概率答案.doc

第一章习题1.1（P6）1、写出下列随机试验的样本空间（1）同时抛掷三枚骰子，记录三颗骰子点数之和3,4,5,6,7,.16,17,18（2）单位圆内任取一点，记录其坐标(x,y)| x+y1（3）生产新产品直至有10件合格品为止，记录生产的总件数x|x10且xN3、一名射手连续向某个目标射击三次，事件Ai表示第i次射击时击中目标（i=1,2,3）。试用文字叙述下列事件：（1）A1A2=“前两次至少有一次击中目标”;（2）=“第二次未击中目标”;（3）A1A2A3=“前三次均击中目标”;（4）A1A2A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;（5）A3-A2=“第三次击中但第二次未击中”;（6）A3=“第三次击中但第二次未击中”;（7）=“前两次均未击中”;（8）=“前两次均未击中”;（9）(A1A2)(A2A3)(A3A1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.4、 设A,B,C表示三个事件，利用A,B,C表示下列事件。（1）A发生，B,C都不发生（2）A,B发生，C不发生（3）三个事件，A,B,C均发生ABC（4）三个事件，A,B,C至少有一个发生ABC（5）三个事件，A,B,C都不发生（6）三个事件中不多于一个事件发生（7）三个事件中不多于两个事件发生（8）三个事件中至少有两个发生AB+AC+BC习题1.2（P11）6、一口袋中有5个白球，3个黑球。求从中任取两只球为颜色不同的球的概率。设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则: 7、一批产品由37件正品，3件次品组成，从中任取3件，求 (1)3件中恰有意见次品的概率组成实验的样本点总数为,组成事件(1)所包含的样本点数为 ,所以P1= 0.2022(2)3件全为次品的概率组成事件(2)所包含的样本点数为,所以P2=0.0001(3)3件全为正品的概率组成事件(3)所包含的样本点数为，所以P3=0.7864（4）3件中至少有一件次品的概率事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为，所以P4=1-P(A)=1-0.2136（5）3件中至少有两件次品的概率组成事件(5)所包含的样本点数为，所以P5= 0.011348、从0至9这10个数字钟，不重复地任取4个，求（1）能组成一个4位奇数的概率；（2）能组成一个4位偶数的概率。设A=“4位奇数” B=“4位偶数” 由于“0”不能作为首位数，首先考虑首位和末位数P(A)=(A4A 5A8+ A5A4A8) A104=（87202）5040=4/9P(B)=(A4A 4A8+ A5A5A8) A104=(87(16+25)5040=41/909、从1,2，10个数字钟任取一个，每个数字以1/10的概率被选中，然后还原。先后选择7个数字。求下列事件的概率。（1）A=“7个数字全不相同”P（A）=(2)B=“不含10与1”因为不含1和10，所以只有2-9八个数字，所以P(B)= （3）C=“10刚好出现2次”即选择的7个数字中10出现2次，即，其他9个数字出现5次，即，所以P(C)= （4）D=“至少出现两次10”解法1：10可以出现2，3，,7次，所以解法2：其对立事件为10出现1次或0次，则P(D)=(5)E=“7个数字中最大为7，最小为2且2与7只出现一次”因为最大为7，最小为2，且2和7只出现一次，所以3，4，5，6这四个数要出现5次，即样本点数为，所以P(E)= 10、从0,1中任取两数，求（1）两数之和大于1/2的概率；（2）两数之积小于1/e的概率。设两数分别为x,y，则x0,1,y0,1。（1）作出x=1；y=1；x+y=1/2的图像。P(两数之和大于1/2)=1(1/21/21/2) 1=7/8（2）作出x=1，y=1，xy,=1/e的图像；图像的交点为（1/e,1），（1,1/e）则P(两数之积小于1/e)=（11/e+1/e1/exdx）1=2/e习题1.3（P14）11、设A,B同时发生必然导致C的发生，则P(C) P(A)+P(B)-1。证明：A,B同时发生必导致C发生 ABC，即P(C)P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AB)= P(A)+P(B)- P(AB) P(AB)1 P(AB)P(A)+P(B)-1 P(C) P(A)+P(B)-1 上述得证。12、设P(A)=P(B)=1/2，试证明：P(AB)= P()。证明： 因为P() = P() = 1 P(AB) = 1 P(A) P(B) +P(AB) 因为P(A) = P(B) =1/2 所以P() = 1 1/2 1/2 + P(AB) 所以P() = P(AB)13、已知P(A)=0.4，P(B)=0.2，若（1）A,B互不相容；（2）B包含于A解：（1）P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-0=0.4（2）P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+02-0.2=0.4P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-0.2=0.214、某城市有40%的住户订日报，65%的住户订晚报，70%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订两种报纸的住户的百分比。解：记“订日报的住户”为P(A)，“订晚报的住户”为P(B)， 根据题意，易知：P(AB)=70% 则P(AB)=P(A)+P(B)- P(AB)=40%+65%-70%=35% 答：同时订两种报纸的住户有35%。15、一袋中有4只白球，3只黑球，从中任取3只球，求至少有2只白球的概率。本题在该答案上为第12题。 16、设A,B,C是三个事件，且P(A)=1/2，P(B)=1/3，P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=1/12，且P(CA)=0求A,B,C至少有一个发生的概率。P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)-P(ABC)=1/2+1/3+1/4-1/12-0-1/12-0=11/12习题1.4（P20）17、P(A)=1/4，P(B|A)=1/3，P(A|B)，求P(AB)。本题在该答案上为第14题。19、如果P()=0.3，P(B)=0.4，P(A)=0.5，求P(B| A)解：P(B|A) =P(AB)/P(A)因为P(A)=1-P()=1-0.3=0.7，所以P(A)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.7- P(AB)=0.5即P(AB)=0.2又因为P(A) = P(A) + P() - P(A) =0.7+1-0.4-0.5= 0.8所以P(B| A) = P(AB)/P(A) =0.2520、一批产品共100件，其中10件为次品，每次从中任取一件不放回，求第三次才取到正品的概率。解：设“第三次才取到正品”为事件A，则因为要第三次才取到正品，所以前两次要取到次品。 第一次取到次品的概率为， 第二次取到次品的概率为， 第三次取到正品的概率为。 即第三次才取到正品的概率为0.0083。21、三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4，求三人中至少有一人能将此密码译出的概率。解法1：设 A，B，C 分别为“第一，第二，第三个人译出”的事件，则：P(A)=1/5 P(B)=1/3 P(C)=1/4因为三个事件独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=1/15, P(AC)=P(A)P(C)=1/20 ,P(BC)=P(B)P(C)=1/12, P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1/60,所以P()=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5 解法2：设A=“至少有一人能译出”，则=“三个人均不能译出”，所以 22、加工一产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率为0.9、0.95、0.8，假定各工序之间是否出废品是独立的，求经过三道工序不出废品的概率。解：设P(A),P(B),P(C)分别为第一，二，三道工序不出废品的概率,则，第一二三道工序均不出废品的概率为P(ABC),因为各工序是否出废品是独立的,所以P(ABC)= P(A)P(B)P(C) =0.90.950.8 =0.68423、某一型号的高炮，每一门炮（发射一发炮弹）击中飞机的概率为0.6，问至少要配置多少门炮，才能以不小于0.99的概率击中来犯的敌机？24、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每一个顾问贡献的正确意见的概率为0.7，现该机构对某事的可行性与否，个别征求各位顾问的意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。解：根据题意: 该题为伯努利事件。 n=9,p=0.7,k=5,6,7,8,9 所求事件概率为 P=b(5,9,0.7)+b(6,9,0.7)+b(7,9,0.7)+b(8,9,0.7)+b(9,9,0.7)=0.901习题1.5（P24）26、设男人患色盲的概率为0.5%，而女人患色盲的概率为0.25%。若有3000个男人，2000个女人参加色盲体检，从中任选一人，求此人是色盲患者的概率。P(此人是色盲)=27、甲乙两个口袋中各有4只白球，3只黑球，从甲袋中任取2球放入乙袋中，再从乙袋中取出2球为白球的概率。解：该题为全概率事件。设=“从甲袋中取出两球中有i只黑球”,i=0,1,2，B=“从乙袋中取出2球为白球”，则： 答：再从乙袋中取出两球为白球的概率为。28、对敌舰进行三次独立射击，三次击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.如果敌舰被击中的概率分别为0.2、0.6、1，求敌舰被击沉的概率。解：该题为全概率事件。设=“敌舰被击中i弹”,（i=0,1,2,3），B=“敌舰被击沉”，则：根据题意P()=0.60.50.3=0.09P ()=0.40.50.3+0.40.50.3+0.60.50.7=0.36P()=0.40.50.3+0.50.70.6+0.40.70.5=0.41P()=0.40.50.6=0.14P(B)=0, P(B)=0.2, P(B)=0.6, P(B)=1根据全概率公式有即敌舰被击中的概率为0.458.31、将二信息分别编码A与B发出，接受时A被误作为B的概率为0.02，B被误作为A的概率为0.02；编码A与B传送的频率为2:1，若接收到的信息为A，则发信息是A的概率是多少？解：设事件A1为“原发信息是A”，事件A2为“原发信息是B”,B为事件“接收到的信息为A”，则：32、有朋友自远方来访，他乘火车，汽车，飞机来的概率分别为0.4、0.2、0.4.（1）他迟到的概率；（2）结果他迟到了，试问让乘火车来的概率是多少？第二章习题2.2（P31）4、设随机变量X的概率分布为 PX=k= (k=1,2,.9)(1)求常数a(2)求概率PX=1或X=4(3)求概率P-1X解：（1）则PX=k=（2）PX=1或X=4=PX=1+PX=4=+=（3）P-1X1/2;（3）P-11/2 =1-Px1/2 =1-F(1/2) =1-1/2=1/2(3)P-1x2=F(2)-F(-1)=1-0=1习题2.4（P43）14、设随机变量X的概率密度为求（1）系数a（2）P0（3） 解：（1）0+=1(2)P0x0.5;(3)PX1/X0，故当y0时， 当y0时， 即 从而，Y的概率密度为 （2）由于Y=X0,故当y0时， 当y0时， 即从而，Y的概率密度为30、设X服从