： x%=5.3%其中，等式右边：粉色：做利率互换之前本来应该支付的红色：做利率互换两公司享受的收益蓝色：做利率互换应该交给银行B的收益（总共1%，两公司共同承担）9. H公司希望以固定利率借入美元，而L公司希望以固定利率借入欧元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。市场对这两个公司的报价如下：欧元美元H公司5.09.6%L公司6.510.0%请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求互换双方平分互换收益，汇率风险由银行承担。解答：H公司需要的是以固定利率借入美元，能够获得的固定利率是9.6%L公司需要的是以固定利率借入欧元，能够获得的固定利率是6.5由于二者的本金在同一货币表示下相等，因此两公司能够获得的总利率是：9.6%+6.5=16.1%如果两公司利用各自的比较优势，能够获得的总利率是：10%+5.0=15%因此，利用比较优势，如果H公司以固定利率借入欧元，L公司以固定利率借入美元，然后二者进行货币互换，可以节省1.1%的总利率。这个节省下来的成本0.5留给银行，剩下的0.6%二者平分，即都获得0.3%的成本节省。由于汇率风险不需要这两家公司承担，从而进行货币互换之后H公司支付9.3%的美元利率，L公司支付6.2%欧元利率。因此，货币互换合约设计如下：H公司：以5.0固定利率借入欧元，期初向L公司以欧元本金换取等值美元，期末再换回本金；L公司：以10固定利率借入美元，期初向L公司以美元本金换取等值欧元，期末再换回本金；并且，H公司，L公司和银行（中介）之间作如下互换：注意：H公司和L公司分别都达到了各自的目的，并且都已需要的货币支付，没有汇率风向。银行作为中介，赚取了0.5%的的收益，但是这是1.2%欧元利率减去0.7%美元利率，这0.5%的收益包含这汇率风险。10. 请比较CDS与CSO合约的不同，并且指出两种合约在对冲违约风险与利差风险方面各自的优势。解答：信用违约互换CDS的标的是违约事件（Credit Events），只要规定的违约事件发生，CDS合约的赔付机制就启动，同时合约终止。而信用利差期权CSO的标的是信用利差（Credit Spread），当到期日标的利差达到执行利差时，就会有相应的支付。因此，CDS保护的是违约事件所造成的风险，而CSO保护的是信用利差变动的风险。11. 见下图：解答：1）直接可证；2）直接可证；12. 见下图：解答：13. 见下图：解答：公司A：P0=24.25，D0=1.1，r=8.5%，从而由可以解得公司B：g=3.8%，D0=2，r=8.5%，从而由可以解得元/股第二章 效用理论1. 参考书本相关内容。2. b) 令，。如果，根据性质a)，存在一个和组成的复合随机计划严格优于。这与的定义矛盾。类似的，当时，存在一个和的复合随机计划严格优于，也即存在使得。这也与的定义矛盾。因此c) d) 如果，则因为，有。则，矛盾。类似的同样能证明也会导致矛盾。因此。e) 如果，则，。类似的，可以证明。如果，则。此外，因为否则会有从而导致矛盾。假设，则因为，存在使得。由于，这与性质a)矛盾。如果，类似地可以证明。3. 假设字典序关系存在效用函数表示，即当且仅当。任取实数，考虑如下四个选择集中的元素。根据字典序关系的定义，有，且。定义开区间，则对于任意实数，因此实轴包含不可数无穷多个互不相交的开区间。但同时，由于有理数在实数中的稠密性可知，每个中都存在有理数，且。这与有理数的可数性矛盾。4. 没有完全解决。例如对于von Neumann Morgenstern效用函数，对于随机计划，即圣彼得堡形式的悖论仍然存在。5. 如果投资者选择前者，体现出他风险厌恶的特征。6. 期望效用遇到的挑战可参见第二节。7. 根据定理2.3.2和定理2.3.3，效用函数反映了当初始财富增加时，风险资产的绝对投资量与风险资产占比均下降的投资决策特征，而效用函数反映了当初始财富增加时，风险资产的绝对投资量增加，并且风险资产投资占比不变的投资决策特征。8. 对于广义幂效用函数，根据定理2.3.2和定理2.3.3，广义幂效用函数反映了当初始财富增加时，风险资产的绝对投资量增加，但风险资产投资占比下降的投资决策特征。9. 只需计算对应的Arrow-Pratt绝对风险厌恶系数。，所以10. 利用二阶随机占优来考察风险厌恶个体的偏好。由于，故A二阶随机占优于B，风险厌恶个体更偏好A。11. 二阶单调随机占优等价条件叙述见定理2.4.3。定理证明思路同二阶随机占优定理证明，其中需要进行几处小的改动。1)=3)由于，根据定理2.4.2后的讨论不难得到。因此。所以。3)=1)假设存在使得，由于的连续性，存在使得。类似定理2.4.2证明，取满足且便可得到与3)矛盾。2)=3)3)=2) 略。12. 数学意义参见书中各随机占优的定义。经济学意义：A一阶随机占优于B在所有偏好多而厌恶少的个体看来，A优于B；A二阶随机占优于B在所有风险厌恶的个体看来，A优于B；A二阶单调随机占优于B在所有偏好多而厌恶少、且风险厌恶的个体看来，A优于B；A三阶随机占优于B在所有偏好多而厌恶少、风险厌恶且绝对风险厌恶递减的个体看来，A优于B。第三章 资产组合理论第三章 练习题 解答1. 已知两只股票在5期的价格数据以及期末分红数据如下：1）、分别求出两只股票在各期的收益率，并根据这些收益率数据计算两只股票的期望收益率与方差，以及收益率相关系数；2）、若投资者在两只股票上的投资比重分别为30%和70%，求这个投资组合在各期的收益率，并根据这些收益率数据计算该组合的期望收益率与方差。时间股票1价格股票2价格股票1期末分红股票2期末分红04.569.4214.2210.440.200.4524.7810.970.320.5735.6311.980.430.6145.0111.840.190.3355.9512.580.400.45解答： 1）、记股票1,2在k时间的股价为，(k-1,k时间段内的收益率为，则：收益率为：期望收益率为：收益率方差为：收益率相关系数为：2）、组合P在股票1、2上面的权重为，记该组合的到期收益率为，即，从而组合的期望收益率与方差为：组合期望收益率：组合收益方差：2. 根据练习题1的股票价格数据与分红数据：1）、分别求出两只股票在5期内的离散复合收益率，即这样的使得：再求出这两只股票在5期内的连续复合收益率，即这样的使得：2）、若投资者在两只股票上的投资比重分别为30%和70%，求这个投资组合在5期内的离散复合收益率和连续复合收益率。解答： 1）、对于股票1、2收益率已经由第1题计算得到，则discrete yield y可以由下式表示：，对于股票1,22）、对于股票1、2收益率已经由第1题计算得到，则continuous yield r可以由下式表示：，对于股票1,23. 根据练习题1的股票价格数据与分红数据，以及练习题1计算出来的收益率数据，变换投资组合在两只股票上的投资比重，再计算组合的期望收益率和方差，并且将这一组期望收益率与方差画成图像，观察组合期望收益率与方差之间的变换关系。其中各个组合的投资比重如下：组合序号1234567891011股票1-50%-30%-10%10%30%50%70%90%110%130%150%股票2150%130%110%90%70%50%30%10%-10%-30%-50%解答： 组合P在股票1、2上面的权重为和，两个权重变化如上表，记该组合的到期收益率为，即，从而组合的期望收益率与方差为：组合期望收益率：（的单调函数）组合收益方差：（的函数）每给定一个可以计算一个和一个，并可以相应画出期望-方差图。4. 有两个收益率分别为和的证券，假设这两个证券具有相同的期望收益率和方差，并且和的相关系数是。试证明由这两个证券构成的资产组合达到方差最小当且仅当二者的投资权重相同，并且这个最优投资组合与独立。解答： 不妨改记两只股票为1和2，组合P在股票1、2上面的权重为和，记该组合的到期收益率为，即，满足，。首先，该组合能够获得的期望收益率只能是其次，该组合方差为显然最小值点就是5. 假设两个资产的期望收益率与方差分别为： 若资产组合在这两个资产上的投资权重均为50%，计算当两资产相关系数分别为与时组合的期望收益率与方差，并且将这两组期望收益率和方差画在平面上，再根据图像解释相关系数对组合投资的作用。解答： 对于：对于：随着递增6. 自融资组合是期初投资权重之和为零的“资产组合”，但是自融资组合并不是一个免费的午餐，零期初投入并不代表零风险和零收益，虽然组合可以有正的期望收益率，但是也有相应的风险。为了理解自融资组合的含义，考虑两个资产，相关系数为，它们的期望收益率与方差分别为： 自融资组合在这两个资产上的投资份额分别为如下10中情形：组合序号12345678910资产1-10%-20%-30%-40%-50%-60%-70%-80%-90%-100%资产210%20%30%40%50%60%70%80%90%100%计算这10个组合的期望收益率与方差，并且将这10个资产组合的期望收益率和方差画在平面上，再根据图像理解自融资组合的含义。解答：随着权重的变动，增加的同时，也在增加7. 已知3只股票的期望收益率向量为： 深发展星源深振业0.0097 0.0157 -0.0008 这3只股票的协方差矩阵为：深发展星源深振业深发展0.0016 0.0003 0.0006 星源0.0003 0.0009 0.0009 深振业0.0006 0.0009 0.0020 试根据这些数据计算Markowitz最优资产组合中的4个参数A、B、C、D，并且根据这些参数，计算前沿组合期望收益率分别为0.01、0.05、0.10和0.30时的组合方差。解答：（略）8. 当假设单个资产收益率服从学生t-分布时，计算置信水平下的VaR和C-VaR。当组合中每个资产收益率都服从学生t-分布时，且组合在每个资产上的投资权重为，试计算组合置信水平下的VaR和C-VaR。解答：同例3.4.3易知，其中是t-分布的下分位数；同例3.4.12可知，其中是学生t-分布的概率密度函数，上述积分没有显式解，不过可以用数值积分计算得到。对于一系列学生t-分布收益率资产构成的资产组合，由于t-分布不具备可加性，其VaR和C-VaR没有显式解，不过可以通过Monte Carlo方法估计。9. 已知深发展和万科的收益率数据如下表，若假设这两只股票的收益率服从正态分布，试根据这组数据计算深发展和万科在1%、2.5%、5%和10%置信度下的VaR和C-VaR。日期深发展万科日期深发展万科5-Jan-07-0.0744 -0.0407 30-Jan-070.0501 -0.0627 8-Jan-070.0237 0.0296 31-Jan-07-0.0501 -0.0941 9-Jan-070.0322 0.0203 1-Feb-07-0.0350 0.0222 10-Jan-070.0203 0.1000 2-Feb-07-0.0498 -0.0786 11-Jan-070.0497 -0.0425 5-Feb-07-0.0485 0.0194 12-Jan-070.0501 -0.0201 6-Feb-070.0497 -0.0075 15-Jan-070.0503 0.1000 7-Feb-070.0502 0.0528 16-Jan-070.0442 0.0841 8-Feb-070.0380 -0.0026 17-Jan-070.0000 -0.1000 9-Feb-07-0.0372 -0.0183 18-Jan-07-0.0494 -0.0179 12-Feb-070.0500 0.0578 19-Jan-070.0476 0.0130 13-Feb-070.0181 0.0207 22-Jan-070.0478 0.0064 14-Feb-070.0453 0.0468 23-Jan-070.0191 -0.0214 15-Feb-07-0.0019 0.0147 24-Jan-07-0.0215 0.0591 16-Feb-070.0141 -0.0348 25-Jan-07-0.0175 -0.0156 26-Feb-07-0.0284 -0.0486 26-Jan-070.0500 0.0527 27-Feb-07-0.0500 -0.0997 29-Jan-070.0498 -0.0296 28-Feb-07-0.0078 0.0337 解答：记深发展和万科的股票分别为股票1和股票2，则由上面数据可以估计出其均值和波动率和；其次，在不同置信水平下计算标准正态分位数；最后，利用上面数据可以计算：10. 已知深发展和万科的收益率数据如上表，若股票收益率不服从正态分布，则请根据经验分布函数计算这两只股票在1%、2.5%、5%和10%置信度下的VaR和C-VaR。解答：首先，将每只34个收益率数据从小到大排序，记为，满足：其次，为计算10%置信度下的VaR，只要找到第个收益率次序统计量，则；为计算10%置信度下的VaR，只要找到前个收益率次序统计量，则；其他置信度下的VaR和C-VaR可以类似计算；11. 利用第10题中深发展和万科的历史收益率数据，计算最小方差投资组合mvp的投资权重以及自融资组合的投资权重，并且据此理解“自融资”的含义；计算和的历史收益率向量，并据此计算和的均值和方差；对分别计算组合p的收益率均值和标准差，并将其画在平面上。解答：（本题可以直接利用本章公式计算）12. 利用第10题的数据，以及第11题计算的和组合投资权重，计算的期望收益率以及的期望收益率，其中组合。另外，假设无风险收益率为1%，并构造组合。首先，请直接计算，然后利用“零-资本资产模型”（3.2.14）计算。解答：首先，直接计算其次，计算和，从而可以利用计算；再利用计算，从而再次，方法一：最后，方法二：先计算，从而第四章 资本资产和套利定价模型2. CAPM属于均衡定价模型范畴，它从投资个体的效用出发，着眼于个体效用最大化，从而研究市场均衡时的定价，并给出资产组合的“绝对定价”。而APT属于无套利定价模型范畴，它基于市场中不存在套利机会的假设，寻找不同资产价格间存在的关系，并且将所研究资产组合的价格用其他一些较为基础的资产的已知价格表示，也就是给出资产组合的“相对定价”。 从结论上看，CAPM与APT在形式上有相似之处，但是其中解释因子的选取不同，模型所代表的经济含义也不同。此外，这两个模型在实证中所获得的支持也不相同。具体内容可参考4.4.5节。3. CAPM与APT共同的假设包括无摩擦假设、存在无风险资产假设，以及市场个体的同质性假设。无摩擦假设与存在无风险资产假设从数学上简化了模型，使其得到简洁而直观的结论，而市场个体同质性假设使得所建立的模型从“个体模型”转变为“市场模型”。 CAPM与APT假设的主要不同之处在于，CAPM对资产收益率分布、个体效用函数或者偏好特征做出了假设，其必要性在于CAPM是绝对定价模型，定价的前提在于为资产组合对个体带来的效用进行合理的刻画。而APT并不需要这两条假设，而是要求市场中不存在套利机会。此假设的必要性在于APT是