线性代数在机械与动力工程中的简单运用.doc

线性代数在动力机械工程领域中的应用院系：能源动力学院学号：201364180姓名：董书金在机械工程领域复杂线性方程组的数值求解是经常遇见的问题，而且机械工程中的一些多解问题，例如机构转配构型，机器人机构树状解和设计方案的多解问题等，常常需要线性代数中线性方程的一些理论求解。并且线性代数中的公式通用于能淬火硬化的各种碳素钢及合金钢。实际上,这些方程可以当作是一种定量尺度,广泛用于设计或选择钢种、制定或修订标准、控制熔炼成分等方面。现代飞行器外形设计，这个就需要先研究飞机表面的气流的过程。把飞行器的外形分成若干大的部件，每个部件沿着其表面又用三维的细网格划分出许多立方体，这些立方体包括了机身表面以及此表面内外的空气。对每个立方体列写出空气动力学方程，其中包括了与它相邻的立方体的共同边界变量，这些方程通常都已经简化为线性方程。结合高等代数广泛用于研制和提供能量转换机械，包括将热能、化学能、原子能、电能、流体压力能和天然机械能转换为适合于应用的机械能的各种动力机械，以及将机械能转换为所需要的其他能量的能量变换机械。一、线性方程数据处理在理工科学习中的基础运用l 用于计算多元或者单元复杂结构极限（线性代数原理运用软件：MATLAB），解放人工计算无法解决计算的复杂问题。l 其计算原理用于求解导数，多元函数的偏导数，定积分，多重积分，进而解决实际运用中计算不规则曲面，形体的面积，体积等，并用于航空器外壳，船舶形体量，汽车制造，精密机械制造等工程设计中。1.描述n阶线性时不变（LTI）连续系统的微分方程为 nm已知y及其各阶导数的初始值为y(0)，y(1)(0)，y(n-1)(0)，求系统的零输入响应。解：当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解（即令微分方程等号右端为0），其形式为（设特征根均为单根）其中p1，p2，pn是特征方程a1ln+a2ln-1+ anl+ an+1 =0的根，它们可用roots(a)语句求得。各系数C1，Cn由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有C1+ C2+Cn = y0 y0 = y(0)p1C1+ p2C2+ pnCn=Dy0 (Dy0表示y的导数的初始值y(1)(0)写成矩阵形式为 即 VC = Y0 ， 其解为 C =V Y0式中 V为范德蒙矩阵，在MATLAB的特殊矩阵库中有vander函数可直接生成。（参考文献：郭龙先，张毅敏，何建琼.高等代数M.北京：科学出版社，2011）l 用于求解多元线性，非线性方程或多解，方程的根，求和与级数求和，极值点，概率论问题模拟分析等问题，进而运用于天气预测，流体力学分析，经济学最优解，机械最优结构，空气动力学等多领域中。1.在热传导的研究中, 一个重要的问题是确定一块平板的稳态温度分布. 根据定律, 只要测定一块矩形平板四周的温度就可以确定平板上各点的温度. 图8 一块平板的温度分布图【模型准备】如图9所示的平板代表一条金属梁的截面. 已知四周8个节点处的温度(单位C), 求中间4个点处的温度T1, T2, T3, T4. T1T2T3T410080908060506050图9 一块平板的温度分布图【模型假设】假设忽略垂直于该截面方向上的热传导, 并且每个节点的温度等于与它相邻的四个节点温度的平均值. 【模型建立】根据已知条件和上述假设, 有如下线性方程组【模型求解】将上述线性方程组整理得. 在Matlab命令窗口输入以下命令 A = 4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4; b = 190;140;140;100; x = Ab; xMatlab执行后得ans = 82.9167 70.8333 70.8333 60.4167可见T1 = 82.9167, T2 = 70.8333, T3 = 70.8333, T4 = 60.4167. （参考文献：陈怀琛, 高淑萍, 杨威, 工程线性代数, 北京: 电子工业出版社, 2007. 页码: 15-16.）l 其计算原理用于平面解析几何分析，线性模拟计算，非线性多方向定向求解等复杂数学数据处理过程，进而用于平面设计，立体结构分析及结构优化，物理复杂受力求解，航天模拟，电路设计优化，发动机设计，能量转换优化等众多能源动力学领域中。1.设平移变换为(x, y) (x+a, y+b)旋转变换(绕原点逆时针旋转q角度)为(x, y) (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq)放缩变换(沿x轴方向放大s倍, 沿y轴方向放大t倍)为 (x, y) (sx, ty)【模型求解】R2中的每个点(x, y)可以对应于R3中的(x, y, 1). 它在xOy平面上方1单位的平面上. 我们称(x, y, 1)是(x, y)的齐次坐标. 在齐次坐标下, 平移变换(x, y) (x+a, y+b)可以用齐次坐标写成(x, y, 1) (x+a, y+b, 1).于是可以用矩阵乘积=实现. 旋转变换(x, y) (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq)可以用齐次坐标写成(x, y, 1) (xcosq - ysinq, xsinq + ycosq, 1).于是可以用矩阵乘积=实现. 放缩变换 (x, y) (sx, ty)可以用齐次坐标写成(x, y, 1) (sx, ty, 1). 于是可以用矩阵乘积=实现.2.电路是电子元件的神经系统. 参数的计算是电路设计的重要环节. 其依据来自两个方面: 一是客观需要, 二是物理学定律. 图22 USB扩展板【模型准备】假设图23中的方框代表某类具有输入和输出终端的电路. 用记录输入电压和输入电流(电压v以伏特为单位, 电流i以安培为单位), 用记录输出电压和输入电流. 若= A, 则称矩阵A为转移矩阵.输入终端v1输出终端v2i1i2电路图23 具有输入和输出终端的电子电路图图24给出了一个梯形网络, 左边的电路称为串联电路, 电阻为R1(单位: 欧姆). 右边的电路是并联电路, 电路R2. 利用欧姆定理和楚列斯基定律, 我们可以得到串联电路和并联电路的转移矩阵分别是和v1v2i1i2R1v3i2i3R2串联电路 并联电路图24 梯形网络设计一个梯形网络, 其转移矩阵是.【模型假设】假设导线的电阻为零. 【模型建立】设A1和A2分别是串联电路和并联电路的转移矩阵, 则输入向量x先变换成A1x, 再变换到A2(A1x). 其中A2A1 = 就是图22中梯形网络的转移矩阵. 于是, 原问题转化为求R1, R2的值使得=. 【模型求解】由=可得. 根据其中的前两个方程可得R1 = 8, R2 = 2. 把R1 = 8, R2 = 2代入上面的第三个方程确实能使等式成立. 这就是说在图22中梯形网络中取R1 = 8, R2 = 2即为所求. 【模型分析】若要求的转移矩阵改为, 则上面的梯形网络无法实现. 因为这时对应的方程组是. 根据前两个方程依然得到R1 = 8, R2 = 2, 但把R1 = 8, R2 = 2代入上第三个方程却不能使等式成立. （参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用, 沈复兴, 傅莺莺等译, 北京: 人民邮电出版社, 2009. 页码: 129-130.） 二、线性代数学理论在能源动力工程中的综合运用l 航空飞行分析与设计（参考文献：南京航天航空大学飞行器设计空气动力学院学习参考课件）l 航空动力轨道探测及数据处理2.太空航天探测器发射以后, 可能需要调整以使探测器处在精确计算的轨道里. 雷达监测到一组列向量x1, , xk, 它们给出了不同时刻探测器的实际位置与预定轨道之间的偏差的信息.图28 火星探测器【模型准备】令Xk = x1, , xk. 在雷达进行数据分析时需要计算出矩阵Gk = XkXkT. 一旦接收到数据向量xk+1, 必须计算出新矩阵Gk+1. 因为数据向量到达的速度非常快, 随着k的增加, 直接计算的负担会越来越重. 现需要给出一个算法, 使得计算Gk的负担不会因为k的增加而加重. 【模型求解】因为Gk = XkXkT = x1, , xk=, Gk+1 = Xk+1= Xk, xk+1= XkXkT + xk+1= Gk + xk+1, 所以一旦接收到数据向量xk+1, 只要计算xk+1, 然后把它与上一步计算得到的Gk 相加即可. 这样计算Gk的负担不会因为k的增加而加重. （参考文献David C. Lay, 线性代数及其应用,